云南省数学高三年级下册理数模拟考试试卷

云南省数学高三下学期理数模拟考试试卷

姓名:班级:成绩:

一、单选题（共12题；共24分）

1.（2分）（2015高三上•荣昌期中）若集合M;{x|x-2>0}.N={x|log2（x-1）<1},则\[nN=（）

A.{x|2<x<3}

B.{x|x<l}

C.{x|x>3）

D.{x|l<x<2}

【考点】

交集及其运真

2.（2分）（2020高一下•深圳月考）已知i是虚数单位，若复数二满足二i=l+J，则-（）

A.1-Z

B.1+/

C.-1-1

I）.-1+/

【考点】

复数代数形式的混合运算

3.（2分）（2017高二上«长春期末）某班w名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这

w名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33,则小等于（）

第1页共24页

A.45

B.48

C.50

D.55

【考点】

颠率分布直方SB

4.（2分）（2017高三上•集宁月考），，s皿cos"cosas即m”是“。一夕=""米（"力”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】

理条件、充分条件与充要条件的判断

5.（2分）（2020高二下•遂宁期末）双曲线^-p=Ka>0J，>0）的一条渐近线方程为）=V,则此双

曲线的离心率为（）

A.2

B.「

第2页共24页

C.3

D.V3

【考点】

双曲线的简单性质

6.（2分）（2016高一上•崇礼期中）设@=°8n,b=,c=（2），则（）

A.c>b>a

B.a>b>c

C.b>a>c

D.b>c>a

【考点】

x-2j+l>0,

x<Z

7.（2分）（2018•栖霞模拟）已知实数X,V满足约束条件A+y-l>0,则目标函数Z=3X-4J+3的

取值范围是（）

A13)

4

13

BT1

C.113）

D.（3,13）

【考点】

简单线性规划的应用

第3页共24页

8.（2分）（2018•银川模拟）已知函数/W=sm\n+「cosK.x的图象与直线V=2交于两点、,若

的最小值为了，则函数7tx）的一条对称轴是（）

X-三

A.X-3

X-3

B.4

x-3

C.*-6

X-工

D.'-12

【考点】

y=Asin（3x+（p）中参数的物理意义；正弦的数的奇偶性与对称性

9.（2分）下面四个命题：

①对于实数m和向量了，了恒有："万一万）=7向一

②对于实数ni,n和向量~a,恒有：（川-〃）刁="而二而

③若mH=nib（mGR）,则有：~3=b

④若〃而=〃Z（m,n€R亍H0）,贝ijm=n,

其中正确命题的个数是（）

A.1

B.2

C.3

I）.4

【考点】

向量的线性运算性质及几何意义

第4页共24页

10.（2分）（2015高二下-伊宁期中）椭圆x2+4y2=l的离心率为（）

A.

3

B.

7

C.

D.

【考点】

椭圆的简单性质

11.（2分）在正四棱锥P・ABCD中，所有棱长均等于2&,E,F分别为PD,PB的中点，求异面直线AE

与CF所成角的余弦值为（）

A.-i

7

B.?

7

c.t

B

［）.T

【考点】

异面直线及其所成的角

12.（2分）（2019高三上•涪城月考）我们用以下方法求形如F=/（x/%/S）＞0）的导数：先在两边同时

取自然对数可得：In产虱x）ln"x）,再在两边同时求导数可得：呵（'）+虱"双

rg（X）

=y=/（x严］g（x）E/（x）+的/（x）］,用此方法求得y=xi的一个单调增区间是（）

A.（0,4）

B.(3,6)

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C.(o.e)

D.（Z$

【考点】

函数的单谒性及单调区间；利用导致研究曲数的单强性

二、填空题（共3题；共3分）

13.（1分）（2020•宿迁模拟）在中，AB=4,JC=2,^BAC=60°,己知点E,F分另U

是边AB,AC的中点，点D在边BC上.若DF=T,则线段RD的长为.

【考点】

平面向量数量积的运算；余弦定理的应用

14.（1分）（2016高三上•泰兴期中）在AABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4,则cosC的值为.

【考点】

会嚣；西包

15.（1分）某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末

使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是

.（用最简分数表示）

【考点】

古典慨型及其微率计算公式

二、双空题（共1题；共1分）

16.（1分）（2019高二上•哈尔滨月考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面，若球的体积为后不，则

正方体的棱长为_______.

【考点】

球内接多面体

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四、解答题（共7题；共70分）

17.（10分）（2020高二下•赣县月考）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四

边形ABCD为边长等于收的正方形，AARE和」BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

（I）证明：平面PACA.平面ABC；

（II）若点Af在棱PA上运动，当直线B\f与平面PAC所成的角最大时，求二面角P-BC-M的余

弦值.

图一

图二

【考点】

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂宜的判定

18.（10分）（2020•平邑模拟）已知数列｛%｝为正项等比数列，；数列历」满足

⑦=3,。力1+。曲+。曲…也=3+（2n-3）2”.

（I）求小：

(2)求的前“项和兀.

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【考点】

等比数列的通项公式；数列的求和

19.（10分）（2020•成都模拟）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产

品的用时作了记录，得到大量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶

图（单位：分钟）.若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工.

3365

47237

535

（1）求这个样本数据的中位数和众数；

（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员

工的数量X分布列和数学期望.

【考点】

离散型随机变量的期望与方差；差叶图；众数、中位数、平均数；离的型随机度量及其分布列

20.（10分）（2019高三上•梅州月考）已知直线八、一>'+1=0与焦点为F的抛物线C：W=2pMp>0）相

（I）求抛物线C的方程；

（II）过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点，求A,B两点到直线1的距离之和的最小值.

【考点】

直线与国链曲线的综合问蹙

21.（10分）（2018•宣城模拟）已知函数人、）=、-2+£（a£R,e为自然对数的底数）.

（I）求函数ftx）的极值；

第8页共24页

(II)当。=1时，若直线J.y=kx-2与曲线r=Av)没有公共点，求k的最大值.

【考点】

利用导致研究由数的单谒性；函数在某点取得极值的条件；利用导致研究困数的极值；利用导致研究曲线上某点切线方程

jx=2cos(p

22.(1()分)(2017•黑龙江模拟)在直角坐标系xOy中，直线1的方程是y=8,圆C的参数方程是卜=2-25mo

(6为参数).以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线1和圆C的极坐标方程；

(2)射线0M：0=a(其中0<a<2)与圆C交于0、P两点，与直线1交于点M,射线0N：十号与

圆C交于0、Q两点，与直线I交于点N,求DMQM的最大值.

【考点】

简更曲浅的极坐标方程；参数方程化成普通方程

23.(10分)(2020•平顶山模拟)已知函数/(劝=以-1|.

(I)解不等式：/(V)*/(X*1)>4.

(2)设^(x)=2/lx)+2/(^1),求式x)的最小值.

【考点】

其他不等式的解法；她对值三角不等式

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参考答案

一、单选题(共12题；共24分)

答案：1-1、A

考点：交集及其运苴

【帐答】怅:M6M-(x|x-2>01-{x|x>2).N-(x|log2(x-1)<1}-{X|0<x-1<2)-{x|l<x<3|,

故MnN={x|2<x<3},

9A.

解析：【分析】解对数程式求出N,再由两个■台的交■的定义求出MAN.

答案：2-1.B

考点：号数代数形式的混合运算

【电】工=牛=曜=1-，故7=1+八

1V

故答宝为:8.

"【分析】：r=LH，分子分母同乘以分母的共挖复数即可.

解析：1

答案：3-1、D

考点：嫣率分布直方废

【他】P=l-(O^)15+O^)25)xlO=O^，由06〃=33，得加=55，台就：D.

解析；【分析】根屈8诙分布的S®田!»中的«国的酬)可求出m的值.

答案：4-1、B

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

解析：

第10页共24页

2

sinacos夕+cosasi邛=Jsm(a+⑼=4，也55*®a+万=2Jbr+^^#。+夕="万一专，kWZ，

故・sinacos/?+cosasin^?=5"是a+0=2ATJT++的必要不充分条伟故答案为：B

【分析】本题主要考直三角恒及充分百条件的判断，先I髓三角恒^^,然后才髓三角曲数的性质进行判

断.

答案：5-1、B

考点：双曲线的箭单性质

解析:

【解答】解:因为双曲线是焦点在x场上的双曲线，一条渐近线方程为y=、，所以?=1,所以离心率一

故答案为：B.

【分析】先根据渐近线的斜率得k=1,再利用商心率公式求解即可.

a•

答案：6-1.D

考点:对数值大小的比较

【解答】解：,•・・在w，・・・叫弼.

M痢，叱）4•

;.a<=<c<1,

又b=logH>logd=1，

;.b>c>a,

故选：D.

解析：【分析】利用指数与对数由数的单鞫性即可得出.

答案：7-1、A

考点：筒第浅性规划的应用

解析:

第II页共24页

【皖答】

X-2JH-1>0

画出不等式组x<2表示的可行域如图阳影区域所示

x-f-y-1>0

3三3

--

4X+4*V-4-1)<6(*学时，代入z的取值为13三，所

u勾

以z3-A1

故若宏为:A.

【分析】根据罂意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标的数平移到该点即可得出最值.

答案：8-1>D

考点：y=Asin(wx+(p)中，ft的MH*;曲tt的奇俵性与对称性

【!$<】".曲数f(x)=smwx+^Icosiix=2su/心+j)

函数人x)的最大值为2

,・函数人》)的图彖与亶线y=2交于.15两点，且L3的最小值为不

函数的周期7=7，即”，=亭=2.

•*/tx)=2sin(2x+j)

令2x+与=§+E“Z，得\=,+g,kWZ.

当发=0时，、=右，即函数/(x)的一条对称轴是、=舌.

故若通为：D.

解析：【分析】结合三角质，得到该三角色数的解忻式，迸而判断对羽釉方程，即可得出书K.

第I2页共24页

答案：9-1、C

考点：向量的线性运真性质及几何息义

【解答】解，对^向蚓破功配律,故恒有：“77-d）=mTi-nib•故正确，

对于②，根据向量的数乘运算律，恒有：（川一〃历="词=用，故正确，

对于③,若m=0,不一定有77=不，故不正确，

对于④，若mH=，W，则（m・n）77=0,由于刁*0,则m=n,故正确.

绿上，（XX2X3）正确，

解析：【分忻】①©匐与向的运■律；③若m=0,不一定育刁;1；④正确.

答案：10-1、A

考点：MB的葡单性质

解析:

【解答】解:把椭国方程化为标准方程得:x2*芋=1,得到a=l,b=

则”「了=Bt所以确IS的离n汪〜g=叵.

23dSA

【分析】把椭国的方程化为标准方程后，皿a与b的值，然后根Sga2=b2+c2求出C的值，利用商心率公式修£,把a与c的值

a

代入即可求出值.

答案：11T、0

者占.异面直线及其所成的角

解析：

第13页共24页

【解答】解:3AC,BD,交于点0,连结0P,

以0为原点,0A为x轴，0B为感，0P为z轴，建立空间亘角坐标系，

•.正叫婕P・ABCD中，所有陵长始于26，E,F分别为PD,PB的中点，

,OB="步:+(汨2=,0P==2,

.*^(2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),B(0,2.0).

E(0,-1,1)rF(0,l,l)rC(-2,0,0),

j^=(-2,-1,1)r/=(2,1,1),

设异面直线AE与CF所成角为6f

i*jcose=哽•律=/「.

屈辱1亚#3

・•・异面直送AE与CF所成角的余弦值为1.

【分析】连结AC,BD,交于点O,遮5OP,以O为原点，OA为煽，OB为y轴，OP为通，建立空间直角坐标系，利用向量法

能中出异面宜线AE与CF所成角的余受值.

答案：12-1、C

考点：卿收的单调性及单调区间；利用导致研究8瞰的单调性

第14页共24页

【嵋答】对y=xJ两边同时取自然对数可得：

lny=ln.iT=ylux

对上式两边同时求导致可得：

1|11LV|1-llLV

六岸一，

即y=y.5=/5&>0）

令y>0,得l-lav>0

**-0<x<e

.♦・原函数的组调递增区间为（oe）

故答案为：C

一【分析】由已知求导，得］,=3.上事C，由y>0，得i-hn>0，解之即可.

解析：".V-

二、填空题（共3题；共3分）

【第1空】B

答案：13-1、

考点：平面向flffiA积的运真；余弦定理的应用

第15页共24页

【解答】在△.必。中，J3=4，<C=2，Z5JC=60°，

则BC:=JC2+5-2JCJ^cosZBAC=16+4-8=12，

Bd-ac'.&•c=90°，

以c为坐标原点，点」、5分别在x轴、y轴正半轴上建立平面a角坐标系，如图，

则do,o),/20),旗,2⑻,成⑶，F(l,0),

设ZX0,d)(0WdW2⑸,

故诟=(1、6-力，5?=(1,-d)>

•/5E-5?=-^，.•.1-6"相=耳，解得d=坐或d=_g(舍去)，

—坐田.

AM

m?"：B.

、

【分析】田蜜总结合余弦定理可得8c2=12，即可得C=90。.建立平面直角坐标系后,表示出各点坐标，由

反.而=与转化为坐标运尊即可得婚.

解析：4

答案…T、g空】T

考点；余龙至理：正弦定理

第16页共24页

【解答】婚:在'ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,由正弦定理可得，

可设其三边分别为2k,3k,4k,由余弦定理可得16k2=4k2+9k2-12k2cosC,

解方程可得cosO_1,

:-1.

解析：【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k,3k,4k,再由余弦定理求得cosC的值.

【第1空】黑

答案：151、

考占.古典厩型及苴战率计算公式

解析：

【解答】解：第一周使用A,第』使用A的微率P2=0,笫三周使用A的概率P3=1,依此类推,

第四周使用A的震率P4=(1--1)-1,

第五周使用A的1ft率P5=(1-j)-1=^,

第m睥A的第P6=(1•P5)•4=i?，

3ol

第七周使用A的裁率P7=(1-P6).1=.

3243

【分析】由题念可存,第”1周也使用AM0码的践率Pn♦l-Pn-j,SP2-0,P3-1，以此对fit可得箍七周使用A的限率P7

三、双空题(共1题；共1分)

【第1空】

答案：16-1、B

考点.球内接多面体

V八八•

【解答】设正方体的陵长为a.其外接球的半径为R.则

\^a=2R

,S3得到。3=20即a=「故填6

耳;rK：而；r

解析［分析］由已知正方体外蜩的《积为后列式，即可求出楼长.

第17页共24页

四、解答题（共7题；共70分）

第18页共24页

解：（I）设的中点为O，连接BO•PO-

由题意，得=，

PO=1»AO—BO-CO—

因为在jpjC中，PA=PC，。为AC的中点，

所以PO-L.4C，

因为在JPO5中，尸。=1，OB=1，PB=W，

尸。♦O52=PH，所以POJ.O5,

因为XCCO5=O<ACtOBC平面M5C，所以尸0J,平面，5。，

因为FOU平面尸MC，所以平面9.4C_L平面”5O

（II）由（I）知，BOLPO，BO±AC，BO±平面R4C，

所以ZBMO是直线BM与平面P.4C所成的角，

且ta"5A，O=筋=苏’

所以当OM侬时，即”是PA的中点时，ZBMO最大

®PO±平面.躇C，OB±AC，所以POJ.OB»PO1.OC，于是以

OC•OB•所在亶线分别为X轴，》轴，Z轴建立如留示空间直角坐标系，

则。0,0,0)，d1,0,0)，3(0,I0)，/-LQO)，^0,0,1)»3/(-1°，

比=(LTO),PC=(10,-1)・37C=(la-扑

设平面A/8C的法向量为讲=（4yrzj），则

由严竺=0得:M一坊=0

to-A7C=0均一4=0

今孙=】,得匕=1，Z[=3，即疥=（L13）・

考点：用空间向量求平面间的夹角；平面垂■的判定；平面与平面垂亘的判定

解析：

【分析】⑴设AC的中点为Q证明P0垂直ACQB,结合平面与平面垂直刿定即可.⑵建立直角坐标系分别计算两相交平面的法向

JL结合向量的数量积公式计算夹角,即可.

解：#〃=1,得a由=3+(2-3)2=1»所以瓦=1.

2

令〃=2»^<71b1+a2^?=3+(4-3)x2=7，

所以•/=6，又乩*=3,所以(1-*)=2,

设效列｛%｝的公比为夕,

18.1、则9=卷=2,所以为二”

答案:

解：当〃之2时，的瓦+6b2+…+%>力e=3+[如—1)—3]2W-1①

又4人+。2区+"力3…+a/”=3+(2n-3)2”，②

0-0%%=3+(2/J-3)2"-13+(2//-9尸4]=(%-也1，

因力%=，所以bn—2n""1»;»=1时也成立•所以bn=2/1-1♦

士=所1除1)7骷一焉)，

所以丁”==如T）+©-g）+・”+（+一表）］

=：［（*+••・++）Y+H…♦却］

18-2,41一击）二鼎

答案:

考点：等比数列的通项公式；数列的求和

解析：

【分析】（1）首先会〃=1和〃=2求出5=2，从而得到公比夕=薪=2，再求通项公式即可.（2）首先根据已知求出

b„=2n-l，再利用裂项求和即可得到答案

答案：197、解：中位数为43，众数为47

第20页共24页

解：被调查的4名工A中优秀员工的数量x=O.L23.4,

任取一名优秀员工的假率为T，故x~5（4｝），

小=2）=或软一彳厂」=0,LZ44，

x的分布列如下:

X01234

16322481

PIT818181

田山故K*-id上土2±1一W

答案：19-2、81

考点：离数型■机充量的皿与方差；至叶雷；众双中位双平期K；离散型・机班量及其分布列

解析:

【分忻】（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数；（2）假信可得任取一名优秀员工的概率为1

分布列即可得解.

解：（I）将/:工-J+1=0C\〉2=2px得：y2-2py+2P=0

•.•/与^^8^「.」=4炉—8p=0，端得：p—2

：.抛物级c的方程为：产=4x

（口）由题息知，造州科率不为0，可设直线加方程为：x=rv+i

联立］得：y2-4n-4=0

设［外力，小㈤，则X+）'2=4，・,・均+M=%+1+/+1=4+2

线段.西中点，屈2户+L2/）

设XB.M到直娃/距商分别为d*%.限

则dA+dB=2d”=2，匚/^=26/一什1=2在（一:）+,

•••（，-，+??••当T-+山=彳

.•.J,B两点到亶线,的距离之和的最小值为：、亚3_矩

答案：2（）11、*4

考点：直统与国傕曲注的畤名问甘

解析:

第21页共24页

【分析】(1)将直送方程与抛物线方程联立,结合直浅与抛物浅相切，米捌式为0,求出P即可得到抛物送的方程；

(2)设出直线方程，将直切程与岫物线方程联立，根凿t达定理,结合点到直线的距离公式，即可求出相应的最小值.

答案：21-U

解：(1)/(%)=.£，①当ago时，/(x)>0,为(-8,+8)上的瑁函数，所以函数/(、)无极值②当〃>0

时,令/(%)=0，得,％=Inr?・xW(-8,In。)，/(.r)<0•x€(lnn+ao)»/(%)>0所以/tr)在(-ac,Ina)上

空湄递减，在(Ina+8)上单调递增，故/(H在”inn处取得极小值，且极小值为门liw)=Ina-1，元极大值.综上，当

aW0时，的数f{x}无极小值；当a>01ytx)在x=hm处取得应小值皿；，无极大值.(II)当°=1时，

心)=2+总WJ=h-2与曲线y=加)没有公共点，等价于关于x的方程h-2=x-2+J在及上没有实

数解，即关于x的方程：(上一M=/(*)在R上没有实数解.①当上=1时，方程(*)可化为/=o,在R上没育实数解.②

当上工1时，方程(♦)化为Hy=叱,令g(x)=x"，则有g(x)=(1+工经今g(x)=0，樽x=-I，当x变化时，g(x)

的变化情况如下表:

X-00,-1)-1-1,+8)

小)-0+

式X)、1」/

当>=-1时，g(A)=-5，同时当X超于地时，如)越于E，从而虱、)的取值至国为［_J+8)麻以当

土e(一8一却时，方程(♦)无实数解，解得上的取值应囤是(1-61).综上，得上的最大值为1

考点：

利用导致研究函数的单谒性；函数在某点取得极值的条件；利用导致研究困数的极值；利用导数研究曲线上基点切线方程

解析：

【分析】(I)求导数，分①340时②a>仇击6,可知f(x)SG(-00,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单谒递埸，从而

可求其极值；

(n)<$>g(X)=f(X)-(kx-1)=(1-k)x*4*则直线।:y=kx-l与曲法y=f(x)没有公共点=方程g(x)=0在R上没有实

数解，分k>1与ksl讨论即可得答意.