直线、平面垂直的判断与性质五年高考数学真题分类汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编

17一直线、平面垂直的判断与性质（含解析）

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）在正方体ABCD-A耳CQ中，E,F分

别为的中点，则（）

A.平面与砰，平面BDRB.平面与E尸，平面

C.平面4所〃平面AACD.平面耳EF//平面AC。

2.（2022•全国•统考高考真题）在长方体ABCD-ABCQ中，已知BQ

与平面A8CD和平面所成的角均为30。，则（）

A.AB=2ADB.AB与平面"CQ所成的角为

C.AC=CBtD.与平面B8CC所成的角为

45°

3.（2022.浙江•统考高考真题）如图，已知正三棱柱

ABC-AiBtCt,AC=AAt,E,尸分别是棱叱，AG上的点.记叮与M所成

的角为a,EF与平面ABC所成的角为夕，二面角尸-8C-A的平面角

为乙则（）

4.（2021•浙江•统考高考真题）如图已知正方体ABS-ABCa,

M,N分别是A。，RB的中点，贝!J()

A.直线A。与直线垂直，直线肱V〃平面A8CQ

B.直线A。与直线R8平行，直线MN，平面血油与

C.直线A。与直线RB相交，直线MN//平面

D.直线A。与直线异面，直线W平面8。。百

5.（2020.山东.统考高考真题）已知正方体ABCD-A4CQ（如图所

示），则下列结论正确的是（）

A.BDJIA\AB.BDJ/A\DC.叫“CD.叫：心

6.（2019•全国•统考高考真题）如图，点N为正方形A8C。的中心,

△£8为正三角形，平面ECO_L平面ABC2M是线段EZ）的中点，则

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BM*EN,且直线是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM丰EN,且直线是异面直线

7.（2018•全国•高考真题）在长方体A88-A8CQ中，AB=BC=2,

AG与平面88CC所成的角为30,则该长方体的体积为

A.8B.6夜C.85/2D.8上

8.（2018•全国•高考真题）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直

线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大

值为

A.孚B・竿C.乎D.当

二、多选题

9.（2022•全国•统考高考真题）已知正方体ABCD-A8C。，则

（）

A.直线g与所成的角为90。B.直线g与CA所成的角为90。

C.直线8a与平面网2。所成的角为45。D.直线BC|与平面

A8CO所成的角为45。

10.（2022•全国•统考高考真题）如图，四边形A8CD为正方形，

平面A8C£>,FB〃ED,AB=ED=2FB,t己三棱锥E-ACD,F-ABC,

尸-ACE的体积分别为则（）

B

A,匕=2%B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

11.（2021.全国.统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的

中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足MNLOP

的是（）

三、填空题

12.（2019•全国•高考真题）已知NACB=90。，尸为平面ABC外一

点，PC=2,点尸到NAC5两边AC,BC的距离均为g,那么P到

平面ABC的距离为.

13.（2018.全国•高考真题）已知圆锥的顶点为s,母线SA,S3所

成角的余弦值为《，弘与圆锥底面所成角为45。，若asAB的面积为

O

5而，则该圆锥的侧面积为.

四、解答题

14.（2022.全国•统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-A8G的体积

为4,ABC的面积为20.

⑴求A到平面A8C的距离；

(2)设。为AC的中点，AAl=AB,平面A8C_L平面A网A,求二面角

A-8O-C的正弦值.

15.(2022•全国•统考高考真题)如图，四面体中，

ADLCD,AD^CD,ZADB=^BDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面3EC平面AC£＞；

(2)设AB=8D=2,ZACB=60。，点厂在即上，当△AFC的面积最小时,

求仃与平面A8/)所成的角的正弦值.

16.(2022.全国.统考高考真题)在四棱锥p-A8CD中，PZU底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=T,AB=2,DP=6.

(1)证明：BDLPA；

(2)求尸。与平面皿所成的角的正弦值.

17.(2022.全国.统考高考真题)如图，四面体A8CO中,

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,石为AC的中点.

（1）证明：平面8EZU平面AC。；

⑵设AB=8r>=2,ZACB=60。，点尸在上，当△AFC的面积最小时，

求三棱锥尸-ABC的体积.

18.（2022・浙江•统考高考真题）如图，已知A8C。和8）都是直角

梯形，AB//DC,DCHEF,AB=5,DC=3,EF=\,

NBAD=NCDE=3,二面角尸-DC-B的平面角为60。.设M,N分别

为的中点.

⑴证明：FNLAD；

（2）求直线BM与平面AOE所成角的正弦值.

19.（2021•全国•统考高考真题）已知直三棱柱A"-ABC中，侧面

44由8为正方形，AB=BC=2,E,尸分另ll为AC和CC,的中点，。为棱

A冉上的点.BFLA^

（1）证明：BFYDE-

（2）当A。为何值时，面叫CC与面力FE所成的二面角的正弦值最

小？

20.（2021•全国•统考高考真题）在四棱锥。-A8CZ）中，底面ABC。

是正方形，若AO=2,Q£>=QA=6QC=3.

Q

(1)证明：平面QA/〃平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

21.(2021•全国•统考高考真题)如图，在三棱锥A-BS中，平面

平面6C。，AB=AD,。为比＞的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若一08是边长为1的等边三角形，点E在棱上，

DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.

22.(2021・全国•高考真题)已知直三棱柱ABC-MG中，侧面

AAB也为正方形，AB=BC=2,E,尸分另Ij为AC和cc,的中点，

BF1%耳,

(1)求三棱锥尸-EBC的体积；

(2)已知。为棱A4上的点，证明：BFYDE.

23.(2021•全国•统考高考真题)如图，四棱锥P-438的底面是矩

形，如，底面ABC。，M为BC的中点，且

(1)证明：平面PW平面「比)；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

24.(2020.全国.统考高考真题)如图，已知三棱柱ABC-4囱。的

底面是正三角形，侧面33/GC是矩形，M,N分别为BC,8/G的

中点，尸为AM上一点，过历。和P的平面交A3于石，交AC于尸.

B

(1)证明：AA1//MN,且平面A/AMN_L£BQF；

(2)设。为△A/8/G的中心，若AO〃平面所/GR且AO=AB,

求直线5店与平面A/AMN所成角的正弦值.

25.(2020•全国•统考高考真题)如图，在长方体ABS-ABCa中,

点E，尸分别在棱。A，BB1上，且2»E=EQ,BF=2FB,.

(1)证明：点G在平面AEF内；

(2)若AB=2,AD=1,M=3,求二面角A—EF-A的正弦值.

26.(2020・北京・统考高考真题)如图，在正方体ABS-ABCa中,

(II)求直线AA与平面ARE所成角的正弦值.

27.(2020・全国•统考高考真题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥

底面的圆心，48c是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，

ZAPC=9Q°.

(1)证明：平面如8_1_平面而C；

(2)设。0=及，圆锥的侧面积为百兀，求三棱锥P-A8C的体积.

28.(2020•全国•统考高考真题)如图，已知三棱柱A3C-A由/G的

底面是正三角形，侧面36/GC是矩形，M,N分别为BC,的

中点，P为AM上一点.过囱G和尸的平面交A8于E,交AC于

F.

(1)证明：AA1//MN,且平面A/AMN，平面EB/C//；

(2)设。为的中心，若AOA3=6,AO//平面EB/C//，

且NMPN=W，求四棱锥3-砥/G尸的体积.

29.(2020•浙江•统考高考真题)如图，三棱台ABC—尸中，平

面ACFO,平面ABC,NACB=NACO=45。，DC=2BC.

(I)证明：EFLDB-,

(II)求与面。BC所成角的正弦值.

30.(2020・海南•高考真题)如图，四棱锥P-ABCO的底面为正方

形，底面A8CD.设平面％。与平面P8C的交线为/.

(1)证明：/J"平面PDC；

(2)已知PO=AQ=1,。为/上的点，QB=&,求尸3与平面QCO

所成角的正弦值.

31.（2020・山东・统考高考真题）已知点E,尸分别是正方形A8C。

的边AZ）,8c的中点.现将四边形E/PD沿方折起，使二面角

C-为直二面角，如图所示.

(1)若点G,H分别是AC,9■的中点，求证：G"//平面EFCZ)；

(2)求直线AC与平面43在所成角的正弦值.

32.(2020•江苏•统考高考真题)在三棱柱4BC-A/3/G中，

AB1AC,3/C_L平面ABC,E,f分别是AC,B/C的中点.

B

(1)求证：EF〃平面AB/G；

(2)求证：平面ABC平面A8B/.

33.(2018•全国•高考真题)如图，在三棱锥P-A8C中,

AB=BC=2血,PA=PB=PC=AC^4,。为AC的中点.

(1)证明：POJ•平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。，求PC与平面

PAM所成角的正弦值.

34.(2018•全国•高考真题)如图，四边形MS为正方形，E,F分

别为A28C的中点，以。F为折痕把一。叫折起，使点C到达点P的位

置，且PFLBF.

(1)证明：平面PE/F平面ABFD;

(2)求DP与平面ABED所成角的正弦值.

35.(2019•全国•高考真题)如图，直四棱柱ABCO-A/B/。。/的底

面是菱形，44/=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是3C,

BB1,A/O的中点.

(1)证明：MN〃平面C〃)E；

(2)求点C到平面C7OE的距离.

36.(2018•全国•高考真题)如图，在三棱锥P-ABC中，

AB=BC=2a,PA=PB=PC=AC^4,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面A8C；

(2)若点M在棱BC上，且MC=2M8,求点C到平面POM的距

离.

37.（2019•浙江•高考真题）如图，已知三棱柱A"-ABC,平面

AAtCtC，平面ABC,ZABC=90。，"AC=30。,AA=\C=AC,E,尸分别是

AC，AB1的中点.

B

(1)证明：EFJ.BC；

(2)求直线瓦•与平面ABC所成角的余弦值.

38.(2019•天津•高考真题)如图，在四棱锥尸-加。中，底面

ABC。为平行四边形，.PCD为等边三角形，平面PAC，平面PCD,

PAA.CD,CD=2,AD=3,

(I)设G，“分别为PB,AC的中点，求证：GH平面尸4)；

(H)求证：PA_L平面PC。；

(HI)求直线4)与平面PAC所成角的正弦值.

39.(2019・全国•高考真题)如图，长方体ABCD-A/B/。。的底面

A8CQ是正方形，点石在棱AA/上，BELECi.

(1)证明：平面砧/G；

(2)若AE=AjE,求二面角3-石C-C/的正弦值.

40.(2018•全国•高考真题)如图，边长为2的正方形ABCD所在的

平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CO上异于C,。的点.

(1)证明：平面4如，平面

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面M4B与面MC£＞所成二面角

的正弦值.

41.(2019•全国•高考真题)如图，长方体ABCD-A/B/G。/的底面

ABCD是正方形，点石在棱44/上，BELEC,.

(1)证明：平面砧/G；

(2)若AE=A/E,45=3,求四棱锥E-BB^C的体积.

42.(2019・北京•高考真题)如图，在四棱锥P-A3C。中，雨，平

®ABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为P。的

中点，点厂在PC上，且黄=：・

(I)求证：CD,平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)设点G在P8上，且薪=|.判断直线AG是否在平面A族

内，说明理由.

43.(2019•全国•高考真题)图1是由矩形A£>EB,RfA/WC和菱形MGC

组成的一个平面图形，其中A8=1,BE="=2,NFBC=60,将其沿

AB,3c折起使得8E与班•重合，连结。G,如图2.

(1)证明图2中的ACG,。四点共面，且平面ABC1平面8CGE；

(2)求图2中的四边形ACG。的面积.

困1图2

44.(2018•全国•高考真题)如图，在平行四边形A5CM中,

AB=AC=3,ZACM=9O°,以AC为折痕将^ACM折起，使点M到达点

。的位置，且

(1)证明：平面AC。，平面A8C；

(2)2为线段A。上一点，P为线段BC上一点，且BP=QQ=gzM,

求三棱锥Q-ABP的体积.

45.(2018.北京.高考真题)如图，在四棱锥P-A3CD中，底面

ABCD为矩形，平面皿>_L平面ABC£>,PAA.PD,PA=PD,E、F分别

为AD、PB的中点.

(I)求证：PE±BC；

(II)求证：平面平面PC。；

(III)求证：£/〃平面PCD.

46.(2018•全国•高考真题)如图，矩形A88所在平面与半圆弧C。

所在平面垂直，M是CD上异于c,。的点.

(1)证明：平面ND,平面BMC；

(2)在线段3上是否存在点尸，使得MC〃平面尸如？说明理由.

47.(2019・北京・高考真题)如图，在四棱锥中，PA_L平面

ABCD,底部ABCO为菱形，石为。的中点.

(I)求证：50,平面以C；

(II)若NABC=60。，求证：平面胆平面公石；

(III)棱PB上是否存在点尸，使得C尸〃平面也石？说明理由.

48.(2019•江苏•高考真题)如图，在直三棱柱ABC—4氏。中,

D,E分别为8C,AC的中点，AB=BC.

求证：(1)43/〃平面。E。；

(2)BELCiE.

49.(2018•浙江•高考真题)如图，已知多面体

A8C-ABC|,A|A，4B，GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AA=4,CQ=1,A3=BC=瓦8=2.

(I)求证：AB|_L-平面AgC］；

(II)求直线AG与平面4B4所成角的正弦值.

参考答案：

1.A

【分析】证明痔上平面BOR,即可判断A;如图，以点。为原点,

建立空间直角坐标系，设45=2,分别求出平面用房，A.BD,AQD

的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体ABCD-ABCA中，

AC上8。且OD,1平面ABCD,

又所u平面ABC。，所以稗，力2，

因为E,F分别为AB/C的中点，

所以E/"AC,所以EFLBD,

又B。DD、=D,

所以所上平面8。。，

又EFu平面BgJ

所以平面平面8叫，故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设45=2,

则4（2,2,2）,E（2,l,0）,F（L2,0）,3（2,2,0），A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C,（O,2,2）,

则EF=（-1,1,0）,EB；=（0,1,2）,DB=（2,2,0）,出=（2,0,2）,

M=（O,O,2）,AC=（-2,2,0），AG=（-2,2,0）,

设平面B、EF的法向量为〃?=（5,如4）,

则有E二c，可取加=2,2,-1,

〃?•EB[=y+24=0

同理可得平面A8D的法向量为4=（1,T,-1）,

平面AAC的法向量为%=(1,1,0),

平面AC。的法向量为〃3=（1/，T）,

贝1卜77事=2—2+1=1力0,

所以平面々EF与平面AB。不垂直，故B错误;

UU

因为加与〃2不平行，

所以平面与所与平面AAC不平行，故C错误;

因为加与应不平行，

所以平面与EF与平面ACQ不平行，故D错误,

故选：A.

选项BCD解法二:

解：对于选项B,如图所示，设A8BIE=M,EFBD=N,则MN为

平面B.EF与平面AtBD的交线，

在内，作3PLMV于点P,在“EMN内，作GPJ_MN,交EN于点

G,连结8G,

则4PG或其补角为平面尸与平面AB。所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB1+PN2=BN2,PG-+PN2=GN-,

底面正方形ABC。中，E,尸为中点，则

由勾股定理可得A^+NG=BG?,

从而有：NB?+NG。=（PB、PM）+（PG2+P%=BG。,

据此可得PB2+PG2*BG2,即NBPG*90,

据此可得平面平面A8D不成立，选项B错误；

对于选项C,取AA的中点“，则A"BtE,

由于AH与平面AAC相交，故平面耳所〃平面AAC不成立，选项C错

误；

对于选项D,取AD的中点M,很明显四边形AB/M为平行四边形,

则AM4产，

由于AM与平面AG。相交，故平面B卢/"平面ACQ不成立，选项D

错误;

AG

C

故选：A.

2.D

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示:

不妨设A8=a,AD=6,A4=c,依题以及长方体的结构特征可知，与。与

平面ABCZ）所成角为N8Q8,与平面。他所成角为NgA,所以

cb/

Sin3==J222

0~BD~BD即匕=。，BtD=2c=y/a+b+c,解得a=0c.

对于A,AB=a,AD=b,AB=yflAD,A错误；

对于B,过8作BELA用于E,易知8E_L平面ABCQ,所以A8与平面

AB。。所成角为/BAE,因为tanNB4E=£=玄，所以NBAEH30,B错

a2

误；

2222

对于C,AC=\/a+b=V3c9CBi=\jb+c=67,AC丰CB、,C错误；

对于D,月。与平面BBCC所成角为sin"-黑=*=4，

B、D2c2

而

0<ZZ)B,C<90,所以NgC=45.D正确.

故选：D.

3.A

【分析】先用几何法表示出匿£，九再根据边长关系即可比较大

小.

【详解】如图所示，过点F作尸P，AC于P,过户作PM1BC于M,连

接收，

则(?=/七灯，。=ZFEP,y=NFMP,

PEPE八。FPAB、,FP、FP。

tana=—=—<1,tanB=—=--->I,tan/=---->—=tanp,

FPABPEPE'PMPE

所以

故选：A.

4.A

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB，A。，平面

AB",即可得出结论.

【详解】

连明，在正方体ABCD-AB£D1中,

"是A。的中点，所以M为A。1中点,

又N是。的中点，所以MN//AB,

/UNU平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN//平面A8CD

因为AB不垂直5£>,所以MN不垂直5。

则MN不垂直平面BDD闰,所以选项B,D不正确；

在正方体ABCD-AACa中，4。，A。，

上平面M2。，所以AB_LAQ,

ADtnAB=A,所以A"平面ABR,

平面AB",所以A。，A*

且直线AQQB是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题

的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体

的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

5.D

【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.

【详解】A.4A〃叫,网与町相交,所以明与。异面，故A错

误；

B.即与平面ADRA相交,且。34力，所以研与A。异面，故B错

误；

C四边形ABCR是矩形，不是菱形，所以对角线与AC不垂直，故

C错误；

D.连结BQ,881AC,BRcBBi=B-所以平面

BBR,所以AC18。，故D正确.

故选：D

6.B

【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.

【详解】如图所示，作EOLCD于0,连接ON,过M作A/F_LO£＞于

F.

连环，平面CDE，平面ABCD.

EO±CD,£C»c=gCDE,r.EOJ_平面ABCD,心，平面ABC。，

与AEON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知

EO=石，ON=1EN=2,

MF=昱,BF=),;.BM=不.:.BMHEN,故选B.

22

【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构

造直角三角形.

7.C

【分析】首先画出长方体ABCQ-ABCQ,利用题中条件，得到

ZAC]B=30,根据4?=2,求得3£=26,可以确定CC,=2上,之后利

用长方体的体积公式求出长方体的体积.

【详解】在长方体ABQJ-ABCQ中，连接BG,

根据线面角的定义可知NAC由=3。，

因为43=2,所以30=2打，从而求得CG=2上,

所以该长方体的体积为V=2x2x2下=8夜，故选C.

【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程

中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只

有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重

要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而

求得结果.

8.A

【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所

以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成

角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正

六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体中，

平面ABQ与线岛4Q所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相

等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面ABR与C、BD中间

的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为孝，

所以其面积为S=6xW.（冬、半，故选A.

424

点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积

问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中

找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用

六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

9.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接B。、BC、,因为。A//BC,所以直线8G与所

成的角即为直线BG与»所成的角，

因为四边形网CC为正方形，则故直线BQ与£）内所成的角

为90。，A正确;

连接AC,因为平面8BCC,BGu平面则A^J.BG,

因为用心阳，A4BC=Bj所以BCJ平面AM,

又ACu平面ABC,所以BCJCA,故B正确；

连接AG,设AGBQ=。，连接80,

因为3瓦，平面A8CQ,6^^平面4A62，则CQ_LA2,

因为C0LBQ,BQcB1B=4,所以C0_L平面BBQD,

所以/。逐。为直线BG与平面BBQQ所成的角，

设正方体棱长为1，则=%BC、=6,sin4BO=*=；,

2乙

所以，直线BG与平面BBQD所成的角为30,故C错误；

因为GC，平面ABC。，所以N£BC为直线BG与平面A8C£＞所成的角,

易得

ZC,BC=45,故D正确.

故选：ABD

10.CD

【分析】直接由体积公式计算％%连接的交AC于点〃，连接

EM,FM,由匕=匕-皿+%皿计算出匕，依次判断选项即可.

设AB=EZ）=2FB=2a,因为平面ABC。，FBED,则

匕=〃℃皿=〃2。々・（2。）2=*，3,

匕="8.5枷=3"；.（2〃）2=|心连接8D交AC于点M,连接

EM,FM,易得BQ_LAC,

又£D_L平面ABC。，ACu平面ABCD,则EOLAC,又EDBD=D,

ED,BDu平面BDEF,则AC_L平面BDEF,

又BM=DM=；BD=%,过F作阳，。£于6,易得四边形B£）G尸为矩

形，则FG=BO=2&a,EG=a,

则EM=J（2a）2+（V2a]2=痘,FM=6+（低丫=耳，

22

EM+FM-=EF,则SEFM=；EM-FM=当$，AC=2缶，

贝lj%=匕一皿+@EFM=gAC5"w=2a3,则2匕=3乂，匕=3匕，匕=乂+匕,

故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

11.BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构

造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,

故/POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角,

1_y/2

在直角三角形OPC,OC=0,CP=1故tanZ.POC=

故MNLOP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取火的中点为。，连接产。，°。,则

OQ1NT,PQ1MN,

由正方体SBCM-NADT可得SN平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SNJ.OQ,而SNMN=N,故OQJ■平面队7%，

又MNu平面SNTM,OQ1MN,^\OQ\\PQ=Q,

所以MN_L平面。PQ,而POu平面。尸。，故MN_LOP,故B正确.

对于C,如图（3），连接8。，则BD//MN,由B的判断可得

OPLBD,

故OP工MN,故C正确.

对于D,如图(4),取AD的中点Q,A8的中点K,连接

AC,PQ,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为加=PC,故PQ//AC,故PQ//MN,

所以NQPO或其补角为异面直线PQMN所成的角,

图(4)

因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=&,

22

OQ=y)AO+AQ=>/1+2=>/3,

PO=yJPK2+OK2=>/4+T=V5,QO2<PQ2+OP2,故NQP。不是直角，

故尸O,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

12.72.

【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找

到「在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定

理解决.

【详解】作PD，PE分别垂直于AC,8C,P。工平面ABC,连CO,

矢口cz)_LPr>,cr>_LPO,PDOD=P,

\CDA平面PDO,ODu平面PDO,

：.CD1OD

PD=PE=^3,PC=2.sinZPCE=sinZPCD=

ZPCB=ZPCA=6&,

:.POLCO,CO为/AC8平分线，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=&,又PC=2,

：.PO=y/4-2=>/2.

【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发

现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体

几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍.

13.4()及兀

【分析】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成

角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.

【详解】因为母线%，S3所成角的余弦值为?，所以母线以，SB

所成角的正弦值为母，因为的面积为5而，设母线长为/，所

O

以LxFx姮=5屈；」=4下,

28

因为SA与圆锥底面所成角为45。，所以底面半径为/崂=争，

因此圆锥的侧面积为兀〃=*兀〃=40正兀.

【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求

出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自

然，是该题的最优解.

14.⑴夜

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得8C1平面A84A,建立空间直角

坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱A8C-48C中，设点A到平面A四的距离

为h,

则%-ABC=；SAtBC-h=h=VAi_ABC=15==g'

解得力=夜，

所以点A到平面48c的距离为夜；

(2)取令的中点后连接AE,如图，因为M=A8,所以

又平面ABC，平面ABBA,平面ABCc平面ABB1A=A,B,

且A£u平面A84A,所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-中，叫，平面ABC,

由8Cu平面A/C,8Cu平面ABC可得AE_LBC,BBJBC,

又AE,叫u平面ABB^且相交，所以BC1平面ABB^,

所以8C,明，叫两两垂直，以3为原点，建立空间直角坐标系，如

图,

由(1)得AE=6,所以AA=AB=2,AB=2短,所以8C=2,

则A(0,2,0),4(022),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点0(1,1,1),

则80=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0),

m-BD=x+y+z=0

设平面ABD的一个法向量"?=(x,y,z),则，

ni-BA=2y=0

可取加=(1，0，T)，

nBD=a+b+c=0

设平面8QC的一个法向量〃=(〃/©,则

n-BC=2a=0'

可取〃=(O,LT)，

/\mn11

则8s加〃"丽

所以二面角A-Q-C的正弦值为旧品等.

15.(1)证明过程见解析

⑵C尸与平面曲所成的角的正弦值为竽

【分析】(1)根据已知关系证明△MZ法△CBD,得到AB=C8,结合

等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可

证明；

(2)根据勾股定理逆用得到股工小，从而建立空间直角坐标系，

结合线面角的运算法则进行计算即可.

(1)

因为4)=a),七为AC的中点，所以ACLDE；

在/\ABD和ACBD中，因为A。=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以“BZ江△C8D,所以AB=C8,又因为石为AC的中点，所以

AC1.BE；

又因为OE,3EU平面BED,DEcBE=E,所以AC,平面

因为ACu平面AC£),所以平面BEZ〃平面AC。

(2)

连接EF,由(1)知，AC,平面3匹，因为£Fu平面3E£),

所以AC_LM,所以S“c=；A。所，

当所_L3D时，EF最小，即△AFC的面积最小.

因为所以Cfi=43=2,

又因为ZACB=60。，所以"C是等边三角形，

因为石为AC的中点，所以A£=EC=1,BE=43,

因为AO_LC。，所以。E=；AC=1,

在一E>E5中，DE2+BE2=BD2,所以BESOE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z,

则A（1,0,0）,8（0,疯0）,。（0,0,1）,所以AO=（-1,0,1）,A8=卜1,g,0）,

设平面ABD的一个法向量为”=(x,y,z),

/?•AD=-x+z=0-厂I,/r-\

则小人-+石广。,取尸石，则〃=（3，M3）,

［力，所以b=|l,近31

又因为C(T,0,0),FT54P

/E\〃CF64>/3

所以小〃⑺=而「邛二〒’

设CF与平面谢所成的角的正弦值为。［。4”日,

所以sin©=k°s卜,CT7)=——,

所以C尸与平面.所成的角的正弦值为理.

16.(1)证明见解析;

【分析】(1)作DE/AB于E,51他于F,利用勾股定理证明

AD±BD,根据线面垂直的性质可得/＞/八比＞,从而可得双〃平面

PAD,再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答

案.

(1)

证明：在四边形ABC。中，作DEJ.AB于E,CF上AB于F,

^^]CD//AB,AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四边形AB。为等腰梯形，

所以AE=B尸=g,

故力E=乎，BD=yjDE2+BE2=73,

所以AD?+8斤=AB2,

所以"＞工应)，

因为P£>J>平面A8C£>,BDu平面ABCD,

所以「力_1_比）,

又PDcM^D,

所以双。平面PAD,

又因为PAu平面PAD,

所以BZUH;

(2)

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

BD=也，

则A(1,O,O),B(O,5/3,O),P(O,O,V3),

则-I,O,6),BP=(O,-G,6),OP=(O,O,G),

设平面PA8的法向量〃=(x，＞，z),

n-AP=-x+£z=0

则有｛可取”=(6,1,1),

n-BP=S+6z=0

n-DPV5

则cos(",£>P)=HM=T，

所以如与平面加所成角的正弦值为手.

17.(1)证明详见解析

⑵手

【分析】（1）通过证明AC，平面80来证得平面3包>J■平面AC。.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时F点的位置，然后求得尸

到平面A8C的距离，从而求得三棱锥尸-ABC的体积.

【详解】（1）由于仞=8,E是AC的中点，所以AC_L0E.

AD=CD

由于,所以△ADBMACDB,

NADB=ZCDB

所以AB=C3,故AC2班）,

由于£>Ec8Z）=£）,DE,BDl平面8即，

所以AC,平面8口）,

由于ACu平面AC£>,所以平面8EZ）J_平面AC£>.

（2）［方法一］:判别几何关系

依题意46=8。=8c=2,ZACB=60。，三角形A6C是等边三角形，

所以AC=2,4E=CE=1,BE=G,

由于所以三角形A。是等腰直角三角形，所以

DE=l.

DE2+BE2=BD2,所以DELBE,

由于ACcB£=E,AC,8Eu平面ABC,所以£>E2平面ABC.

由于△ADB三△CD3,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于=所以」

AB=CB

所以AF=CF,所以防4C,

由于S"C=：AC.EF,所以当EF最短时，三角形AEC的面积最小

过E作EFL8D,垂足为F,

在RIBBED中，-BEDE=-BDEF,解得EF=^

所以。F=F⑸,13

2J22

匚匚aBF3

所以而=屋

过尸作切J_8E,垂足为H,则四〃/小，所以叨，平面A8C,且

FHBF3

所以尸”=：,

所以9rBc=：.SABc.尸，=：x；x2x百x1=乎.

33244

［方法二］:等体积转换

AB=BC,Z4CB=60。，AB=2

・Me是边长为2的等边三角形,

BE=有

连接政

=ACDB.-.AF=CF

EF±AC

.•.在ABEO中，当EFJ.8Z）时，AAFC面积最小

AD1CD,AD=CD,AC=2,E为AC中点

DE=1DE2+BE-=BD2

BEA.ED

若EFJ.BD,在ABED中,EF=丝L"=B

BD2

BF=\lBE2-EF1=-

2

J_3/3金

-BFEF=

222T-_8-

.AC」.迈2=

^F-ABC=匕-叼+^C-HEF

384

18.(1)证明见解析;

⑵/

【分析】（1）过点E、。分别做直线DC、AB的垂线EG、并分

别交于点G、H,由平面知识易得FC=BC,再根据二面角的定义可

知，4CE=60,由此可知，FNLBC,FN1CD,从而可证得/W_L平

面A8C。，即得/W_LAD；

（2）由（1）可知FN_L平面过点N做A3平行线NK,所以可

以以点N为原点，NK,NB、NF所在直线分别为x轴、V轴、z轴建

立空间直角坐标系N-冲z,求出平面ADE的一个法向量，以及BM,

即可利用线面角的向量公式解出.

【详解】（1）过点E、。分别做直线。C、的垂线EG、DH并分

别交于点G、H.

•••四边形和"8都是直角梯形，

AB//DC,CD//EF,AB^5,DC=3,EF^\,ZR4D=NC£>E=60。，由平面几何知

识易知，DG=AH=2,NEFC=NDCF=NDCB=ZABC=90°,贝四边形EFCG

和四边形。CB"是矩形，RtEGD^WRtDHA,EG=DH=2也,

VDC1CF,DC1CB,且CFcCB=C,

OC_L平面3CE/BC尸是二面角F-ZJC-B的平面角，贝iJ/BC尸=60,

△5CF是正三角形，由。Cu平面43cO,得平面平面3CF,

YN是8c的中点，FNLBC,又。C,平面BCF,FNu平面3CF,可

得FNLCD,而BCcC£）=C,；./W平面A8CD,而ADu平面

ABCD..FNYAD.

（2）因为尸N,平面A8C。，过点N做AB平行线NK,所以以点N为

原点，NK,NB、NF所在直线分别为》轴、N轴、z轴建立空间直

角坐标系N-孙z,

则扉3冬、

设A(5,73,0),8(0,瓜0),0(3,-石,0),E(l,0,3),

,=卜,-乎,3,AO=(-2,-26,0),DE=(-2,6,3)

设平面ADE的法向量为〃=（x，%z）

,n-AD=0/日-2x-2y/3y=0

由=得［-2X+石y+3z=0取n=(G,-l,G),

设直线8M与平面4犯所成角为6,

**•sin0=|cos(/?,3M〉卜

|n|BM|行而小+滂日2百14

19.（1）证明见解析；（2）BQ=；

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直

线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的

平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；

【详解】（1）［方法一］:几何法

因为BF1AB|，A4〃AB,所以

又因为明，BFcBB广B,所以A3工平面BCCf.又因为

AB=BC=2,构造正方体ABCG-A/CG,如图所示，

过七作A3的平行线分别与AG,8c交于其中点KN,连接AKB”,

因为£,尸分别为AC和明的中点，所以N是3c的中点，

易证RtBCF=Rt.BiBN,则NCBF=NBB1N.

又因为NBB|N+/B|NB=90°,所以/CBF+/B|NB=90°,

又因为BF1A4,8户rA4=4,所以斯，平面AM/叩.

又因为£Du平面AMN8「所以3尸_L£>E.

［方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱ABC-ABG是直三棱柱，二阴，底面ABC,

ABJ/AB,BF.-.BFYAB,又BBqBF=B,.：.工平面

8CCg.所以BA,8C,B四两两垂直.

以8为坐标原点，分别以BA8C,四所在直线为x,y,z轴建立空间直角

坐标系，如图.

.-.S（0,0,0）M（2,0,0）,C（0,2,0）,4（0,0,2），A（2,（）,2），G（（）,2,2）,£（1,1,O）,F（O,2,1）.

由题设。（a，0,2）（0<a<2）.

因为3尸=（0,2,1）,£>E=（1-a,1,-2）,

所以3FgE=0x(l-4)+2xl+lx(—2)=0,所以

［方法三］:因为冉，%B田AB,所以故所小A=0,

BFAB=0,所以

BF-ED=BF<EB+BB、+BQ）-BF•B、D+BF<EB+BB）=BF.EB+BF.BB、

11

=Bc\+BF-=-一BF-BA--BFBC+BFBB.

22

=-^BFBC+BFBBt=-^|BF||BC|COSZFBC+|BF|.|BS,|COSZFBB,

—x5/5X2X—产+y/5X2X—广=0,所以跳」ED.

2旧旧

(2)［方法一］【最优解】：向量法

设平面DFE的法向量为机=(x,y,z),

因为所=（TLl）,£>E=（j,l,-2）,

\m-EF=O[-x+y+z=O

所rcr以|f〃L=O，RHr]（l-a）x+y_2z=0.

令z=2—a,则，77=（3,l+a,2-a）

因为平面BCC,B\的法向量为胡=（2,0,0）,

设平面声与平面DEF的二面角的平面角为0,

防训63

贝|cos0\=--j~~7=---/,==I=.

网,网2xj2/-2a+14J2a?-2a+14

177

当仁:时，2/_2a+4取最小值为合，

3_V6

此时cos。取最大值为严=3~.

所以何叽=『（制邛,此时赳

[方法二]:几何法

如图所示，延长所交AG的延长线于点S,联结房交86于点T,则

平面。FE平面BBCC=/T.

作即/Ib,垂足为H,因为