中考数学一轮复习：专题142 全等三角形的判定【八大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题14.2全等三角形的判定【八大题型】

【沪科版】

♦题型梳理

【题型1全等三角形的判定条件】.......................................................................1

【题型2灵活选择判定方法证明两个三角形全等】......................................................5

【题型3运用全等三角形证明线段相等或角相等】......................................................9

【题型4运用全等三角形证明线段间的位置关系】......................................................13

【题型5运用全等三角形解决实际测最问题】..........................................................17

【题型6作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】.......................................21

【题型7与三角形全等有关的动点探究题】............................................................25

【题型8与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】.........................................31

►举一反三

【知识点全等三角形的判定】

判定方法解释图形

边边边

三条边对应相等的两个三角形全等

(SSS)

边角边两边和它们的夹角对应相等的两个

(SAS)三角形全等

角边角两角和它们的夹边对应相等的两个

(ASA)三角形全等

角角边两个角和其中一个角的对边对应相

(AAS)等的两个三角形全等

斜边、直角边斜边和一条直角边对应相等的两个

(HL)直角三角形全等/4

【题型1全等三角形的判定条件】

【例1】(2023春•广东深圳•八年级校联考期中)如图，在△4BC和△84。中，zC=ZD=90°.在以下条件:

①AC=BD；®AD=BC；®/.BAC=AABD；®^ABC=Z.BADx⑤4C4Q=4D8C中，再选一个条件，就

能使三△BAD,共有()选择.

A.2种B.3种C.4利।D.5科,

【答案】C

【分析】先得到4C=匕。=90。，若添加力C=8。，则可根据“HI”判断△ABC三△ZMD；若添加8C=A0,

则可根据"HL”判断△力BC三△84D；于是=8D,然后利用前面的结论可得到△/B3△8/W；若添力口(M=

OB,贝此ABC=LBAD,于是可利舟'AAS”判断△ABC=△BAD；若添加NB4c=乙ABD,则可直接利用“AAS”

判断△ABC三△BAD.

【详解】解：AC1BC,AD1BD,AzC=ZD=90°,

在RtZkABC和RtZkB力。中，

(AC=BD

lAB=BA'

4。(HL),所以(1)正确：

*：AC1BC,AD1BD,

・•・“=〃)=90。，

在Rt△IBC和Rt△BAD中，

(AC=BD

lAB=BA'

ARtA/lFC^RtAS/1D(HL),所以(2)正确；

*：OA=OB,

J.LABC=乙BAD,

^EAABC^UAB/O中，

(LC=ZD

\AABC=乙BAD,

(AB=BA

・・・AA8CWA84D(AAS),所以(4)正确;

在小BC和△BAD中，

(zC=zD

UBAC=乙ABD,

(AB=BA

：,LABC=△F/1D(AAS),所以(3)正确;

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【变式1・1】(2023春・广东佛山.八年级校考期中)如图，点。在AB上，点E在47上，且乙请结合

图形，补充1个条件，使△ABE丝△4CD,则可以添加的条件是__________.

B

【分析】根据已知条件推出两组相等的角，再根据判定方法添加条件即可.

【详解】解：由题意，zF=zC,=

若添加条件48=AC,可根据“ASA”证明全等，

故答案为：AB=AC（答案不唯一，合理即可）.

【点睛】本题考查全等三角形判定条件的确定，掌握判断全等三角形的方法是解题关键.

【变式1-2］（2023春•湖南长沙•八年级校联考期末）在ZMBE与AD8C中，BC=BE,AB=DB,要使这两

个三角形全等，还需具备的条件是（）

A.ZF=Z.CB.Z,ABD=Z.CBEC.乙ABE二乙DBED.Z.A=ZD

【答案】B

【分析】本题要判定△A8E三ADBC,已知BC=BE,AB=08,具备了两组边对应相等，故添加乙18。=乙CBE

后可根据SAS判定两三角形全等.

【详解】解：A.添加乙E=4C,结合BC=BE,AB=DB,根据SSA不能证明△4BEDBC,故选项A不

符合题意；

B.添力UN/1BO=Z.CBE.

*：LABD=Z.CBE

：.LABD+Z.DCE=Z.CBE+乙DCE,即N/BE=乙CBD

•:BC=BE,AB=DB,

:.AABE=△DBC

故选项B符合题意：

C.添加乙4BE=iDBE不能得出乙＜8。=乙CBE,故不能根据SAS判定△ABEWADBC,故选项C不符合题意;

此时交点C.是唯一的，

故甲添加8C=B'C=3cm时,A/IBC与△CB'C'全等,

故甲获胜，故本说法正确；

③若第2轮乙添加条件修改为匕4=乙A=90。，

若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定△力BC与全等，则乙获胜.

若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定△48C与全等，则乙获胜，

故乙必胜，故本说法正确；

④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C=3cm,

第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定A48C与夕C'全等，则乙获胜；

甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定△4BC与夕U全等，

第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定△4BC与夕L全等，则乙获胜；乙若添加一组角相

等,满足角角边（或角边角），能判定△力夙?与△4夕U全等，则甲获胜，

此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确.

故答案为：②③④

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

【题型2灵活选择判定方法证明两个三角形全等】

【例2】（2023春•广东清远・八年级统考期末）如图，△ABC的高8。与CE相交于点。，OD=OE,A。的延

长线交于点M,请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明.

【答案】图中全等的直角三角形有：△A。。三△力E。，ADOOEOB,ACOMWABOM,^ACM=^ABM,

^ADB^^AEC,ABCE亘ACBD,证明见解析

【分析】结合已知条件与三角形全等的判定方法证明即可.

【详解】解：△A。。三△AEO,△DOE△EOB,△COM三△BOM,△ACM=△ABM,△ADB=△AEC,△BCEw△

CBD.

理由如下：

在A4D。与△4E。中，/-ADO=Z-AEO=90°,

(OA=OA

S。=OE'

.\A/1D0=A/1E0(HL),

：.z.DAO=Z.EAO,AD=AE,

在

(Z.ODC=乙OEB=90°

OD=OE

(Z.DOC=Z.EOB

•••△DOCwZiEOB(ASA),

:.DC=EB,OC=OB,

：.DC+AD=EB+AE,即AC=48,

'：LDAO=Z.EAO,

：,AM1BC,CM=BM.

在ACOM与△BOM中，Z.OMC=LOMB=90°,

(OC=OB

lOM=OM'

・・・ACOM三△80M(HL).

在△ACM与△ABM中，Z.AMC=LAMB=90°,

(AC=AB

blM=AM'

在小。B与MEC中,

AD=AE

乙DAB=Z.EAC»

.AB=AC

AA/1DB^A/1EC(SAS).

在△BCE与△CBD中，LBEC=LCDB=90°,

BC=CB

BE=CD

・・・ABC£W2\C8O(HL).

综•上所述，图中全等的直角三角形有：△ADO^△AEO.△DOgAEOB,△COM三△BOM,△ACM=△ABM,

^ADB=^AEC,△BCE^△CBD(任选三对即可).

【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有

边的参与，若有两边一角对应相等时.，角必须是两边的夹角.

【变式2-1](2023•云南•模拟预测)如图，点E在人8上，NA=N8=NCEO=90。，CE=ED.求证：

△ACE@ABED.

【答案】见解析

【分析】通过余角的性质可得NC=NOEB,再用AAS证明三角形全等即可.

【详解】证明：•••/A=NB=/CEO=90。，

.*.ZC+ZCEA=90°,NCEA+NDEB=9()°,

：.ZC=ZDEB,

在△人。£和4BED中,

(LA=ZF

VjzC=乙DEB,

(CE=ED

•••△ACE/△BE。(AAS).

【点睛】本题主要考查了用AAS或ASA证明三角形全等，通过余角的性质得到NC=NOEB是解题的关键.

【变式2-2](2023•福建泉州•统考一模)如图，在EM8C0中，延长边04至点E,使得AE=40,连接CE■交AB

于点尸，求证：XAEF与&BCF.

【答案】见解析

【分析】首先根据平行四边形的性质得到为Oil8C,AD=BC,进而得到乙E二然后证明△4£尸三^

BCF（AAS）即可.

【详解】在团ABCD中，-：ADIIBC,AD=BC,

：,^E=^BCF,

9：AE=AD,

*,AE=BC,

在AAE尸与ABCF中，

LE=乙BCF

Z.AFE=Z.CFB

.AE=BC

：.LAEF三ABC/^AAS）.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

【变式2-3]（2023春・全国•八年级期中）如图，AB//CD,ZD=ZD,O是CD的中点，连接AO并延长，

交BC的延长线于点E.

（1）试判断AD与RE有怎样的位置关系，并说明理由；

【答案】⑴AD//BE,理由见解析；⑵见解析.

【分析】（1）由AB//CD可得NB=NDCE,进而可得NDCE=/D,问题得证；

（2）由O是CD的中点，可得DO=CO,结合（1）中NDCE=/D,再结合对顶角，可根据ASA判定全等.

【详解】（1）AD//BE,

理由：VAB//CD,

AZB=ZDCE,

VZB=ZD,

AZDCE=ZD,

AAD//BE；

(2)・・・0是CD的中点,

ADO=CO,

在AADO和△ECO中,

LD=LDCE

DO=CO

LAOD=乙COE

/.△AOD^AEOC(ASA).

【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【题型3运用全等三角形证明线段相等或角相等】

【例3】(2023春・湖南株洲•八年级校考期中)如图，AD=CB,AB=CD,BELAC,垂足为E,DFLAC,

垂足为£求证：

=△CDA,

(2)BE=DF.

【答案】(I)见解析

(2)见解析

【分析】(1)直接用SSS即可证明△力8c三△CDA；

(2)由△48C三△GZ4,可得出乙4C8=4。力。，^BE1AC,DF1AC,

可得出/BEC=4DE4=90。，由AAS即可得出△AFD三ZiCEB,即可得出结论.

【详解】(1)证明：在△4BC和△C7Z4中

(AD=CB

\AB=CD

(AC=CA

：.LABC^^CDA(SSS)

(2)•••△ABC三△CZM,

：.LACB="AC,

BELAC,DFLAC,

:.乙BEC=^DFA=90°,

在A”0和△CE8中,

(Z.DEA=乙BEC

^DAF=BCE，

(DA=BC

.\LAFD三△CEB(AAS),

：,BE=DF.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键.

【变式3-1](2023春•四川南充•八年级统考期中)己知△/1用V和△ACM的位置如图所示，AB=AC,AD=AE,

BD=CE.

(1)求证：Z1=Z2：

(2)求证：ZAME=ZAND.

【答案】（I）见详解；（2）见详解.

【分析】（1）利用SSS证明△A8O且Z\AC£即可得出结论;

（2）利用ASA证明△即可■得出结论.

【详解】证明（1）：A8=AC,AD=AE,BD=CE

•MABD%AACESSS）

AZ1=Z2

（2\：^ABD^^ACE

・•・NADB=NAEC

/.1800-Z：ADB=1800-Z1AEC

即NAON=NAEM

又NQAE=NQA£,AD=AE

：./\ADN^AAEM（ASA）

AAME=ZAND

【点睛】本题考查「全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

【变式3-2](2023春・山东威海•八年级统考期中)如图，AD=AC,AB=AEt^DAB=Z.CAE.

(I)写出△ADE^^4cB全等的理由；

(2)判断线段。尸与CF的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

⑵DF=CF,理由见解析

【分析】(1)由乙=得出乙04£=乙&48,再根据S4S判断△4OE与△4C8全等即可；

(2)由AAOB与△ACE全等得出。8=乙FDB=AFCE,判断△08尸与△ECF全等，最后两J用全等三角形

的性质可得.

【详解】(1)全等，理由如下：

\,z.DAB=Z.CAE,

：,^DAE=Z.CAB,

在公力。£与4力(78中

(AD=AC

l^DAE=乙CAB

IAB=AE

：,LADE三AACB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下：

在ZMDB与△力CE中

(AD=AC

\^-DAB=^CAE,

(AB=AE

：.LADB^LACE(SAS),

：.ADBA=^CEA,

'：LADE^^ACB,

：.Z.ABC=Z.AED,

，乙DBF=^CEF,

在小。8?与4£7:?中

（/.DFB=Z.CFE

1/.DBF=乙CEF,

（DB=EC

:MDBF"CEF（AAS）,

：.DF=CF.

【点睛】本题考行了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，

此题比较典型.

【变式3-3］（2023•陕西西安•八年级校考开学考试）如图，在中，力8=4C,点。在边上，点E在71C

边上，连接40、DE,若AD=DE,AC=CD.

（I）求证：△/B。三△OCE.

（2）若BD=3,CD=5,求AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】（1〉未艮据40=OE,AC=CDnf^l：/.DAE=ADEA./.DAC=/.ADC,继而推出/4E0=N/OC,

领补角相等，则=结合已知条件，利用“角角边”证明三角形全等即可；

（2）根据（1）的结论可知：七^二⑶以则/^二力0一小^即可求得

【详解】（1）4。=DE

•••LDAE=Z.DEA

•••AC=CD

•••LDAC=4ADC

•••LAED=Z.ADC

二180°-Z.AED=180°-乙ADC

即：^LADB=/.DEC

vAB=AC,AC=CD

•••LB—乙C,AB=CD

在小8。和△/)(?£中

«ADB=乙DEC

乙B=KC

(AB=DC

•••△ABD"DCE(AAS)

(2)v△ABDDCE,BD=3,CD=5,

:.CE=BD=3.

•••AC=AB

:.AC=5

AE=AC-CE=S-3=2

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，证明乙4)8="EC是解题的关键.

【题型4运用全等三角形证明线段间的位置关系】

【例4】(2023春•云南红河•八年级校考期中)如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点,已知

Z1=Z2,Z3=Z4.求证：AD1BC.

【答案】证明见解析.

【分析】在△48E和AACE中，由AAS判定再根据全等三角对应边相等的性质，得到力B=

AC,继而可以证明△4BD三△4CD(S4S),根据全等三角形对应角相等的性质得到-1D8=最后由

平角的定义解题即可.

【详解】证明：证明：在△4BE和AACE中，

(Z1=42

Z3=Z4

\AE=AE

：.AABEW△力CE(7L4S),

*»AB=AC,

V在△A80和△ACD中,

(AB=AC

zl=Z2

\AD=AD

，△4BD会△ACD(S4S),

：,z.ADB=Z-ADC

*：Z.ADB+^.ADC=180°,

：.LADB=90°,

I.AD1BC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

【变式4-1]（2023春・江苏南京•八年级期中）如图，在平行四边形4BCO中，E,尸是对角线AC上两点,

且/尸=CE,连接BE,DF,求证：BE||DF.

【答案】见解析

【分析】证明：根据平行四边形ABCD,可以证明4ADF9ACBE,从而得NAFO=NCEB,所以NDFC=NBEA,

由平行线的性质，即可得到。尸瓦

【详解】证明：•・•平行四边形ABC/）,

:.AD//BC,

/.NDAF二NBCE

在AA。/和△8CE中,

AD=CB

{Z.DAF=Z.BCE,

AF=CE

:・2ADF学4CBE,

・••NAFD=/CEB

:・/DFC=4BEA,

：.DF//BE.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键

是熟悉并灵活应用以上性质解题.

【变式4-2]（2023春・江西宜春•八年级校考期中）如图，已知力D平分且乙1二乙2.

（I）求证：BD=CD；

⑵判断与8C的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）证明过程见详解

（2MD1BC,理由见详解

【分析】（1）根据"角角边''证明△48。三△4CD（AAS）,由此即可求解.；

（2）由（1）可知△ABC是等腰三侑形，再根据等腰三角形“三线合一”即可求解.

【详解】（1）解：:人。平分NBAC,

：,LBAD=Z.CAD,

在AABD,^4co中，

（Z.BAD=Z.CAD

Z1=Z2,

（AD=AD

AAABD三△ACD（AAS）,

:.BD=CD.

（2）解；AD1BC,理由如下,

如图所示，延长力。交于点E,

.*.AB=AC,

・•・AABC是等腰三角形，

•ZD平分484C,

.\AD1BC.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定，性质，等腰

三角形的性质是解题的关键.

【变式4-3X2023春•山东临沂・八年级统考期末）如图，在△ABC和AADE中,4B4C=Z-DAE=90。,48=AC,

AD=AE,连接CD,C、D、E三点在同一条直线上，连接BD,BE.

（2）判断8D与CE的位置关系并说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）FD1CE,见解析

【分析】（1）由“SAS”可证△840三△口!£1,可得结论；

（2）由全等三角形的性质可得44cE=由三角形内角和定理可求解.

【详解】（1）证明：=Z.DAE=90°,

：.LBAC+LCAD=LDAE4-/,CAD,RflzBAD=Z.CAE,

AB=AC

在乙C4E中，^BAD=Z.CAE,

AD=AE

：.LBAD三△C4E(SAS),

，BD=CE；

(2)解：BD1CE,理由如下：

如图，设AC与BO于G,

ABAD三AC4E,

：.z-ACE=乙ABD,

\^AGB=/.CGD,ABAC=90°,

J.Z.CDG=90°,

：,BD1CE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形口勺性质，掌握全等三角形的判定是本题的关

键.

【题型5运用全等三角形解决实际测量问题】

【例5】（2023春•八年级单元测试）如图，某市新开发了一个旅游区，有一•湖心岛C,需测算景点A,B与C处

的距离，请你设计一个方法，测量4C,BC的长度，并说明理由.

----------------・B

【答案】见解析

【分析】过点A作NB4M=乙区40过点3作乙48N=4ABC,AM,8N交于点。，测量49,8。的长度即可.

【详解】解：过点4作ZJMM=过点8作4力8N=448C,AM,BN交于短D,测量4。,80的长度即

可，

理由：yZ.BAM=ABAC,乙ABN=^ABC,AB=AB,

.\LABD三△力BC(ASA),

【点睛】此题考查了全等三角形的应用，正确理解题意作出全等的三角形是解题的关键.

【变式5-1]（2023春・河南信阳•八年级统考期中）某建筑测量队为了测量•栋居民楼ED的高度，在大树

AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C,使B,C,D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民

楼顶端E的视线EC的夹角为90。，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度.

田

田

田

【答案】52米

【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90。以及AB=CD可以推出

AABC^ACDE,从而得到坑）=BC,进而计算出8c即可.

【详解】解：由题意可知：LB=Z.CDE=LACE=90°,

•••/.ACB+乙DCE=180°-90°=90。，

乙ACB+ABAC=90°,

Z.ACB+Z.DCE=Z.ACB+Z.BAC,

:.Z.DCE=Z.BAC,

在NA8C和4cOE中，

（Z.BAC=Z.DCE

jLB=Z.CDE,

（AB=CD

AABC^ACDE,

•••ED=BC,

又•■•CD=12米，BD=64米,

BC=BD-CD=64-12=52米，

ED=52米，

答：该居民楼ED的高度为52米.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明AABCgACDE是解题的关键.

【变式5-2］（2023春•八年级单元测试）如图，某校学生为测量点8到河对面的目标4之间的距离，他们在点

B同侧选择了一点C,测得乙八8。二70。，^ACB=40°,然后在M处立了标杆，使乙C8M=70。，为了测量人

B之间的距离，他们应该（）

A.直接测量BM的长B.测量BC的长

C.测量乙4的度数D.先作NBCN=40。，交BM于点N,再测量8N的长

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定及性质解答即可

【详解】解：为了测量4,B之间的距离，他们应该先作ZBCN=40。，交8M于点N,再测量BN的长,

理由：Vz.BC/V=40°,乙4cB=40°,

:,乙BCN=Z.ACB,

•；“BM=/.ABC=70°,BC=BC,

：.4BCN三ABC力（ASA）,

:.BN=AB,

故迄D

A

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

【变式5-3]（2023春・全国•八年级专题练习）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具一

拐尺，其中O为AB的中点《庆_1人8,13口，人13©人=134现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,

说明理由.

C

,n隔离房

D

【答案】理由见解析.

【分析】使AC与房间内壁在一条直线上，且C与一端点接触，然后人在BD的延长线上移动至F,使F、O、

E三点正好在一条直线上，记下F点，这时量出DF长，即为房间深度CE.通过证△EAOgZxFBO,可得

BF=AE,则BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

【详解】解：如图，使AC与房间内壁在一条直线上，且C与一端点接触，然后人在BD的延长线上移动至F,使

F.O,E三点正好在一条直线上，记下F点，这时量出DF长,即为房间深度CE.理由如下:由

ZA=ZB=90°,OA=OB,ZEOA=ZFOB,

/.△EAO^AFBO,

得BF=AE,

则BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

E

IC

B~T~A

；O

nu;

VF

【点睛】本题考核知识点：全等三角形判定的应用.解题关键点：构造全等三角形.

【题型6作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】

【例6】（2023・江苏•八年级假期作业）如图，在△48。中，乙8=60。，的角平分线力0、CE相交于点

O,求证：AE+CD=AC.

【答案】证明见解析

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到乙4。。=120°,/.AOE=乙COD=60°,在4C上截

取71尸=AE,连接OF,分别证明以AOE三△AOF(SAS),△COD与△COF(ASA),得到CD=CF,即可证明结

论.

【详解】证明：v=60%

•••Z.BAC+/-ACB=180°一乙B=120°,

•••AD.CE分别平分N84C、4力CB,

11

WAC-^.OAB--^-BAC,40cA-^OCB--^.ACB,

22

Z.OAC+Z-OCA=^Z.BAC+^Z.ACB=^BAC+Z-ACB)=60°,

・•.Z.AOC=120°,

:*Z.AOE=乙COD=180°-LAOC=60°,

如图，在AC上截取AF=AE,连接OF,

在AAOE和Zi/lO/中，

(AE=AF

1/.0AE=Z-OAF,

(AO=AO

•••△ROE三△力。尸(SAS),

:.Z.AOE=LAOF=60°,

•••Z.COF=Z.AOC-Z.AOF=120°-60°=60°,

•••/.COD=60°,

•••乙COD=Z.COF,

在ACOD和△CO尸中，

(Z.0CD=Z.OCF

CO=CO，

(〃OD=Z.COF

•••△COO三△COF(ASA),

ACD=CF,

vAF=AE,

:.AF+CF=AE+CD=AC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理.，角平分线的定义，做辅助线构造全等三

角形是解题关键.

【变式6-1]（2023春•全国•八年级专题练习）如图，在梯形A3CD中,AD//BC,4E平分N84D,BE平分

/ABC,且AE、BE文CD于点E.试说明-BC•的理由.

AK_______D

R

【答案】见解析

【分析】在A3上找至IJ〃使得易证可得A/=A。，ZAFE=ZD,根据平行线性

质可证NC=NBFE,即可证明△BEC9△8EF,可得BF=BC,即可解题.

【详解】证明：在A8上找到尸使得A/=A。，

:4E平分NBA。，

・・・NE4O=NE4尸，

•・•在△AEF和△AED中,

(AD=AF

l^,EAD=Z.EAF,

(AE=AE

：.^AEF^/\AED,(SAS)

：.AF=ADtNAFE=ND,

VADZ/BC,

AZD+ZC=180°,

ZAFE+ZBFE=180°

：./C=/BFE,

「BE平分N84D,

；・/FBE=/C,

•・•在△BEC^LBE很中,

(乙BFE=Z-C

1/.FBE=乙CBE,

(BE=BE

:.△BEgABEF,(AAS)

:・BF=BC,

t：AB=AF^~BF,

：.AB=AD-\-BC,

即AD=A13-BC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应力、对应角相等的性质，本题中求证

△AEF^AAED和仆BEC丝ZXBEF是解题的关键.

【变式6-2］（2023春•八年级单元测试）如图，在心△A8C中，/AC8=90。，点。是的中点，小明发现，

用已学过的“倍长中线”加倍•构造全等，就可以测量C。与4B数量关系.请根据小明的思路，写出C。与AB

的数景关系，并证明这个结论.

A

【答案】证明过程详见解析

【分析】延长C。到点E,使ED=CD,连接BE,根据全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：CD=/B,证明：如图，延长C。到点E,使瓦上CD,连接BE,

在ABDE和A/IOC中，

(BD=AD

UBDE=£ADC

(ED=CD

:・EB=AC,NDBE=NA,

・•.阳|AC,

*/NAC8=90。，

/.Z£BC=180°-ZACB=90°,

；,/EBC=/ACB，

在乙£C8和△ABC中,

(EB=AC

l^EBC=zL4cB

(CB=BC

•二△EC哙△A8C(SAS),

:・EC=AB,

••・。”兴

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是止确的作出辅助线.

【变式6-3](2023春•八年级课时练习)如图，在四边形。4C8中，CEJL。/1于十，乙1=△2,GI=C8.求证:

43+44=180°；OA+OB=2OE.

OEA

【答案】详见解析

【分析】过点。向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.

【详解】如图，过点。作CFl。8与点凡则NF=NCEO=90。，

vzl=z2,OC=OC,

:.AFOC三AEOC,

CE=CF,OE=OF,

•:CA=CB,/.CEA=乙CFB=90°,

:.RtACAE=RtACBF(HL),

z4=乙CBF,AE=BF,

Vz3+乙CBF=180°,•••乙3+44=180°,

•••OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2OE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线阂建全等三角形是解题的关键.

【题型7与三角形全等有关的动点探究题】

【例7】(2023春・山东德州•八年级校考期中)如图，已知长方形A8CO的边长48=20cm,BC=16cm,

点E在边A8上，AE=6cm,如果点夕从点3出发在线段8c上向点C运动，同时，点。在线段。C上从

点、D向点、C运动,已知点P的运动速度是2cm/s,则经过______s,ABPE与〉CQP全等.

【答案】1或4

【分析】分两种情况：①当£B=PC时，&BPE三&CQP,②当8P=CP时，ABEP"QP,进而求出即可.

【详解】解：设运动的为ts,分两神情况：

①当"3=PC,BP=QC时,△DPECQP,

AB=20cm,AE=6cm,

.\EB=14cm,

：.PC=14cm,

*：BC=16cm,

:.BP=2cm,

:・QC=2cm,

丁点。从点B出发在线段8c上以2cm/s的速度向点C运动，

.・.t=2+2=l(s),此时点Q的运动速度为2+1=2(cm/s)；

②当8P=CP,BE=QC=14cmM,ABEP=CQP,

由题意得：2t=16-2t,

解得：£=4(s),此时点。的运动速度为14+4=3.5(cm/s)；

综上，点P经过1或4s时；&BPE与4CQP全等.

故答案为：1或4.

【点睛】此题主要考杳了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质.

【变式7-1](2023春・河南许昌•八年级统考期末)如图，CALAB,垂足为点A,AB=24cm,AC=12cm,

射线BM14B,垂足为点8,一动点E从4点出发以3cm/s沿射线AN运动，点。为射线BM上一动点，随着

E点运动而运动，且始终保持ED=CB,当点E经过()秒时，XDEB与〉BCA全等.(注：点E与A

不重合）

A.4B.4、12C.4、8、12D.4、12、16

【答案】D

【分析】设点E经过，秒时，△DEB与A全等：由斜边=CB,分类讨论BE=AC^BE=胃8时的情况,

求出，的值即可.

【详解】解：设点E经过，秒时，ADEB与＞BCA全等;此时HE=3£cm,

分情况讨论：

（1）当点E在点8的左侧时，&DEBW2BCA,则8E=AC,

.\24-3t=12,

At=4：

（2）当点E在点B的右侧时，

®ADEB^^BCA,BE=4C时，3t=24+12,

t=12：

®LEDB=LBCA.=时，3t=24+24,

At=16.

综上所述，点E经过4、12、16秒时，△DEB与ABCA全等.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键.

【变式7-2］（2023春•甘肃定西•八年级校考期末）如图所示，在A/IBC中，乙48。=68。，BD平分乙ABC,P为

线段BD上一动点，Q为边力B上一动点，当月P+PQ的值最小时，乙4PB的度数是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

【答案】D

【分析】先在8c上截取BE=BQ,连接PE,证明△PBQ=△PBE(SAS),得出PE=PQ,说明AP-}■PQ=AP+

PE,找出当A、P、E在同一直线上，且AE18C时，4P+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作/E18C于

点、E,交8D于点P,根据三角形外角的性质可得答案.

【详解】解：在上截取BE=BQ,连接PE,如图：

•••BD平分/ABC,/-ABC=68°,

：.LABD=乙CBD=-Z-ABC=34%

2

TBP=BP,

/.APBQ三△PBE(SAS),

：.PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE,

・•・当A、P、七在同一直线上，且AEJL8C时，4P+PE最小，即力尸+PQ最小，过点A作4E1BC于点E,

交BD于点、P,如图：

'：LAEB=90°,Z-CBD=34°,

=(AEB+Z.CBD=124c.

故选:D.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三

角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP+PQ最小时点P的位置.

【变式7-3](2023春•八年级单元测试)如图，在△ABC中，AZ)为高，AC=12.点£为42上的一点，使

CE=^AE,连接3E,交AO于。，BDO^AADC.

备用图

⑴求N4EC的度数；

(2)有一动点。从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点。的运动时间为/秒，是否存

在i的值，使得△30Q的面积为24?若存在，请求出I的值：若不存在，请说明理由：

(3)在(2)条件下，动点尸从点。出发沿线段。8以每秒2个单位长度的速度向终点8运动，P、。两点同

时出发，当点P到达点3时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为，秒，点”是更线3。上一点，且C"=AO.当

△4。尸与△/CQ全等时，求，的值.

【答案】(1)90。

(2)存在，/三或七|

⑶淖2

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到NOa>NCAO,利用三角形内角和得到NAEO=NOD8=90。即可;

(2)根据全等三角形的性质求出4£=8,CE=4,分两种情况：①当0</<1时，Q在线段AE上，②当。1

时，。在射线EC上，根据三角形的面积公式列方程求解；

(3)由△BQOgZVIOC得到N30D=NACO,①当点尸在线段BC延长线上时，如图3,当OP=CQ时，

^AOP^AFCQ(SAS),得到2『12-8f,求解即可；②当点F在线段BC上时，如图4,当OP=CQ时,

△AOP^^FCQ(SAS),列得2f=8L12,计算即可.

【详解】(1)•・・在△A4C中，为高，

・•・Z0013=90°t

又•「△BQOgZXA。。，

：.ZOBD=ZCAD,

在AA。£与^OB。中

・：NOBD=NCAD,ZI3OD=ZAOE,

ZAEO=ZODB=9Q%

，ZfiEC=180°-ZAEO=90°；

(2)V△BDO^/XADC,AC=\2,

：,BO=AC=\2,

VAC=12,CE=\\E,

：.AE=8,CE=4,

①当0</<l时，。在线段AE上，

SABOQ=：BOXQE=1X12x(8-80=24,

解得r=1：

②当々1时，Q在射线KC上，

JSsBOQ郑OxQE=|x|2x⑻-8)=24,

解得七*

，存在，f=：或/=1；

(3),:XBDCyaXADC,

：,ABOD=ZACD,

①当点川在线段8。延长线上时，如图3,

*：ZBOD=ZACD,

：.NAOP=NACF,

,：AO=CF,

.•.当OP=CQ时，△(SAS),

此时，2r=12-8r,

解得：

②当点尸在线段8C上时，如图4,

•:NBOD=/ACD,

JZAOP=ZFCQ,

,：AO=CF,

.•.当。尸=CQ时，＞AOPQXFCQ(SAS),

此时，2r=8r-12,

解得：f=2；

综上所述，当与△R7Q全等时，，的值为3或2.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，图形与动点问题，熟练掌握全等三角形的性质并应用是解题

的关键,解题中还需注意运用分类思想解决问题.

【题型8与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】

【例8】(2023春•黑龙江齐齐哈尔•八年级统考期末)阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，点E是8c的中点，点A在OE上，且NB4E=NCOE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在问一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证A5=C。，必

须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

(I)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长。E到点尸，使EF=DE,连接3”；

②如图2,分别过点8、C作CG±DE,垂足分别为点RG.

(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；

【分析】（1）①如图I,延长OE到点尸，使EF=DE,连接8F,△BEF^ACED,NBAE=NF,AB=CQ；

②如图2,分别过点8、C作用LLQE,CGDE,垂足分别为点RG,△BEF^^CEG

△BAF^ACDG,AB=CD；

（2）如图3,过C点作CM〃A8,交OE的延长线于点M,则NBAE=/EMC,△BAE^^CFE（A4S）,

zr=z£DC,cr=cD,AB=CD；

【详解】（i）①如图i,

延长。E到点立使E尸=OE,连接8F,

•・•点E是BC的中点，：,BE=CE,

在ABEF^\^CEO中，

BE=CE

乙BEF=LCED,

EF=ED

:•△BEF^ACED(SAS),:,BF=CD,NF=NCDE,

,?NBAE=NCDE,：,NBAE=NF,

:.AB=BF,：,AB=CD；

②如图2,

D

图2

分别过点8、C作CG1DE,垂足分别为点EG,

，ZF=NCGE=ZCGD=90°,

•・•点E是8C的中点，：.BE=CE,

在ABEF^W^CEG中，

ZF=Z.CGF=90°

LBEF=Z.CEG,

BE=CE

:NEF沿ACEG(A4S),:.BF=CG,

在484尸和△COG中，

LBAE=^CDE

乙F=乙CGD=90°,

BF=CG

•••△84必△C7)G(AAS),

：.AB=CDi

图3

过C点作CM〃/W,交。E的延长线于点M,

则NBAE=NEMC,

是BC中点,

:・BE=CE,

在A84七和^CM£中，

LBAE=ACME

/-BEA=乙CEM,

BE-CE

丝△CFE(A4S),：.CF=AB,ZBAE=ZF,

*：NBAE=/EDC,

:・/F=/EDC,:.CF=CD,:.AB=CD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本

题的关键.

【变式8-1](2023春・江苏•八年级专题练习)问题发现：如图1,已知C为线段4B上一点，分别以线段4C,

8c为直角边作等腰直角三角形，LACD=90°,CA=CD,CB=CE,连接4E,BD,线段4E,8。之间的数

量关系为;位置关系为.

拓展探究：如图2,把Rta/CD绕点C逆时针旋转，线段AE,BD交于点F,贝必E与BD之间的关系是否仍然

成立？请说明理由.

【答案】问题发现：AE=BD,AELBD；拓展探究：成立，理由见解析

【分析】问题发现：根据题目条件证△AC£@Z\QC8,再根据全等三角形的性质即可得出答案；

拓展探究：用S4S证A/1CE会AOCB,根据全等三角形的性质即可证得.

【详解】解：问题发现：延长8D,交AE于点立如图所示：

'：Z.ACD=90°,

：.LACE=Z-DCB=90°,

又YCA=CD,CB=CE,

：.LACE=^DCB(SAS),

•••AE=ED,Z.CAE=Z.CDB,

•:乙CDB+乙CBD=

：,LCAE+Z-CBD=90°,

：.LAFD=90°,

：.AF1FB,

•••AE1BD,

故答案为：AE=BD,AE1BD；

拓展探究：成立.

理由如下：设CE与80相交于点G,如图I所示:

'：LACD=乙BCE=90°,

：.LACE=乙BCD,

乂，：CB=CE,AC=