专升本（高等数学一）模拟试卷1

专升本（高等数学一）模拟试卷1（共8

套）

（共224题）

专升本（高等数学一）模拟试卷第1套

一、选择题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

C、1

D、2

标准答案：A

lim——=0.

知识点解析：注意所给极限为XT8,它不是重要极限的形式，由于一/

即当xt8时，”为尢穷小量,而sin2x为有界函数，利用尢穷小量性质可知

lim河2"=lim—,sin2i—0.

rXJ-故选A.

2、下列关系式正确的是（）

A、djRx）dx=f[x）+C

B、ff（x）dx=f（x）

C、和⑴

=/（x）4-C

D、业」

标准答案：C

知识点解析：A,dff(x)dx=f(x)dx；B,ff(x)dx=f(x)+C；C

mj/(x)dr=(j/(x)dr)—/(-r)

,则选C,由C知D不正确.

小"也=

2

3、«J-4-1

A、一A9ar

B、一1

C、0

D、1

标准答案：C

4也士1与密=o.

知识点解析：因为被积函数二+1是奇函数，所以在对称区间内J、1+11r

4、方程Z=x?+y2表示的二次曲面是（）

A、椭球面

B、柱面

C、圆锥面

D、抛物面

标准答案：D

知识点解析：要熟记主要的几个二次曲面的方程表达式，根据旋转抛物面的方程知

本题应选D

5、若D为x2+y2q所确定的区域,

A、2

B、兀

C、4兀

D、8兀

标准答案：B

知识点解析：因为D：x2+y2<l,所以此圆的面积SD=/兀=兀,

所以||土=jjdrdy==兀故选H

If,,w,,-1-ln(cos2j-)

6、已知导函数y=ktan2x的一个原函数为3,则k=()

入A——30B-2C-4D——3

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

[|ln（cosar）]=_|x二畸/=一?tan",所以有

知识点解析：由题意.

AtanNr=一JtanZi.则k=—

33故选D.

级数却“目

7、M+a(a>0为常数)

A、绝对收敛

B、条件收敛

C、发散

D、收敛性与a有关

标准答案：A

知识点解析：因为原级数为

（-D"

2(一1尸丁丁•而[•且级数为。=

A2+.a

■-1M3nntn?级数，收

<vD"

敛.所以级数・一收敛.因此原级数绝对收敛.故选A。

||im/（—+2力）―/（/：>）_

8、设r（xo）=i,则…h

A、2

B、1

1

C、2

D、0

标准答案：A

Hm-2公―

知识点解析：由「(xo)=l可知应考虑将•，吧卜化为导数定义的等价形

lim/（一+2力）一/（&）=lim缪二△乜U=2/（xo）=2.故选A

式.…h-Lh

9、函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导,且P(x)>0,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)

内()

A、单调增加且上凹

B、单调增加且下凹

C、单调减少且上凹

D、单调减少且下凹

标准答案：B

知识点解析：因为F(x)>0,所以函数Kx)在区间(a,b)内是单调增加的，又「(x)V

0,所以函数f(x)是下凹的，即曲线f(x)在(a,b)内是单调增加且下凹.故选B

10、设f(x)为连续函数，则.J。

A、f(b)=f(a)

B、f(b)

C、一f(a)

D、0

标准答案：D

知识点解析：由于f(x)为连续函数，可知［bf(x)dx存在，它表示一个确定的常数

值,因此凯，“出=°；故选D

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

11、函数」丁在［1,2］上符合拉格朗日中值定理的炉

标准答案：・二

知识点解析：由拉格朗三中值定理有

"2；升1)=/(£),解得=2Y=土笈,我中£=一女(含),得9=女.

12、®y=(1+x2)arctanx,则y'=

标准答案：l+2xarctanx

]

知识点解析：因为y=(l+x2)arctanx,所以y'=2xarctanx+(l+x?)J+"=2xarctan

x+l.

lim/(x)=2,则lim/Xz)=

13、设f(x)在x=l处连续，——

标准答案：2

知识点解析：由连续函数的充要条件知f(x)在xo处连续，则

lim/(J)=/(xc)<=>Um/(x)lim/(x)=/().

Y

lim/(-r)—2.

ilim造壬」

14、极限一：才

标准答案：0

知识点解析：因为所求极限中的X的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限

,HmA=n.即当71-•(8R#・L

的形式，由于,丁为无穷小量.而cosX—1为有界函

I；E1=lim§・(cosi-1)-0.

数.利用无穷小量性质知—Xi万

15、J(x?—l)dx=

Xy3-

标准答案：3”

__JLjj一7+r

知识点解析：J(x~—1)dx=Jx~dxTdx=3

基Jsinr2ck=

16、

标准答案：2xsinx4

Wjsin?dr=([sin/2d/)=sinx**2x=Zxsiru3.

知识点解析：&J。

dzr_j=_______.

17、设Z=x3y2,则

标准答案：12dx+4dy

2

一0、i空—3/y,孕=a&LI

知识点解析：由z=x12彳导"dy,故dz=3x-y“dx+2x3ydy,尸，

=12dx+4dy.

|IIr2drd>

18、设区域D：x2+y2<a2(a>0),y>0,则”化为极坐标系下的二重积分的表

达式为.

标准答案：Jo7cdM0aAx^Odr

[JTNrcos8,

知识点解析：因为D：x?+y匕2(a>0),yK),所以令‘='即且O0r&,04)q,

@2drdy..、.、

则%._=foIld0joar2cos2O.rdr=fo7ld9foar3cos2Odr.

19、设y=f(x)在点xo处可导,且在点xo处取得极小值,则曲线y=f(x)在点(xo,

f(xo))处的切线方程为.

标准答案：y=f(xo)

知识点解析：y=f(x)在点xo处可导，且y=f(x)有极小值f(xo),这意味着xo为f(x)的

极小值点.由极值的必要条件可知，必有r(xo)=O,因此曲线y=f(x)在点(xo，f(xo))

处的切线方程为y—f(x())=f(x())(x—x())=0,即y=f(xo)为所求切线方程.

v”

20、嘉级数…"2”的收敛半径为

标准答案：•女

gL.1

知识点解析:因为级数为2所以用比值判别法有

处I箕詈卜也I而窘F•衿卜对商不引

2

当恬|V1时收敛，即/<2.收敛区间为(-氏年)，故收敛半径R=区

三、简单解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

21设之(工2)=5，求/(1)・

标准答案：令U=x2,则f(x2)=f(u).由于

关/(/)二二呼4.£=呼2.2x.

由髓设存噜2•2万=+•即噜1=/=息从而行，⑺一杰

知识点解析：暂无解析

计算［：警业・

22、

标准答案：令‘=石3=也dx=2tdt.当x=4时，t=2；当x=9时，t=3.则有

小嚅丸=1平sinI

'2tdt=2f23sintdt=­2cost|23=2(cos2一cos3).

知识点解析：暂无解析

(In

23、设f(x)=°3x,求3x

=J/dr=yx1+C.

标准答案：F(x尸3c3x,f(lnx)=3c3lnx=3x3,

知识点解析：暂无解析

24、试证：|arctanb—arctana|<|b一a|.

标准答案：对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关

系.因此可以设y=f(x)=arctanx,不妨设a<b.则y=arctanx在闭区间［a,b］上连

续，在开区间(a,b)内可导.进而可知，y=arctanx在［a,b］上满足拉格朗日中直定

理条件，因此必定存在点乐(a,b),使得f(b)-f(a尸FC)(b-a).由于

(arctani)'=,J、？,

1-+-y

从而有

arctanb-arctana=«(a<6),

Iarctanh-arctana\~丁匕|6-a!

1-rc•由于1+42>1,因此

larctanb-arctana|<|b-a|.

知识点解析：暂无解析

可+♦业dy,

25、计算噂，其中D为x2+y2g2y与xK)的公共部分.

X

标准答案：采用极坐标，则D可表示为把把彳，0<r<2sin9,

J4~一心力=9r-rdr=J：y/=呈,sii?掰

=—(1-cos汨)decs0二竽.

知识点解析：暂无解析

2LHz3z

26、设z=f(u,v),而u=x?y,v=*其中f(u,v)存在偏导数，求证办

Jzf)zdu.f)Zt)VOzt)zi)udz<iv

标准答案：由复合函数的链式法则有以'“以加山力八'兀’3由

迦=2z,也=上?.匹=一无虫=_L

于所给Z=f(u,V)为抽象函数，而红.川女尸川小于是

空=M•2Q+弘•(-3)=2Q笠-4¥，

己工dut)vXXft)U.r*etv

%=2・？+U._L=/U+_L.U.

f)ut)uj,t)uJTdu

知识点解析：暂无解析

27、判定级数名♦的收敛性.若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？

标准答案：所给级数是任意项级数，不是交错级数.由于

(_])”0IsinfI&与.之士为户=5

।川水又由于£晨2的p级数，因而收敛.由正项

y(_i).题五

收敛•从而£(一1尸四1声绝对收敛.

级数的比较判别法可知瞋々/

知识点解析：暂无解析

28、求y”+6y'+l3y=0的通解.

标准答案：特征方程为J+6r+13=0,故『一3±2i为共辆复根，于是通解为y=e「

3x（Cicos2x+C2sin2x）.

知识点解析：暂无解析

专升本（高等数学一）模拟试卷第2套

一、选择题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

所3

1、设f（o）=o,且r（o）存在，则上7x=（）

A、r（o）

B、2f（0）

C、f（0）

力（0）

D、2

标准答案：B

“2”卫

知识点解析：此极限属于不型，可用洛必达法则，即石，故选B。

/-1=■+2_z.工=y+1=z+5

2、设有直线h：12A*2：24-一1,当直线h与［2平

行时,入=()

A、1

B、0

1

D、-1

标准答案：C

知识点解析：本题考查的知识点为直线间的关系。直线

小口=山=84.3=x±l=£±i

12；24-1,其方向向量分别为S尸{1,2,

1_2一21

九），S2={2,4,-1）.又hlim则24-1,从而入=2,故选c。

3、设Mf（t）dt=xsinx,则f（x）=（）

A>sinx+xcosx

B、sinx-xcosx

C、xcosx-sinx

D、-(sinx+xcosx)

标准答案：A

知识点解析：在Mf(l)dl=xsinx两侧关于X求导数，有f(x)=sinx+xcosx。故选A。

4、设f(x)=sin2x,则『(0)=()

A、-2

B、-1

C、0

D、2

标准答案：D

知识点解析：由f(c)=sin2x可得E(x)=cos2x(2x)'=2cos2x,f(0)=2cos0=2,故选D。

卫

5、设2=*丫+丫，则办uh=()

A、e+1

C、2

D、1

标准答案：A

必=三mz+1,所以卫

知识点解析：因为力力Ce,l)=elne+1=e+lo故选A。

6、设函数f(x)在区间［0,0上可导,且f(x)>0,则()

A、f(l)>f(O)

B、f(l)<f(O)

C、f(l)=f(O)

D、f(l)与f(0)的值不能比较

标准答案：A

知识点解析：由r(x)>()说明f(x)在［0,1］上是增函数，因为i>o,所以f(i)>

f(0)o故选A。

7、曲线y=x-3在点(1,1)处的切线斜率为()

A、-1

B、-2

C、3

D、-4

标准答案：C

知识点解析：由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(xo,f(xo))处必定

存在切线，且该切线的斜率为r(xo)。由于y=x,,y，=-3x",y1x=l=-3,可知曲线

丫二乂小在点(1,1)处的切线斜率为-3,故选C。

8、方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是()

A、椭球面

B、锥面

C、旋转抛物面

D、柱面

标准答案：B

知识点解析：对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面，故选B。

9、设yi，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p»'+p2y=0的两个特解，则

Ciyi+C2y2()

A、为所给方程的解，但不是通解

B、为所给方程的解，但不一定是通解

C、为所给方程的通解

D、不为所给方程的解

标准答案：B

知识点解析：如果yi，y2这两个特解是线性无关的，即“WC,则Ciyi+C2y2是其

方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通

解，故选B。

oog

WaS

10、设UnWaun(n=l,2,...)(a>0),且”】收敛,则…()

A、必定收敛

B、必定发散

C、收敛性与a有关

D、上述三个结论都不E确

标准答案：D

ooOQ

知识点解析：由正项级数的比较判定法知，若UnWUn，则当”7收敛时，也

OO

X4

收敛；若-I也发散，但题设未交待Un与Un的正负性，由此可分析此题选D。

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

：lim3

U、若isinx=_2,则@=

标准答案：-2

Uim皿3=limacos(ar)

因为IsinxCOSX_

知识点解析:-an，所以a=-2o

12、设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=o

标准答案：0

知识点解析：因为sinx为f(x)的一个原函数，所以f(x尸(sinx)，=cosx,f(x)=-sinxo

13、设y=/+sinz,则丫，=o

sin7一-cos工

标准答案：(1+sina：/

'-2+sin彳一7(1+cosT)_sin/—axos彳

知识点解析：一(x4-sinx)2(x+sinz)2,

14s/x(x^-5)4dx=o

・d-5>+C

标准答案：10

JxCx2—5)4d,r=yj(x2—5)4d(xz—5)

=-yX~(x2-5)5+C=^(x1-5)5+C.

知识点解析：L>10

15、如果函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点

。使得f(b)-f(a尸。

标准答案:f©(b-a)

知识点解析：由题目条件可知函数f(x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件,

因此必定存在一点乐⑶b),使f(b)-f(a尸r©(b-a)c

dz

16、设z=sin(x2y),则=。

标准答案:x2cos(x2y)

dzHzHu

2222

知识点解析：设u=xy,则z=sinu,因此=cosu.x=xcos(xy)0

d2z

17、二元函数z=x2+3xy+y2+2x,则"内=。

标准答案：3

所以学=2o:+3y+2,=3.

知识点解析：因为z=x2+3xy+)2+2x,"

18、交换二重积分次序Jo】dxJx2Xf(x,y)dy=

/(z,y)cLr.

所以先对x的积分为

19、设中(x尸H]n(]+i)d【，则①"(x尸.

]

标准答案：1+”

]

知识点解析：用变上限积分公式(Hf⑴dt)=f(x),则①，(x尸ln(l+x),①”(x尸1+工

20、微分方程y=x的通解为。

工2

•Xi八

y=方十C

标准答案：2

知识点解析：本题考查可分离变量的微分方程.分离变量得dy=xdx,两端分别积

分JdyTxdx,"亲"C

三、简单解答题(本题共5题，每题7.0分，共5分0)

21、求函数y=Gsin3”在点处的导数y,|

X=Qx=0o

标准答案：

y=^xsin3x,则

y=(工F)'sin3z+匹(sin3ar)'=-Az=.sin3x4-3^xcos3x.

在点］=0处导函数？'=T=^sin3z+3江cos3z没有定义.由导数定义有

3vxz

即£3二八°)=limfe3x2L0=3.般・*=0,

知y'|x=o=O。

知识点解析：此题如果先求函数y的导数y'后，再代入x=0便得y，没有意义。所

以此题只能利用导数的定义式，即Rx())=尸?］一例的方法来求。

22、计算I1,

1.e2j-l1,2肾

lim-----=lim-r-=29

标准答案：利用洛必达法则：才「71o

Q

知识点解析：本题考查的知识点为利用洛必达法则求“亍”型极限，或利用等价无穷

小量代换简化求极限运算。

4(一—1)

23、设丫=/-2,求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

［11lim/(x)=lim虻三飞———2=2

标准答案：->L/」，可知y=2为水平渐近线：

由四八幻=为［9/-2b8可知x=0为铅直渐近线。

知识点解析•：解本题的关键是要知道函数y=f(x)的水平渐近线和铅直渐近线的判定

lim/(x)lim/(x)

方法。即：(1)如果L"=00,则称X=xo是一条铅直渐近线；(2)如果LX

=C,则称广C是一条水平渐近线。

24、求由曲线y=2-x2,v=x(xK))与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生

成的旋转体体积。

标准答案：由平面图形agxgb,OWygy(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成

b2

的旋转体体积为Vx=7tfay(x)dxo画出平面图形的草图(如图所示)，

则所求体积为0<x<l,0W加2-x?所围成的平面图形绕x轴

旋转一周所生成的旋转体体积减去0<x<l,0<y<x所围成的平面图形绕z轴旋转一

周所生成的旋转体体积。

当时,由°=2_〃，得了=：,

a=1\y=1.

22

V=Trf[(2-x*)—xAr=K(4—5v+z')d_r

J00

知识点解析：就一般情况而言，如果有两条曲线y二f(x),y=g(x)(假设f(x)Ng(x))与

x=a,x=b(a0b)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：

b22

Vx=7lfalf(X)-g(X)]dXo

1+z

arctan

25、将f(x)二】一/展开为x的累级数。

标准答案：所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于

■"tan罟)'=/=£(一1)«).

QO

=Z(-Di，-1VzV1,

w-0

因而£(arctandr=(arctan|；

=JoE(一1尸产"山=1)”产dz

，I2<

2f1

即有arctan------arctanl=—1)*s—L—rx*.

仁2〃+】

故arctan1^二手+£(-1尸(一[<z<1).

r/\.1T-JC

f\x）=arctan-：----

知识点解析：不容易直接展开为累级数形式.但是对其求导

,（X_]

后所得函数，即“-1+父是常见函数,它的展开式是已知的。这样我们就

得到r（x）的累级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到f（x）的展开式。

四、复杂解答题（本题共3题，每题1.0分，共3分0）

yOzdz

26、设z=f(u,u),而u=x2y,i,)=x,其中f(u,u)存在偏导数，求az'ay；

标准答案：由复合函数的链式法则有

~8z—d—z—d—uI,~dz~—d—v',dz,■■—3―zdu-I.dz1dv1.

8x3udxdydudydvdy

由于所给Z=/(u,v)为抽象函数，而非=2xy,|^==—j噂=3

是

于

=泉•2卬+戈・(一号12xy与£一a5A

dudv\X/duXidv

=红.工2+红.工=12亚+_1.亚

duduIduXdu

知识点解析：本题考查的是抽象函数求偏导数的方法。题中已给出u=x2y,u=

N,所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可。

点_]）■吗

27、判定级数“T的收敛性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?

标准答案；所给级数是任意项级数，不是交借级数。由于

（7尸呼=1^卢之彳为

〃1力又由于'的p级数，因而收

敛。由正项级数的比较判别法可知

g（一1尸呼1

收敛,从而它（一1尸吗反

绝对收敛.

n2

知识点解析：这是一道任意项级数判断敛散性的题，首先清楚如果给了一个任意项

级数

（一1）\“那么先看看£|（一Dk|是否收敛.如收敛，则原级数W（T）k绝对收

・・】1T-1

敛.如玄1（一I发散，但原级数士（一1），“收敛恻称£;（一D&条件收敛・具体如

用一IR-1!!・】

法如下：

28、求y”+6y'+l3y=0的通解。

标准答案：特征方程为J+6r+13=0,故r=-3±2i为共规复根，于是通解为y=b

3x（Cicos2x+C2sin2x）。

知识点解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的求解.。

专升本（高等数学一）模拟试卷第3套

一、选择题（本题共70题，每题74分，共加分0）

1、

若XT/时，a（x）＞A㈤都是无穷小3工0），则XT%时，乌3

B（x）

A.为无穷小B.为无穷大

C.不存在，也不是无穷大D.为不定型

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

根据无穷小运算性质，当a(x)、夕㈤是无穷小时，誓为

PW

不定型；当XTO时，％(x)=x,a3(x)=2x,则

由啦?为非零数值；

…%(x)

lim冬尹为无穷小；

11m任?为无穷大.

若记＜=xsinL,则li1n412不存在，也不为无穷大.

X3卬X)

2、

X2-3x+29

设f(x)在点x=2处连续，且f(x)=~x-2-'»贝Ua=

ax=2

A.0B.1

C.2D.任意值

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

由于limf(幻=lim--3%+2=.巾'二2)(x二D=匕又f(x)在％=2

12i2x-2J2X-2

处连续，tta=/(2)=Hm/(x)=l

因此选B.

3、

设y=sin2x,则y，二

A.2COSJCB.cos2r

C.2cos2xD.cosx

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：由链式法则可得(sin2x)'=co§2x・(2x)'=2cos2x,故选C.

4、

函数/(x)=2?-9x2+12x-3单调减少的区间为

A.(-00,11B.[1,21

C.[2,+«)D,[l,+oo)

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

/(X)=2?-9f+12x-3的定义域为(YO,R),

fXx)=6X2-18X+12=6(X2-3X4-2)=6(X-1XX-2)

令f'(x)=0得驻点XI=1,Xj=2.

当x<l时，/'(x)>0,单调增加.

当lvx<2时，r(x)<0,/(x)单调减少.

知识点解析：当">2时，/^)>0,f(x)单调增加.因此知应选B.

5、

设/(x)=e3",则在x=0处的二阶导数f=(0)=

A.1B,3

C.9D.9e

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：/(x)=e"，/'(x)=3e3x，/・a)=9e3x，r(o)=9,因此选c.

设】nx是f(x)的一个原函数，贝IJ/3二

C.一

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

由原困数概念，Inx是f(x)的一个原函数时，有f(x)=(lnxy=L

f'(x)=

知识点解析:

7、

设贝仔二

A.yx'TyxJ

C.xy\nxx'lny

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

求衿,可以将y认定为常数，则z/认定为x的零函数,

察=卢尸)应选A.

知识点解析：dx

设区域0=((x,y)ITWxWl,OWy近2},则Jjdxd产

A.1B.2

C.3D.4

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

JJdxdy的值等于区域。的面积，。为边长为2的正方形，面积为

D

4,因此选D.

9、

设£（一1广&满足4+1>0,n=L2,…,且lima”=0,则该级数

n-i…

A.必条件收敛

B.必绝对收敛

C.必发散

D.收敛但可能为条件收敛，也可能为绝对收敛

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

级数是交错级数，由题设条件可知其收敛.如工条件收敛，

2n

■1

£（一1）1々•绝对收敛，因此选D.

Mln

10、

微分方程=的一个特解应具有形式为（式中〃、b为常数）

A.ae'B.axe”

C.aex+bxD.axex+hx

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

方程/-y=0的特征方程是，2一1=0,特征根为门=1,rz=-l.

方程y"-y=e"中自由项力（x）=e"，a=1,是特征单根，故应设定,axex.

二、填空题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

11、

设lim一^——=1>贝Ua=________.

Hsin（x-1）

标准答案：1

知识点解析：

当*T1时，sin（r-l）->0,故xf1时，好一1应为无穷小量，从而《一t.

12、

加）=*的间断点为——

标准答案：x=-3

，、-j.由于x=-3时，呵二2没有定义，因此x=-3为间断点.

知识点解析：x+3

13、

设fa）=Hx-i）,贝厅'（1）=.

标准答案：1

知识点解析：J'=2x-Ly'k=l-

14、

如果y=ax是y=lnx的切线，则。=.

标准答案：1/e

知识点解析：

设切点为（4，%）,则该点是y=ax与y=lnx的公共点，

故应有axo=lnxo，又y=ax的斜率。应为何比次，即有a=—»x0=—.

XQa

"。=加/11

由《1有l=ln—,可解出。=一.

xQ="ae

15、

定积分J^sinx3dx=.

标准答案：0

设/（xWsinF

知识点解析：则佝为奇函数,积分区间为对称区间，故定积分为整

16、

设z=/Q，y)=7+y2-研则改=.

标准答案：(2x-y)dx+(2y-x)dy

f(x,y)^x2+y2-xy

从而广：a，，)=2x-y；:f；(x,y)=2y-x,于是

知识点解析：氏=(2ay)dx+(2y-乃⑪•

17、

函数〃幻=，广孑山的上凹区间是.

标准答案：（心,2）

知识点解析：

fXx）=e0-?/#（x）=（4-2x）e0-?

令/，（幻=0,由4-2x=0得x=2・当x<2时，/*（x）>0；当x>2时，/*（x）<0,故

/（X）的上凹区间是（7,2）.

18、

过点Mi（L2,-1）且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为.

标准答案：

x-ly-2_z+1

由于直线与平面x-2y44z=0垂直，可取直线方向向

量为（1,-2,4）,因此所求直线方程为?=衅=年.

知识点解析：1一24

19、

若级数£-（-i）i1々条件收敛（其中加）为常数），则％的取值范围是.

万・】〃

标准答案：OVkWl

知识点解析：

匕＞1时，级数各项取绝对值，得正项级数£」，是收敛的p一级

数，从而原级数绝对收敛.当04W1时，由莱布尼茨交错级数收敛性条件可判明原级数收敛且

条件收敛.因此应有0V&&1.

20、

二阶常系数齐次线性方程y”=0的通解为.

标准答案：

y=G+

r=o,特征方程为/=o,特征根为=o（二重根），于是

知识点解析：二阶常系数齐次线性方程的通解为）=G+CK,

三、简单解答题（本题共5题，每题1.0分，共5分。）

21、

求."4皿

IJsin/dz

标准答春

解原式=lim匚竿

Dsinx

日

r~2

=iim-5-

*一。x

as1■■

2

知识点解析：暂无解析

22、

求JjCr+y）dzdy,其中区域。是由曲线y=1+/1=/心=0与2=1所图成.

标准答案：

解积分区域D如右图所示.

D可以表示为

原式=[dij2(x4-yydy

riii+/

=]4+犷)/dx

=I*(xJC24-

Jo./

=(9+。+尹1

4O40

=_£

一~3

知识点解析：暂无解析

23、

已知广=：.求X作时空的值.

\y=ecost3dz

标准答案：

立

=-cost-e'sinf

dxe'sinr+e'cost

cos£—sine

sine+cost

nn

COSy—Siny

故影

K.n

sin—+cos—

J3

=用—2.

知识点解析：暂无解析

24、

求微分方程xyf—V=x2的通解.

标准答案：

解将方程化为标准形式

/1

y——y=x.

y=e-8([①J加di+c)

=(pre-81rd;r+c)

—eXfxe-Xdx+c)

=x(jx•+<lz+c)

知识点解储卷无镰斤

25、

设z=z（z,y）由3+4+3//2+2%=1确定,求张,

标准答案：

解将所给方程两端关于X求偏导数，可得

2x+3>'（^+2xz1^）+2,=0,

可解得

dz2#+31yg

dx2{3iyz+1），

将所给方程两端关于y求偏导数，可得

3.+3工（.+2尸'）+2.=0.

可解得匹=_.3（/十我2）

J册华dx2（3邙+1”

知识点解析：暂无解析

四、复杂解答题（本题共3题，每题7.0分，共3分0）

26、

rfsinzcosz

计算dx.

o1+cos2x

标准答案：

解原式=一『.qos%dcosz

Jo1H-COSX

____d(l+cos21)

2Jo1+cos2x

=—^-ln(l+cos2x)

Zo

=W"ln2・

知识点解析：暂无解析

27、

设区域D为：7+丁44Q20,计算j在不丁也

标准答案：

解利用极坐标，区域D可以表示为

0《。《女,04厂<2,

0+「dxdy=J。曲J。r2dr

=J：R)

=J；I"/=%•

知识点解析：暂无解析

28、

曲线/十2叩+3=0上哪点的切线与x轴正向所夹的角为十?

标准答案：

解将3?+2xy+3=0对“求导，得

2yyf+2（y+q'）=0

欲使切线与x轴正向所夹的角为手，只要切线的斜率为1,即

4

——=1•

x-Vy

亦即z+2y=0,

设切点为Gr。，”）•则

x0+2%=0①

又切点在曲线上，即

%2+21royo+3=0②

由①，②得”=士1,10=干2

即曲线上点（一2,1）,（2,—1）的切线与#轴正向所夹的角为手.

4

知识点解析：暂无解析

专升本（高等数学一）模拟试卷第4套

一、选择题（本题共70题，每题1.0分，共10分。）

1、当x-0时，下列变量中为无穷小的是（）

A、1山।

sinl/x

C、cotx

D、-1z

标准答案：D

知识点解析：本题考查了无穷小量的知识点.x-0时，Iglxl—~~co,sinl/x无极

限，coix-s,G77-。，故选口.

2、设函数y=2x+sinx,则y'=()

A^1-cosx

B、1+cosx

C、2-cosx,；C

D^2+cosx

标准答案：D

知识点解析：本题考查了一阶导数的知识点.因为y=2x+sinx,贝ijy=2+cosx。

3、设函数f(x)满足f(sin2x)=cos2x,且f(0)=0,则f(x)=()

2

A、cosx+1/2cosx

2

B、sinx—l/2sinx

C^sin2x一l/2sin4x

D、x—l/2x2

标准答案：D

知识点解析：本题考查了已知导函数求原函数的知识点.由P(sin2x)=cos2x,知

f(sin2x)=l—sin2x.令Fsi/x,故F(u尸=1一u.所以f(u)=u-l/2u2+C»由

f(0)=0,得C=0.所以£x)=x—1/2x2.

4、®Jf(x)dx=x2+C,则Jxf(l—x2)dx=()

A、一2(1—x2『+C

B、2(1-x2)2+C

C、一1/2(1-x2)2+C

D、1/2(1-x2)2+C

标准答案：C

知识点解析：本题考查了换元积分法的知识点.Jxf(l—x2)dx=l/2jf(l—x2)d(l—

x2)=-1/2(1—x2)2+C.

<1+x)(l4-2x)(1+3i)+u

hm--------------------------------------

5、lim"J=6,则a的值为()

A、一1

B、1

C、一1/2

D、2

标准答案：A

知识点解析：本题考查了洛必达法则的