数学归纳法-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第二章推理与证明2.3数学归纳法1.

数学归纳法的原理是什么?2.数学归纳法的步骤是怎样的?学习要点

问题1.

在上面的多米诺骨牌游戏中,如果其中任一块骨牌倒下,都能导致它后面的一块骨牌也倒下成立,当你推倒第一块骨牌时,是否所有的骨牌都能全部倒下?这个问题中,要使所有的骨牌全部倒下,必须且只需满足什么条件?条件①:第一块骨牌倒下;条件②:任一块骨牌倒下时,它后面一块也一定有这两个条件,一定能使所有的骨牌都倒下.能倒下,即当第k

块倒下时,第k+1块也一定倒下.

问题2.

命题:“前k

个正奇数的和等于k2”,请你验证,有不有这样的正整数k?如果有这样的正整数k,那么再加上第k+1个正奇数,即前k+1个正奇数的和是否也得(k+1)2?如果对k+1个正奇数的和也成立,你有什么思考?k=1时,1=12;k=2时,1+3=4=22;k=3时,1+3+5=9=32.有这样的正整数k.如果命题成立,即1+3+…+(2k-1)=k2

成立,那么再加上第k+1个奇数得1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=

k2+[2(k+1)-1]=

k2+2k+1=(k+1)2.即再多加一个正奇数也成立.再多加一个,……如此递推下去都成立.

问题2.

命题:“前k

个正奇数的和等于k2”,请你验证,有不有这样的正整数k?如果有这样的正整数k,那么再加上第k+1个正奇数,即前k+1个正奇数的和是否也得(k+1)2?如果对k+1个正奇数的和也成立,你有什么思考?k=1时,1=12;k=2时,1+3=4=22;k=3时,1+3+5=9=32.有这样的正整数k.如果命题成立,即1+3+…+(2k-1)=k2

成立,那么再加上第k+1个奇数得1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=

k2+[2(k+1)-1]=

k2+2k+1=(k+1)2.即再多加一个正奇数也成立.再多加一个,……如此递推下去都成立.在这个问题中:(1)验证了k=1时成立;(2)保证了在k

的后面逐个推下去都成立.有了这两条,就保证了对所有的正整数k

都能成立.这就是数学归纳法的思想.数学归纳法:

一般地,证明一个与正整数n

有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)(归纳奠基)证明当n

取第一个值n0(n0N*)时命题成立;

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0

开始的所有正整数n

都成立.

数学归纳法是对有关正整数n

的命题作证明的一种特殊的证明方法.如:在数列{an}中,已知a1=1,我们猜想这个数列的通项公式是是否正确呢?(1)验证n=1时是否成立?由已知给出的a1=1得n=1时是正确的.(2)如果存在一个正整数k,使n=k

时,成立,能否得到n=k+1时也成立?即能否得到下面就需要对(2)进行推证:∵成立,又由已知得如:在数列{an}中,已知a1=1,我们猜想这个数列的通项公式是是否正确呢?(1)验证n=1时是否成立?由已知给出的a1=1得n=1时是正确的.(2)如果存在一个正整数k,使n=k

时,成立,能否得到n=k+1时也成立?即能否得到下面就需要对(2)进行推证:∵成立,又由已知得于是即得化简即得第二个条件得到证明了,说明对任意正整数n通项公式是成立的.例1.

用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1,验证得n=1时,等式是成立的.(2)假设当n=k时,成立,那么当n=k+1时有例1.

用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1,验证得n=1时,等式是成立的.(2)假设当n=k时,成立,那么当n=k+1时有即n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)两步可知,对任意正整数n,等式都成立.

例2.

已知数列….计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn

的表达式,并用数学归纳法进行证明.解:这四项的分子是正整数数列,分母是首项为4,公差为3的等差数列,于是猜想下面给以证明:

例2.

已知数列….计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn

的表达式,并用数学归纳法进行证明.证明:(1)当n=1时,由猜想得S1=与已知的相等,所以当n=1时猜想成立.(2)假设当n=k

时成立,那么当n=k+1时得,

例2.

已知数列….计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn

的表达式,并用数学归纳法进行证明.证明:(1)当n=1时,由猜想得S1=与已知的相等,所以当n=1时猜想成立.(2)假设当n=k

时成立,那么当n=k+1时得,即当n=k+1时猜想也成立,由(1)(2)可得,猜想对任意nN*都成立.练习:(课本95页)第1、2题.练习:(课本95页)有数学归纳法证明:1.

首项是a1,公差是d

的等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,前n

项和的公式证明:

证通项公式.(1)当n=1时,a1=a1+(1-1)d=a1,即n=1时公式正确.(2)假设当n=k

时公式正确,即第k

项为那么当n=k+1时有,ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d,得n=k+1时公式也成立,由(1)(2)得,nN*公式都成立.练习:(课本95页)有数学归纳法证明:1.

首项是a1,公差是d

的等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,前n

项和的公式证明:

证前n

项和公式.(1)当n=1时,=a1即n=1时公式正确.(2)假设当n=k

时公式正确,即前k

项和为那么当n=k+1时有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,练习:(课本95页)有数学归纳法证明:1.

首项是a1,公差是d

的等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,前n

项和的公式证明:

证前n

项和公式.(1)当n=1时,=a1即n=1时公式正确.(2)假设当n=k

时公式正确,即前k

项和为那么当n=k+1时有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,得n=k+1时公式也成立,由(1)(2)得,对任意nN*,公式都成立.2.

首项是a1,公比是q

的等比数列的通项公式是an=a1qn-1,前n

项和的公式证明:

证通项公式.(1)当n=1时,a1=a1q1-1=a1,即n=1时公式正确.(2)假设当n=k

时公式正确,即第k

项为那么当n=k+1时有,ak+1=akq=a1qk-1q得n=k+1时公式也成立,由(1)(2)得,对任意nN*公式都成立.=a1qk=a1q(k+1)-1,2.

首项是a1,公比是q

的等比数列的通项公式是an=a1qn-1,前n

项和的公式证明:

证前n

项和公式.(1)当n=1时,=a1即n=1时公式正确.(2)假设当n=k

时公式正确,即前k

项和为那么当n=k+1时有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,2.

首项是a1,公比是q

的等比数列的通项公式是an=a1qn-1,前n

项和的公式证明:

证前n

项和公式.(1)当n=1时,=a1即n=1时公式正确.(2)假设当n=k

时公式正确,即前k

项和为那么当n=k+1时有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,得n=k+1时公式也成立.根据(1)(2)知,对任意nN*,公式都成立.【课时小结】1.

数学归纳法的基本原理

对于有关正整数n

的问题,如果满足以下两个条件:①n

取第一个正整数时,问题成立;②只要有一个正整数n

使问题成立,它后面的一个就一定使问题成立.那么就可以逐个递推到所有正整数都能使问题成立.

即①必须有第一块多米诺骨牌倒下,否则就不可能有后面的一切.②必须保证任一块多米诺骨牌倒下都能打倒后面的一块.否则就停止了.【课时小结】2.

数学归纳法

一般地,证明一个与正整数n

有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)(归纳奠基)证明当n

取第一个值n0(n0N*)时命题成立;

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0

开始的所有正整数n

都成立.【课时小结】2.

数学归纳法的要点(1)必须有两步;(2)第二步的“假设n=k

时命题成立”要作为条件,否则无法推证.(3)写出n=k+1时的目标,向着这个目标推证.习题2.3(全部)习题2.3A组1.

用数学归纳法证明:(1)1+2+3+…+n=(2)

当n为正整数时1+3+5+…+(2n-1)=n2;(3)1+2+22+…+2n-1=2n-1.习题2.3A组1.

用数学归纳法证明:(1)1+2+3+…+n=证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,左边=右边,即n=1时等式成立.(2)假设当n=k

时等式成立,即成立.那么当n=k+1时有习题2.3A组1.

用数学归纳法证明:(1)1+2+3+…+n=证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,左边=右边,即n=1时等式成立.(2)假设当n=k

时等式成立,即成立.那么当n=k+1时有即n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)知,对于任意nN*,等式都成立.习题2.3A组1.

用数学归纳法证明:证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,左边=右边,即n=1时等式成立.(2)假设当n=k

时等式成立,即那么当n=k+1时有(2)

当n为正整数时1+3+5+…+(2n-1)=n2;1+3+5+…+(2k-1)=k2

成立.1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2,即n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)知,对于任意nN*,等式都成立.习题2.3A组1.

用数学归纳法证明:证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,左边=右边,即n=1时等式成立.(2)假设当n=k

时等式成立,即那么当n=k+1时有(3)1+2+22+…+2n-1=2n-1.1+2+22+…+2k-1=2k-1成立.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2·2k-1即n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)知,对于任意nN*,等式都成立.=2k+1-1,

2.

已知数列….计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn

的公式,并给出证明.解:猜测:下面给以证明:

2.

已知数列….计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn

的公式,并给出证明.证明:(1)当n=1时,由猜测得S1=与已知的相等,所以当n=1时猜测成立.(2)假设当n=k

时成立,那么当n=k+1时得,

2.

已知数列….计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn

的公式,并给出证明.证明:(1)当n=1时,由猜测得S1=与已知的相等,所以当n=1时猜测成立.(2)假设当n=k

时