数学-2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）（答案及评分标准）

2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）数学·答案及评分标准12345678910ACDDCCDBDA11． （5分）12． （5分）13．5 （5分）14．（5分）15．①③④16．（1）若选①:因为，由余弦定理得，整理得，则，（3分）又，则，，（5分）则；（6分）若选②:因为，即，则，（2分）又，则，又，得，（4分）则；（6分）（2）由正弦定理得：，则，（10分）则，．（13分）17．（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,

（2分）所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是.

从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（4分）（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.

所以可取0,1,2，则，，，（7分）所以的分布列为012所以；（9分）（3）由题可得，，（12分），所以；.（13分）18．（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，（1分）所以，，因为，所以，所以，即，所以，，设平面的法向量为，则，（3分）令，则，所以，平面的法向量为，则，（5分）令，则，所以，所以，所以，所以平面平面.（6分）（2）易知平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为.（9分）（3）因为棱上一点，满足，所以，所以，（12分）所以点到平面的距离.（14分）19．（1）由题得，所以椭圆的方程为，焦距为.（5分）（2）如图，直线与椭圆方程联立，化简得，（7分），即.设,，,，则，．直线的方程为，则，（9分）直线的方程为，则，因为，所以+=0，（11分）所以，所以，把韦达定理代入整理得或，当时，直线方程为，过定点，（13分）即点，不符合题意，所以舍去.当时，直线方程为，过定点.所以直线经过定点.（15分）20．（1）当时，，，所以，（3分）又，所以切线方程为，即.（5分）（2），当时，，解得，故时，，单调递减；时，，单调递增，（6分）故时，的极小值为，无极大值；当时，令，解得，，故当或时，，单调递增，（7分）当时，，单调递减，故的极大值为，极小值为；当时，令，解得，，故当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故的极大值为，极小值为；（10分）综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为.（11分）（3）当时，由（2）知，在和上单调递增，在上单调递减，且时，恒成立，（12分）时，，又的极大值为，极小值为，所以存在实数时，函数有三个零点.（15分）21．（1）当时，，，，所以，（2分）（2）设，其中，则，（4分）因，，因，所以，，，，又，，，所以，（6分）因，，，，因，，，，所以，，，，，，，所以所以为定值.（8分）（3），若，则，,故，，此时，不符合题意，（10分）故，猜想，下面给予证明，当时，显然成立，假设当，时，都有成立，即，此时，，故，，，符合题