解析几何-高考数学考前三个月速记清单

专题九

解析几何——高考数学考前三个月速记清单（一）直线与圆1.直线的有关问题(1)直线的斜率公式①已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为．②已知直线过点，则直线的斜率为.(2)三种距离公式①两点间的距离：若，则．②点到直线的距离：点到直线的距离．③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为则两平行线的距离.(3)直线与圆相交时弦长公式设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长．(4)直线方程的五种形式①点斜式：．②斜截式：．③两点式：．④截距式：．⑤一般式：(A，B不同时为0)． (5)直线的两种位置关系①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(ⅰ)两直线平行：．(ⅱ)两直线垂直：．②当两直线方程分别为时：(ⅰ)l1与l2平行或重合．(ⅱ)．2.圆的三种方程①圆的标准方程：．②圆的一般方程：．③圆的直径式方程：(圆的直径的两端点是)．3.直线与圆的位置关系（1）判断直线与圆的位置关系的方法①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：相交，相离，相切．②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．（2）两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.圆心距与两圆半径的关系两圆的位置关系内含内切相交外切外离易错易混已知两点坐标求斜率，若点的坐标中有参数，容易忽略直线斜率不存在的情况设直线方程解题时忽略斜率不存在的情况平行线间的距离公式使用不当致误忽视直线点斜式和斜截式方程的适用范围忽视直线截距式方程适用范围忽视圆的一般式方程适用条件求轨迹方程时易忽略隐含条件而致误求过定点的圆的切线方程不先判断定点是在圆上还是在圆外致误（二）圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：．(2)双曲线：．(3)抛物线：，点F不在直线l上，于M(l为抛物线的准线)．2．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：；离心率为．②在双曲线中；离心率为．(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线的渐近线方程为；焦点坐标．②双曲线的渐近线方程为，焦点坐标．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线的焦点坐标为，准线方程为．②抛物线的焦点坐标为，准线方程为．3.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点时，(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线焦点F的弦，若，则，；②弦长(为弦AB的倾斜角)；③；④以弦AB为直径的圆与准线相切．（三）直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．2．弦中点问题的解决方法(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．3．与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．6.圆锥曲线中的定点，定值问题定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等