人教版 九年级数学上册 242 -244同步基础练含答案

人教版九年级数学24.2点和圆、直线和圆的

位置关系

一、选择题（本大题共io道小题）

1.如图，等边三角形A3。的边长为8,以8C上一点O为圆心的圆分别与边48,

4c相切，则。O的半经为（）

A2小B.3C.4D.4-^3

2.如图，AP为。O的切线，P为切点，若NA=20。，C、D为圆周上两点，且

NPDC=60。，则NOBC等于（）

4.55°B.65°C.70°D.75°

P

3.选择用反证法证明“已知：在△A8C中，NC=90。.求证：NA,N3中至少有

一个角不大于45。.”时，应先假设（）

A.ZA>45°,ZB>45°B.ZA>45°,ZB>45°

C.ZA<45°,ZB<45°D.ZA<45°；ZB<45°

4.如图，在△MBC中，ZMBC=90°,ZC=60°,MB=2小，点A在MB上，以AB为

直径作。。与MC相切于点D,则CD的长为（）

A.A/2B.小C.2D.3

5.如图，AB是。O的直径，BC交。O于点D,DE_LAC于点E,要使DE是。O的切线,

还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）

\B

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC〃OD

6.202。武汉模拟在RsABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以点A为圆心,

4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。P的圆心P的坐标为（-3,0）,将。P沿

x釉正方向平移，使。P与y轴相切，则平移的距禽为（）

8.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的

动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值为（)

A.5B.4啦C.4.75D.4.8

9.如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与。O的直径相等.。0与

BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为（）

B

A.4cmB.3cmC.2cmD.1.5cm

10.如图0,在Rt/kABC中，ABA.BC,AB=6,BC=4,0是△ABC内部的一个

动点，且满足NB18=NP8C,则线段CP长的最小值为（）

图。

妪12^T3

」13n13

二、填空题（本大题共8道小题）

11.如图，在矩形A8CD中，AB=6,BC=2.8,。0是以A3为直径的圆，则直

线CD与。O的位置关系是

12.。。的半径为R,点0到直线1的距离为d,R,d是关于x的方程x2—4x+m=0的两

根，当直线1与。O相切时，m的值为.

13.如图，已知AABC的内切圆。。与BC边相切于点D,连接OB,OD.若/ABC=40。,

贝IJNBOD的度数是.

14.如图，A3是。。的直径，©O交BC于点D,DELAC,垂足为石，要使。石

是。。的切线，则图中的线段应满足的条件是___________.

从A城发往C城的班车速度为60千米/时.

(1)当班车从4城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5

小时的时候，接收信号最强.此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射

塔越近，信号越强)

⑵班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号,

并说明理由.

21.如图，点E是AABC的内心，AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆。。于点

D,连接BD,过点D作直线DM,使NBDM=NDAC.求证：直线DM是。O的切线.

22.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,

AB为。O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点

C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P,Q两点同时出发，当其中一点到达端点时,

另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,当t分别为何值时，直线PQ与00相切、相离、

BQ

人教版九年级数学24.2点和圆、直线和圆的

位置关系课时训练■答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1.【答案】A［解析］设。。与AC的切点为E,连接AO,OE,•・•等边三角形ABC

的边长为8,.・.4C=8,NC=NR4C=600.

•・•圆分别与边AB,AC相切，AZBAO=ZCAO=^ZBAC=30°i：.ZAOC=90°f

：.OC=%C=4.

•：OE±AC,.・・OE泻0C=26J00的半径为2g.故选A.

2.【答案】B【解析］连接OP,如解图,则OP_LAP「・,NO=60。，・・・NC0P=

v

120”，VZ/4=20,/A尸0=90°,；・NAO〃=7(T,X/AOC=50"，VOB=OCf

1800-50°

，ZOBC==65°.

2

3.【答案】A

4.【答案】C［解析］在RtaBCM中,ZMBC=90°,ZC=60°,AZBMC=30°,ABC

=1MC,即MC=2BC.由勾股定理，得MC2=BC2+MB2.：MB=2小，

・・・(2BC)2=BC2+12,・・・BC=2.・・・AB为0O的直径,且AB_LBC,JBC为。O的切线.又

VCD也为OO的切线，.,.CD=BC=2.

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】R［解析］若GP位于y轴左侧且与y轴相切，则平移的距离为I：若GP位于y

轴右侧且与y轴相切，则平移的距离为5.

8.【答案】D［解析］如图，设PQ的中点为产，(DF与AB的切点为。，连接

FC,CD.

•・・AB=10,AC=8,BC=6,

・・・NAC8=90°,

・・・PQ为。尸的直径.

•・•。尸与A8相切，AFD1AB,FC+FD=PQ,而FC+FDNCD,

・・・当CD为Rl/\ABC的斜边AB上的高且点尸在CO上时，PQ有最小值，为CD

的长，即CO为。尸的直径.

VSA4BC=|BCAC=|CDAB,，C0=4.8.故PQ的最小值为4.8.

A

9.【答案】B［解析］如图，连接OC,并过点O作OF1CE

:△ABC为等边三角形，边长为4cm,

.二△ABC的高为2小cm,：.OC=y13cm.

又・.・0O与BC相切于点C,ZACB=60°,

AZ6>CF=30°.

3

在RtAOFC中，可得FC=2cm,

：.CE=2FC=3cm.

10.【答案】B［解析］・・・NA8C=9()°,

：.ZABP+ZPBC=90°.

•；NFAB=/PBC,

：.ZABP+ZPAB=90a,AZAPB=90°,

・••点P在以AB为直径的圆上，设圆心为O,连接OC交。O于点P,此时CP

最小.

在RtaBC。中，VZ0BC=90°,BC=4,03=3,

・・・OC=5,OP=OB=3,:・PC=OC-OP=5-3=2,.1PC的最小值为2.

二、填空题(本大题共8道小题)

11.【答案】相交［解析］设A6的中点为O,则点。到C。的距离为2.8.因为。

。的半径为3,3>2.8,所以直线C3与。O的位置关系是相交.

12.【答案】4［解析］•・*,d是关于x的方程x2—4x+m=0的两根，且直线1与。0相

切，

，d=R,

・••方程有两个相等的实数根，

即A=I6—4m=0,解得m=4.

13.【答案】700［解析］由切线长定理可知NOBD=；NABC=2(r.・・・BC是。O的切线，工

OD±BC,AZDOD=90°ZOBD=70°.

14.【答案】BD=C。或4B=AC(答案不唯一)

［解析］(1)连接0D要使OE是。。的切线，结合DEJ_AC,只需OO〃AC,根据

。是A8的中点，只需8Q=C。即可；

(2)根据(1)中探求的条件，要使BD=CD,则连接AQ,由于乙4。8=90°,只需

AB=AC,根据等腰三侑形的三线合一即可\

15.【答案】1cm或5cm［解析］当。O与直线PA相切时,点O到直线

PA的距离为1cm.

VZAPB=30°,PO=2ctn,

・•・圆心O移动的距离为3-2=l(cm)或3+2=5(cm).

16.【答案】24【解析】设AB切。O于点E,如解图，连接EO并延长交CD

于点M,・・・C°o=26"=2Ar=13,VAB/7CD,且AB与CD之间的苑离

为18,，OM=18—r=5,丁AB为。O的切线，：・NCMO=NAEO=90。，・••在

/^△CMO中，CM=^/OC2-OM2=12,ACD=2CM=24.

解图

17.【答案】史卢如图，能够将AABC完全覆盖的最小圆形纸片是aABC的外接圆。0.

连接OB,0C,则NBOC=2NA=120。.过点0作OD_LBC于点D,则NBOD=J/BOC=

60°./.ZOBD=30°,

，0B=20D.由垂径定理，得BD^BcWcm,在RtABOD中，由勾股定理，得0B2=

OD2+BD2,BP(2OD)2=OD2+(1)2,解得OD=\小cm.AOB=^^cm,工能够将△ABC

完全覆盖的最小圆形纸片为直径是粤cm.

18.【答案】B［解析］•・•正方形ABC。的对角线长为6,・,・它的边长为3班.

如图，。。与正方形A3CD的边A3,AO只有一个公共点的情况各有1次，与

边BC,CD只有一个公共点的情况各有1次，

・・・在旋转的过程中，。。与正方形ABCO的边只有一个公共点的情况一共出现4

次.

三、解答题(本大题共4道小题)

19.【答案】

解：0A与直线BC相交.

理由：过点A作于点。，

则BD=CD=8.

VAB=AC=10,

.\AD=6.

V6<7,

・・.OA与直线BC相交.

20.【答案】

解：(1)如图，过点8作于点M,

则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.

•・・AM=60x0.5=30（千米），A8=50千米，

，BM=40千米.

答：此时，班车到发射塔的距离是40千米.

（2）能.理由如下：如图，连接BC.

•・・AC=60x2=120（千米），AM=30千米，

・,.CM=AC-AM=120—30=90（千米），

ABC=ylCM2+BM2=\l902-\-402=i0顺（千米）＜100千米,

，到。城后还能接收到信号.

21.【答案】

•・•点E是4ABC的内心，

・・・AD平分NBAC,

・・・NBAD=NDAC.

VZG=ZBAD,ZBDM=ZDAC,

AZBDM=ZG.

VDG为。0的直径，:.ZGBD=90°,

AZG+ZBDG=90°,

•••NBDM+NBDG=90°,即NMDG=90°.

又；OD是。O的半径，

，直线DM是。O的切线.

22.【答案】

解：设运动ts时，直线PQ与。O相切于点G,过点P作PH_LBC于点H,如图,

则PH=AB=8,BH=AP=t,

可得HQ=|26-3t-t|=|26-4t|,

由切线长定理，得AP=PG,QG=BQ,

则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26—3t=26—2t.

由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2,即（26—2。2=82+（26—41）2,

化简，得3t2-26t+16=0,

2

解得tl=§,t2=8,

所以当t=，或t=8时，直线PQ与0O相切.

因为当t=0时，直线PQ与。O相交，

当1=与时，点Q运动到点B,点P尚未运动到点D,但也停止运动，直线PQ也与0（）相

交，

所以可得以下结论：

当t=1•或t=8时，直线PQ与OO相切；

2

当彳VtV8时，直线PQ与。O相离；

当凶〈缄8Vt要时，直线PQ与。。相交.

JJ

人教版九年级数学24.3弧长和扇形面积

一、选择题（本大题共io道小题）

1.2019•湖州已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为13cm,则这个圆锥的侧面积是（）

A.60ncm2B.65ncm2

C.120ncm2D.130ncm2

2.如图，0ABe。中，ZB=70°,8C=6.以AO为直径的。。交CO于点E,则方

的长为（）

O

\D

B

274

C.]D.§兀

3.一个扇形的半径为6,圆心角为120。，则该扇形的面积是（）

A.2nB.4n

C.12nD.24n

4.小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面.已知该扇形的半径是5cm,弧长是6ncm,

那么这个圆锥的高是（）

C.8cmI).12cm

5.用圆心角为120。，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这

个纸帽的高是（）

C.4cmD.4cm

6.2018•宁夏用一个半径为30,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥（接缝处

忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是（）

A.10B.20C.10nD.20兀

7.如图，在他AABC中，ZACB=90°,AC=2小，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交

AB于点D,若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）

A.2^/5-|nB.4-73—|nC.24—〃，力

8.（2020•毕节）如图，己知点C,。是以A8为直径的半圆的三等分点，弧CO

的长为上兀，则图中阴影部分的面积为（

A08

9.如图，以AD为直径的半圆。经过RtZ\ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E.B,

E是半圆弧的三等分点，曲的长为"，则图中阴影部分的面积为（）

15

4n

3#3n3#_2n

2~~

10.如图，在半径为6的99中，点儿B,。都在09上，四边形物旗是平行四边形，则图

中阴影部分的面积为（）

4^--------

二、填空题（本大题共8道小题）

11.（2020.宿迁）用半径为4,圆心角为90。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,

则这个圆锥的底面半径为.

12.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为.

E

I)

13.如图，以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=

12镉，0P=6,则劣弧秘勺长为.（结果保留〃）

14.（2020.吉林）如图，在四边形A8C。中，AB=CB,AD=CD,我们把这种

两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形A8CD的对角线AC,3。相交于

点。.以点B为圆心，3。长为半径画弧，分别交A8,BC于点E,F,若

ZABD=ZACD=30°,40=1,则历的长为（结果保留加）.

15.（2020•黔西南州）如图，在△ABC中，CA=CB,NAC8=90。，A8=2,点

。为AB的中点，以点O为圆心作圆心角为90。的扇形DEF,点C恰在弧

则图中阴影部分的面积为.

16.如图所示,在RsABC中，ZACB=90°,AC=BC=2隹若把RsA3C绕边

AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留兀）

17.（202。嘉兴）如图，在半径为夜的圆形纸片中，剪一个圆心角为90。的最大

扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为;若将此扇形围成一个无底

的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为.

18.2018•烟台如图，点。为正六边形A8CDEf的中心，M为4尸的中点，以点。

为圆心，OM长为半径画弧得到扇形MON,点N在8c上；以点石为圆心，DE

长为半径画弧得到扇形。EE将扇形MON的两条半径OM,ON重合，围成圆推，

将此圆锥的底面半径记为门；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记

为相，贝In:n=.

B.______A

三、解答题（本大题共4道小题）

19.如图，月8为。的直经，C,〃是半圆。的三等分点，过点。作延长线的垂线以垂

足为“

（1）求证：四是。的切线；

⑵若。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

20.当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷.如图是某

汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB

绕点A转动90。时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积,现量得CD=90cm,ZDBA

=20°,AC=115cm,DA=35cm,试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面

积.

21.（2020・内江）如图，48是。O的直径，。是。。上一点，OD~BC于点D,

过点。作。O的切线，交。。的延长线于点E,连结

（1）求证：BE是0。的切线；

（2）设。石交。。于点F,若DF=2,8c=46,求线段M的长：

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

22.如图，P8切。。于点8,直线P。交。。于点E,F,过点8作P。的垂线

6A,垂足为。，交。。于点A,连接AO并延长交。。于点C,连接6C,Ab,

BF.

（1）若NAO尸=120。,G）。的半径为3,

求：①NC8尸的度数；

②⑰的长；

③阴影部分的面积.

（2）若A8=8,DE=2,求。。的半径.

⑶求证：直线以为。O的切线.

(4)若8c=6,AD：FD=1：2,求的半径.

•P

B

人教版九年级数学24.3弧长和扇形面积课

时训练.答案

一、选择题(本大题共io道小题)

1.【答案】B［解析］Vr=5cm,1=13cm,AS圆锥侧=nrl=nx5xl3=65n(cm2).故

选B.

2.【答案】B［解析］如图，连接OE.

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC=6,ND=NB=70。,：.OD=3.

VOD=OEf：.ZOED=ZD=70°f

♦—*....40n<32

・・・NOOE=40。.・・・DE的长兀

3.【答案】C［解析］根据扇形的面积公式，以=12n.故选C.

4.【答案】A［解析］设圆锥的底面圆的半径是rem,则2nr=6n,解得r=3,则圆锥的

高是、52—32=4(cm).

5.【答案】C［解析］设纸帽底面圆的半径为rem,贝U2nr="噱效，解得r=2.设圆锥

loU

的高为hem,由勾股定理得h2+r2=62,所以h2+22=62,解得h=4位.

6.【答案】A

7.【答案】A【解析】设8C=x,•・•〃为柏的中点，,"8=28C=2x,・••在中，

伙1

由勾股定理有(2x)2—4=(2班)2,解得x=2,XvsinJ=—=-,JN力=30°,NQ60。,

2

1八c广60xnX2r2

S阴影=S^.wc—S扇形杈•尸①x2x2y3=2yJ3-~n.

8.【答案】A,

【解析】本题考查弧长公式，扇形面积，阴影面积.

解：・・•点C,。是以AB为直径的半圆的三等分点,

・•・ZAOC=ZCOD=ZDO5=60°.

VOC=OD,•••△CO。是等边三角形.

：.ZCDO=60°.

C.CD//AB.

=

••S^CODSACAD.

・・.弧CO的长为》

••—TI=------.・・r=1.

3180

.__60•乃•『_n

■・»Q阴影一“形COD———————•

3606

故选A.

9.【答案】D

10.【答案】A

二、填空题（本大题共8道小题）

11.【答案】1

907r.4

【解析】解法一：设这个圆锥的底面半径为r,由题意得2口=缁1，解得r

Io0

=1,故答案为1.解法二：设这个圆锥的底面半径为r,由题意：=桨，解得

4360°

r=l,故答案为1.

12.【答案】8【解析「.六边形ABCDEF为正六边形，，施=包=命=笛=寿=而，.,•施的

长是圆周长的一半，则BE是圆的直径，・・.BE=2x4=8.

13.【答案】8n【解析】KB是小圆的切线，，OPJ_AB,・・・AP=%B=6小.如解图，连

接OA,OB,VOA=OB,AZA0B=2z/\0P.7?tAA0P41,0A=^/0P2+AP2=12,tanZAOF--

=誓=/，.・・NAOP=6O°.」.ZAOB=12O°,，劣弧AB(I勺长为侬防卫=8万.

14.【答案】:

2

【解析】由题意知：AB=CB,AD=CD,

：.ABC和ADC是等腰三角形，AC±BD.

VZ4BD=ZACD=30°,AD=\

in

AOD=-,OA=-

22

AOB=-.

2

3

VZABD=30°,r=-

2

AZEBF=60°,

60°,

2/?r

EF3607

2

2

故答案为

15.【答案】6兀

【解析】本题考查了扇形的面积计算和图形的旋转.如答图，连接CD,作DM

±BC,DN±AC,垂足分别为M,N.VCA=CB,ZACB=90°,点D为AB

的中点，・・・DC=；AB=1,四边形DMCN是正方形，DM=曰，.,•扇形FDE

的面积为%C=g.・.・CA=CB,点D为AB的中点，.'CD平分NBCA,又

3604

VDM±BC,DN±AC,/.DM=DN.VZGDH=ZMDN=90°,AZGDM=Z

NDMG=NDNH，

HDN.在ADMC和ADZH中，、NGQM=N〃ON..•.△DMGgaDNH(AAS),

DM=DN,

・・・S四边形DGCH=S四边形DMCN=；，，阴影部分的面积为:-；，因此本

题答案为.

16.【答案】8啦兀［解析］过点C作CO_LAB于点D.

在山△A8c中，ZACK=90u,AC=8C'=2也，

・・・AB=gc=4,：.CD=2.

以CD为半径的圆的周长是471.

故RSA8C绕直线48旋转一周所得几何体的表面积是2x；x4兀x2&=86兀.

【解析】本题考查了圆周角、扇形面积公式以及圆锥等知识，如图，由NACTB

=90。知AB为。。的直径，AB=20，所以O'A=CrB=2,所以S=

察J*：1,根据围成圆锥时扇形的弧长转化为圆锥的底面圆(设底面

360360

圆的半径为彳)的周长得到：2加：=窄口，解得/=!.因此本题答案为兀，:

IoO22

18.【答案】小：2

［解析］如图连接OA,OB,OF.

:六边形ABCDEF为正六边形，

：.OA=OF,NAOF=NAOB=60。，Z£=120°.

:M为A厂的中点，・・・/AOM=30。.由题意，得ON=OM.易证△BON^AAOM,

・•・NBON=NAOM=30。，・・・NMON=120。.设AM=m则4B=OA=2m。历=小

Cb

・,・扇形MON的弧长为120；；泸区外则八=害a

1oUJ3

同理可得，扇形。ER的弧长为吗产=飙，则以=|〃，・"：底=,：2.

三、解答题（本大题共4道小题）

19.【答案】

解：（1）证明：连接。C.

VC,。为半圆。的三等分点，

：.AD=CD=BC,

：.ZDAC=ABAC.

•：OA=OC,

：.ZBAC=/AC。，

ZDAC=NAC。，

・•・OC//AD.

*：CEA.AD,

：.CE.LOC,・・・CE为O。的切线.

（2）连接OD.

•：AD=Cb=B^,

：.ZAOD=ZCOD=ZBOC=Y180°=60°.

XVOC=OD,

•••△COD为等边三角形，

：.ZCDO=600=ZAODf

：.CD//AB,

••SAACD=SACOD,

・・・图中阴影部分的面积=S国形的尸考察=竽.

20.【答案】

解：由题意可知△ACD0AALD，，所以可将△ALD，旋转到4ACD处，使阴影部分面积成为

一部分环形面积，可通过两扇形面积之差求得，

即雨刷CD扫过的面积S阴影=S扇形ACC，-S扇形ADD，="节产一丝累且=，（口5+

3603604

35)*(115—35)=3000n(cm2).

答:雨刷扫过的面积为3C00ncm2.

21.【答案】

(1)证明：连接0C,如图，・・・OD_LBC,・・.CD=BD,・・・OE为BC的垂直平分

线，

AEB=EC,AZEBC=ZECB,VOB=OC,AZOBC=ZOCB,

AZOBC+ZEBC=ZOCB+ZECB,即NOBE=NOCE,TCE为00的切线,/.

0C±CE,ZOCE=90°,

AZOBE=90°,AOBIBE,.'.BE与。O相切.

(2)设。。的半径为R,则OD二R-DF=R-2,OB=R,在RtZ\OBD中，BD=yBC=

2G

VOD2+BD2=OB2,：・(R-2f+(2厨=R：解得R=4,AOD=2,OB=4,

AZOBD=3()°,AZBOD=6()°,六在RtZ\OBE中，ZBEO=3()°,OE=2OB=8,

.•.EF=OE-OF=8-4=4,即EF=4；

(3)由NOCD=NOBD=30。和OD_LBC知：ZCOD=ZBOD=60°,

；・/BOC=120°，又BC=4>/J，OE=8,「・S阴影二S四边形O8EC一S端形OK=

1x8x473-^^

2360

=16>/3-y^,

【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30。角

的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键.

(1)连接OC,如图，根据垂径定理由OD_LBC得到CD=BD,则OE为BC的

垂直平分线，所以EB=EC,根据等腰三角形的性质得NEBC=NECB,加上N

OBC=ZOCB,则NOBE=NOCE；再根据切线的性质得NOCE=9()。，所以/

OBE=90°,然后根据切线的判定定理得BE与。0相切；

(2)设。O的半径为R,则OD=R-DF=R-2,OB=R,在RtZ\OBD,利用勾股定

理解得R=4,再利用含3()。角的直角三角形边角关系可求得OE,利用EF=OE-OF

即可解答；

(3)利用(2)中可求得NBOC=120°,然后利用SRJ影二S四边形(用卬-S底形败代入数值

即可求解.

22.【答案】

解：(1)①INAO尸=120。,

・•.ZABF=60°.

二•AC是。。的直径,

，ZABC=90°,

JZCBF=30Q.

②连接OB.

•・・NAO尸=120。，

・•・NAOE=60。.

于点。，：.\E=BE.

：.ZAOE=NBOE=60。，NAO"120。,

・c120兀x3

•♦AD—]80—2兀.

③：ZAOE=GO°fEFLAB于点D,

・・.NOA8=3()o.

・・・AC=6,：.BC=3,.*.AB=3黄.

3

VOA=3,・・・OO=2，

A5AAOB=^AB-OD=1X3V5X1=4小.

・・c120“、

•S@形OAB360兀3兀，

9L

阴影部分的面积=5均形QA3—SA4O8=371—W小.

(2Y：EFLAB于点D,：.AD=BD=4.

设OA=x,则OD=OE~DE=x~2.

在RsOAO中，由勾股定理，得OAZnOrP+A。，即f=(x—2)2+42,解得工

=5,

・・・OO的半径为5.

(3)证明：连接。立

•:PB是。。的切线，ZPBO=90Q.

•••E/LLAB于点。，：.AE=BEf

：./AOP=/BOP.

又・；OA=OB,PO=PO,J△以。名△PB。,

・・・N%O=NPBO=90。，

・••直线也为。。的切线.

（4）・.・Q4=OC,AD=BD,BC=6,

/.0D=^BC=3.

设AO=y.・・・AO:FD=\:2,

：.FD=2yf：.OA=OF=FD~OD=2y—3.

在RsAO。中，由勾股定理，得CM2=AQ2+O02,即（2厂3）2=）,2+32.

解得yi=4,），2=0（不合题意，舍去）.

，。4=2），-3=5,即OO的半径为5.

人教版九年级数学24.4弧长和扇形面积

一、选择题

1.如图在等边三角形A3C中，将边AC逐渐变成以3A为半径的衣，其他两边

的长度不变，则NABC的度数由6（）。变为（）

2.一个扇形的半径为6,圆心角为120。，则该扇形的面积是（）

A.2nB.4n

C.12nD.24n

3.（2020.聊城）如图，有一块半径为Im,圆心角为90。的扇形铁皮，要把它做

成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）

3

A1n「屈c上

A.-mB.-mC.---mD.——m

4442

4.（2020・聊城）如图，AB是。。的直径，弦CO_L48,垂足为点M,连接OC,

DB,如果。。〃。&。。=26，那么图中阴影部分的面积是（）

A.7TB.27rC.37rD.47r

5.2019•天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆

心角是（）

A.60°B.90°C.120°D.180°

6.用圆心角为120。，半经为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这

个纸帽的高是（）

B.372cmC.4^2cmD.4cm

7.（2020・苏州）如图，在扇形OAB中，已知NAO3=90。，OA=6,过AB的

中点C作CQ_LOA,CE工OB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为

A.九一1

8.2018•黑龙江如图在AABC中，AB=5,AC=3,BC=4,将AABC绕点A按逆时针方向旋转

40。得到AADE,点B经过的路径为弧BD,则图阴影部分的面积为（）

图A.Tpi-6B.石n

C.yn-3D.^/33+n

二、填空题

9.（2020.湘潭）如图，在半径为6的。。中，圆心角NAO3=60",则阴影部分面

积为.

10.（2020.绥化）已知圆锥的底面圆的半径是2.5,母线长是9,其侧面展开图的圆

心角是______度.

11.如图所示，在AABC中，AB=BC=2,ZABC=90°,则图中阴影部分的面积是.

以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切

1273,0P=6,则劣弧AB的长为_______.（结果保留万）

13.如图所示，有一直径是隹米的圆形铁皮，现从中剪出一一个圆心角是90。的最大扇形

ABC,则：

（DAB的长为米；

(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米.

14.已知一个圆心角为270。，半径为3m的扇形工件未搬动前如图示，4,B两

点触地放置，搬动时，先将扇形以点B为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使

它紧贴地面滚动，当48两点再次触地时停止，则圆心。所经过的路线长为

m_(结果用含71的式子表示)

15.(2020・新疆)如图，。。的半径是2,扇形8AC的圆心角为60。，若将扇形

BAC剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为.

16.如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成

的''叶状〃(阴影部分)图案的面积为.

三、解答题

17.如图，AB是半圆。的直径，C是半圆。上的一点，AC平分NDAB,AD1CD,垂足为D,

AD交半圆0于点E,连接CE.

(1)判断CI)与半圆()的位置关系，并证明你的结论；

(2)若E是筋的中点，半圆0的半径为1,求图中阴影部分的面积.

D

18.（2020・内江）如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，OD~BC于点D,

过点。作。O的切线，交。。的延长线于点E,连结

（1）求证：BE是0。的切线；

（2）设。石交。。于点F,若DF=2,BC=A0求线段M的长：

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

19.如图，在正方形ABCD中，AD=2,E是AB的中点，将aBEC绕点B逆时针旋转90°后，

点E落在CB的延长线上的点F处，点C落在点A处，再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得

线段FG,连接EF,CG.

（1）求证:EF〃CG；

（2）求点C,A在旋转过程中形成的R,籀与线段CG所围成的阴影部分的面积.

人教版九年级数学24.4弧长和扇形面积课

时训练.答案

一、选择题

1.【答案】A［解析］设变形后的NB=〃。，的长=〃.由题意可得焉

=。，解得〃=号.

71

X

2.【答案】C［解析］根据扇形的面积公式，S」2°：：62=］2n.故选c.

3.【答案】C【解析】先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆

锥的高.设圆锥形容器底面圆的半径为r,则有271r=第二，解得r=。，则圆

1804

锥的高为、/12-(-y)2=把S(m).

4.【答案】B

【解析】借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积.由垂径定理，得

CM=DM,・.,OC〃DB,・・./C=ND,又：NOMC=NBMD,AAOMC^A

BMD(ASA),OM=BM=-OB=-OC,AcosZCOM=—=-,AZCOM

22OC2

60

=60。.・・・S阴影=S扇形BOCM'.。、')=2兀.

360

5.【答案】D

6.【答案】C［解析］设纸帽底面圆的半径为rem,则2皿=超芸@,解得r=2.设圆锥

loU

的高为hem,由勾股定理得h2+r2=62,所以h2+22=62,解得卜=4镜.

7.【答案】B

【解析】本题考查了不规则图形面积的计算,连接OC,由题意得

ZDOC=ZBOC=45°,四边形OECD为正方形,OC=Q,由特殊角的三角函数得

OE=OD=1,S阴影二S用形OAB-S正方形CEOD=90兀X(6),|2=^-］,因此本题选B

3602

8.【答案】B［解析］・；AB=5,AC=3,BC=4,：.AC2~\~BC2=25=AB2,AAABC

为直角三角形.

由旋转的性质得，AADE的面积=△ABC的面积，

由图可知，阴影部分的面积=△AOE的面积+扇形的面积一△ABC的面积,

・•・阴影部分的面积=扇形AOB的面积=生爵=就

二、填空题

9.【答案】6兀

【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式.

阴影部分面积为史土至=6乃，

360

故答案为：67r.

10.【答案】1()0

【解析】设圆心角的度数是n,则2兀乂2.5=牛患.解得n=100.

11.【答案】n-2［解析］•・•在AABC中，AB=BC=2,ZABC=90°,

AAABC是等腰直角三角形，

AS阴影=S半圆AB+S半圆BC-SAABC

12121

=2n*(2)2+］nx(-)2--：＜2x2

=n-2.

12.【答案】8n【解析】「AB是小圆的切线，，0PJ_AB,・・.AP=：AB=64.如解图，连

接0A,OB,V0A=0B,AZA0B=2z/\0P.7?tAA0P0A=^/0P2+AP2=12,fa/?ZA0F--

=等=/，・・.NA0P=60O.R0B=12。。，，劣弧AB的长店爸产=8》.

13.【答案】(1)1(2)|［解析］(D如图，连接BC.

VZBAC=90°,

・・・BC为。。的直径,即BC=，1

VAB=AC,AB2+AC2=BC2=2,

；・AB=1(米).

⑵设所得圆锥的底面圆的半径为r米.

QQ•FT•1

根据题意，得2nr=F—.

180

解得r=；.

14.【答案】6兀［解析J由题意易知乙4。8=90。，OA=OB,

・・・N/WO=45。，圆心O旋转的长度为2'片祟=垢0),圆心O平移的距离为

1oUZ

端旦=等(m),则圆心。经过的路线长为平+半=6叫r).

1OU乙乙j

⑸【答案邛

【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图.连接OA,OB,

OC,过点O作OD_LAC于点D.・・・AB=AC,OB=OC,OA=OA,所以AOAB

^△OAC,所以NOAB=NOAC='NBAC=:x6()o=30。.在RtaOAD中，

因为NOAC=30。，OA=2,所以OD=1,AD=