等差数列及其前n项和教学设计

等差数列及其前n项和教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。2.过程与方法目标通过对日常生活中实际问题的分析，引导学生通过观察、归纳、猜想等方法，探索等差数列的通项公式，培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力。在推导等差数列前n项和公式的过程中，体会倒序相加法的原理，培养学生的数学思维能力和创新意识。通过对等差数列性质的探究，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的类比思想和化归思想。3.情感态度与价值观目标通过对等差数列的研究，激发学生学习数学的兴趣，培养学生主动探索、勇于创新的精神。在解决问题的过程中，让学生体会数学与生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。

二、教学重难点1.教学重点等差数列的概念、通项公式和前n项和公式。等差数列性质的理解与应用。2.教学难点等差数列通项公式和前n项和公式的推导。灵活运用等差数列的性质解决相关问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解等差数列的基本概念、公式和性质，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论问题，激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队精神和创新能力。3.探究法：引导学生通过自主探究、合作探究等方式，探索等差数列的通项公式和前n项和公式，培养学生的探究能力和创新精神。4.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课1.展示问题情境问题1：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星：1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次观测到哈雷彗星的大致时间吗？问题2：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。|高度（km）|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|||||||||||||||温度（℃）|28|21.5|15|8.5|2|4.5|11|17.5|24|30.5|37|

2.引导学生观察引导学生观察以上两个问题中的数据，思考它们有什么共同的特征。让学生分组讨论，然后派代表发言。

3.引出课题根据学生的回答，教师总结归纳出这些数据的共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。引出本节课的课题等差数列。

（二）探究新知，讲授新课1.等差数列的定义给出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。强调定义中的关键词："从第二项起""每一项与它的前一项的差""同一个常数"。让学生根据定义判断前面两个问题中的数列是否为等差数列，并求出公差d。

2.等差数列的通项公式引导学生推导等差数列的通项公式设等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公差为d，那么\(a_{2}=a_{1}+d\)，\(a_{3}=a_{2}+d=(a_{1}+d)+d=a_{1}+2d\)，\(a_{4}=a_{3}+d=(a_{1}+2d)+d=a_{1}+3d\)，......由此可以归纳出等差数列的通项公式：\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)。讲解通项公式的变形\(a_{n}=a_{m}+(nm)d\)\(d=\frac{a_{n}a_{m}}{nm}\)应用通项公式解决问题例1：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{n}\)。解：根据等差数列的通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，可得\(a_{n}=2+3(n1)=3n1\)。例2：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{5}=10\)，\(a_{12}=31\)，求\(a_{n}\)。解：由\(a_{n}=a_{m}+(nm)d\)可得\(a_{12}=a_{5}+(125)d\)，即\(31=10+7d\)，解得\(d=3\)。再由\(a_{n}=a_{5}+(n5)d\)，可得\(a_{n}=10+3(n5)=3n5\)。

3.等差数列的前n项和公式引导学生推导等差数列的前n项和公式设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前n项和为\(S_{n}\)，即\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)。又\(S_{n}=a_{n}+a_{n1}+\cdots+a_{1}\)。将两式相加得：\(2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n1})+\cdots+(a_{n}+a_{1})\)。因为\(a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n1}=\cdots=a_{n}+a_{1}\)，所以\(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\)，则\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。又因为\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，所以\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)。讲解前n项和公式的变形\(S_{n}=n\cdota_{\frac{n+1}{2}}\)（当n为奇数时）\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1})\)（当n为偶数时）应用前n项和公式解决问题例3：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=19\)，\(n=10\)，求\(S_{n}\)。解：根据等差数列的前n项和公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)，可得\(S_{10}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100\)。例4：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(d=2\)，求\(S_{20}\)。解：根据等差数列的前n项和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)，可得\(S_{20}=20\times3+\frac{20\times19}{2}\times2=440\)。

4.等差数列的性质引导学生探究等差数列的性质若\(m,n,p,q\inN^{*}\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)。若数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(S_{n}\)是其前n项和，则\(S_{n}\)，\(S_{2n}S_{n}\)，\(S_{3n}S_{2n}\)，......也成等差数列。应用等差数列的性质解决问题例5：在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}+a_{11}=100\)，求\(a_{6}+a_{8}\)的值。解：因为\(3+11=5+9=6+8=2\times7\)，所以\(a_{3}+a_{11}=a_{5}+a_{9}=a_{6}+a_{8}=2a_{7}\)。则\(a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}+a_{11}=5a_{7}=100\)，解得\(a_{7}=20\)。所以\(a_{6}+a_{8}=2a_{7}=40\)。例6：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前n项和为\(S_{n}\)，若\(S_{3}=9\)，\(S_{6}=36\)，求\(S_{9}\)。解：因为\(S_{3}\)，\(S_{6}S_{3}\)，\(S_{9}S_{6}\)成等差数列，所以\(2(S_{6}S_{3})=S_{3}+(S_{9}S_{6})\)。已知\(S_{3}=9\)，\(S_{6}=36\)，则\(2\times(369)=9+(S_{9}36)\)，解得\(S_{9}=81\)。

（三）课堂练习，巩固提高1.基础练习已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=5\)，\(d=3\)，则\(a_{n}=\)______。已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=7\)，\(a_{5}=13\)，则\(a_{7}=\)______。已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前n项和为\(S_{n}\)，若\(a_{1}=2\)，\(d=1\)，则\(S_{10}=\)______。2.提高练习在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}+a_{2}+a_{3}=3\)，\(a_{4}+a_{5}+a_{6}=6\)，则\(a_{7}+a_{8}+a_{9}=\)______。已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前n项和为\(S_{n}\)，若\(S_{n}=n^{2}2n\)，则\(a_{n}=\)______。

（四）课堂小结，布置作业1.课堂小结引导学生回顾本节课所学的内容，包括等差数列的定义、通项公式、前n项和公式以及性质。让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，教师进行总结和补充。2.布置作业必做题：教材第45页练习第1、2、3、4题。选做题：教材第46页习题2.2A组第3、4、5题。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式以及性质有了较为系统的理解和掌握。在教学过程中，通过创设情境引入新课，激发了学生的学习兴趣；通过引导学生自主探究、合作探究，培养了学生的探究能力和创新精神；通过课堂