20242024年高考数学第二轮复习 统计与概率教学案

20242024年高考数学第二轮复习统计与概率教学案一、教学目标1.系统复习统计与概率的核心知识，包括抽样方法、用样本估计总体、变量间的相关关系、概率的基本概念与计算、古典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、均值与方差等，形成完整的知识体系。2.熟练掌握统计与概率问题的常见解题方法和技巧，能够准确分析题目条件，选择合适的方法求解各类问题，提高解题能力和速度。3.通过对典型例题的分析与练习，培养学生运用统计与概率知识解决实际问题的能力，增强学生的数据分析观念和概率思维，提升学生在高考中应对统计与概率部分题目的信心。

二、教学重难点

（一）教学重点1.各种抽样方法的特点及适用范围，能正确选择抽样方法进行抽样，并会计算抽样过程中的相关数据。2.用样本的频率分布估计总体分布，包括频率分布表、频率分布直方图、茎叶图的绘制与应用，以及用样本数字特征（均值、方差、标准差）估计总体数字特征。3.理解变量间的相关关系，会求线性回归方程并进行预测，掌握独立性检验的基本思想和方法。4.概率的基本性质，古典概型和几何概型的概率计算，能够准确判断并运用相应的概率模型解题。5.离散型随机变量及其分布列的性质，常见离散型随机变量的分布列（如两点分布、超几何分布、二项分布）的求解与应用，以及离散型随机变量均值与方差的计算和性质。

（二）教学难点1.对分层抽样中抽样比的理解与运用，以及如何根据实际问题合理确定分层抽样的层次和比例。2.频率分布直方图中各小矩形的面积与频率的关系，以及如何通过频率分布直方图计算样本均值和方差的近似值。3.非线性回归问题的处理方法，以及如何根据散点图选择合适的函数模型进行拟合。4.古典概型中基本事件的列举方法，以及如何避免重复和遗漏；几何概型中几何度量的确定，如长度、面积、体积的准确计算。5.复杂离散型随机变量分布列的求解，特别是涉及到多个事件相互关联的情况；均值与方差在实际决策中的应用，如何根据均值和方差对不同方案进行合理选择。

三、教学方法1.知识梳理：通过回顾教材知识点，构建知识框架，帮助学生系统地梳理统计与概率的基础知识，明确各知识点之间的联系与区别。2.典型例题讲解：选取具有代表性的高考真题和模拟题进行详细讲解，分析题目条件，引导学生思考解题思路，总结解题方法和技巧，让学生掌握如何运用所学知识解决各类统计与概率问题。3.课堂练习：安排适量的课堂练习，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导，针对共性问题进行集中讲解。4.小组讨论：对于一些综合性较强、难度较大的问题，组织学生进行小组讨论。通过小组合作交流，激发学生的思维，拓宽解题思路，培养学生的团队协作能力和创新思维。5.多媒体辅助教学：利用PPT、动画等多媒体手段，直观展示抽样过程、频率分布直方图的绘制、随机变量的取值情况等抽象内容，帮助学生更好地理解和掌握知识点。

四、教学过程

（一）知识梳理1.抽样方法简单随机抽样：从总体\(N\)个个体中逐个不放回地抽取\(n\)个个体作为样本（\(n\leqN\)），每个个体被抽到的机会相等。常用方法有抽签法和随机数法。系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。步骤：先将总体的\(N\)个个体编号，确定分段间隔\(k=\frac{N}{n}\)（\(n\)是样本容量），在第\(1\)段用简单随机抽样确定第一个个体编号\(l(l\leqk)\)，按照一定的规则抽取样本，通常是将\(l\)加上间隔\(k\)得到第\(2\)个个体编号\((l+k)\)，再加上\(k\)得到第\(3\)个个体编号\((l+2k)\)，依次进行下去，直到获取整个样本。分层抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。抽样比\(=\frac{n}{N}\)，各层抽取的个体数\(=\)该层个体数\(\times\)抽样比。2.用样本估计总体频率分布表与频率分布直方图：通过对样本数据进行分组，计算每组的频数与频率，得到频率分布表。以频率分布表为基础绘制频率分布直方图，其中小矩形的面积表示该组的频率，各小矩形面积之和为\(1\)。茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数，它保留了原始数据的信息，便于记录和表示数据。样本数字特征均值：\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)，反映了数据的平均水平。方差：\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1\overline{x})^2+(x_2\overline{x})^2+\cdots+(x_n\overline{x})^2]\)，衡量数据的离散程度。标准差：\(s=\sqrt{s^2}\)。3.变量间的相关关系相关关系：变量之间存在的不确定的关系。与函数关系不同，函数关系是一种确定性关系。散点图：将两个变量的取值分别作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描点得到的图形，通过散点图可以直观地判断两个变量之间是否具有相关关系。线性回归方程：对于具有线性相关关系的两个变量\(x\)和\(y\)，其回归直线方程为\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，其中\(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i\overline{x})(y_i\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i\overline{x})^2}\)，\(\hat{a}=\overline{y}\hat{b}\overline{x}\)。独立性检验：通过列联表和卡方统计量\(K^2=\frac{n(adbc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)来判断两个分类变量是否有关系，其中\(n=a+b+c+d\)。4.概率基本概念必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，其概率为\(1\)。不可能事件：在一定条件下肯定不会发生的事件，其概率为\(0\)。随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率\(0\ltP(A)\lt1\)。互斥事件：若事件\(A\)与\(B\)不能同时发生，即\(A\capB=\varnothing\)，则称\(A\)与\(B\)互斥。互斥事件概率加法公式：\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。对立事件：若\(A\capB=\varnothing\)且\(A\cupB=\Omega\)（样本空间），则称\(A\)与\(B\)对立，\(P(\overline{A})=1P(A)\)。古典概型特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。概率公式：\(P(A)=\frac{A包含的基本事件数}{基本事件总数}\)。几何概型特点：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等。概率公式：\(P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}\)。5.离散型随机变量及其分布列离散型随机变量：其取值可以一一列出的随机变量。分布列：设离散型随机变量\(X\)可能取的值为\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，\(X\)取每一个值\(x_i(i=1,2,\cdots,n)\)的概率\(P(X=x_i)=p_i\)，则称表|\(X\)|\(x_1\)|\(x_2\)|\(\cdots\)|\(x_n\)||||||||\(P\)|\(p_1\)|\(p_2\)|\(\cdots\)|\(p_n\)|为离散型随机变量\(X\)的概率分布列，简称分布列。性质：\(p_i\geq0(i=1,2,\cdots,n)\)；\(\sum_{i=1}^{n}p_i=1\)。常见分布列两点分布：若随机变量\(X\)服从两点分布，即\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)，其中\(0\ltp\lt1\)，则\(E(X)=p\)，\(D(X)=p(1p)\)。超几何分布：在含有\(M\)件次品的\(N\)件产品中，任取\(n\)件，其中恰有\(X\)件次品，则\(P(X=k)=\frac{C_M^kC_{NM}^{nk}}{C_N^n}\)，\(k=0,1,2,\cdots,m\)，其中\(m=\min\{M,n\}\)，且\(n\leqN\)，\(M\leqN\)，\(n,M,N\inN^*\)。\(E(X)=\frac{nM}{N}\)。二项分布：\(n\)次独立重复试验中，设事件\(A\)发生的概率为\(p\)，用\(X\)表示事件\(A\)发生的次数，则\(P(X=k)=C_n^kp^k(1p)^{nk}\)，\(k=0,1,2,\cdots,n\)。\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1p)\)。均值与方差均值：\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)，反映了离散型随机变量取值的平均水平。方差：\(D(X)=[x_1E(X)]^2p_1+[x_2E(X)]^2p_2+\cdots+[x_nE(X)]^2p_n\)，衡量离散型随机变量取值的离散程度。

（二）典型例题讲解1.抽样方法例1：某单位有职工\(160\)人，其中业务员\(104\)人，管理人员\(32\)人，后勤服务人员\(24\)人。为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为\(20\)的样本，试用分层抽样的方法抽取样本，并写出抽样过程。解：计算抽样比：\(\frac{20}{160}=\frac{1}{8}\)。确定各层抽取的人数：业务员层：\(104\times\frac{1}{8}=13\)（人）。管理人员层：\(32\times\frac{1}{8}=4\)（人）。后勤服务人员层：\(24\times\frac{1}{8}=3\)（人）。采用简单随机抽样的方法在业务员层抽取\(13\)人，在管理人员层抽取\(4\)人，在后勤服务人员层抽取\(3\)人。将抽取的\(20\)人合在一起，就得到了所需的样本。总结：分层抽样关键在于确定抽样比，然后根据各层个体数按比例抽取。2.用样本估计总体例2：为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区\(100\)名年龄为\(17.5\)岁～\(18\)岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：（此处可简单描述一下频率分布直方图的样子，比如横坐标是体重区间，纵坐标是频率/组距等）（1）根据直方图可得这\(100\)名学生中体重在\([56.5,64.5)\)的学生人数是（）A.\(20\)B.\(30\)C.\(40\)D.\(50\)（2）请根据频率分布直方图，估计该地区\(17.5\)岁～\(18\)岁男生体重的平均值。解：（1）体重在\([56.5,64.5)\)的频率为\((0.03+0.05+0.05+0.07)\times2=0.4\)，则人数为\(100\times0.4=40\)，选C。（2）平均值\(\overline{x}=54.5\times0.02\times2+56.5\times0.03\times2+58.5\times0.05\times2+60.5\times0.05\times2+62.5\times0.07\times2+64.5\times0.05\times2+66.5\times0.03\times2+68.5\times0.02\times2\)\(=54.5\times0.04+56.5\times0.06+58.5\times0.1+60.5\times0.1+62.5\times0.14+64.5\times0.1+66.5\times0.06+68.5\times0.04\)\(=2.18+3.39+5.85+6.05+8.75+6.45+3.99+2.74\)\(=39.3\)（kg）总结：频率分布直方图中，小矩形面积表示频率，利用频率和组中值可计算均值等数字特征。3.变量间的相关关系例3：已知\(x\)与\(y\)之间的一组数据：|\(x\)|\(0\)|\(1\)|\(2\)|\(3\)||||||||\(y\)|\(1\)|\(3\)|\(5\)|\(7\)|（1）求\(y\)与\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)；（2）据此估计当\(x=4\)时\(y\)的值。解：首先计算\(\overline{x}=\frac{0+1+2