数学（全国乙卷）（理科）（考试版A4）

2024年高考数学第一次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足，则（

）A． B．C． D．2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B． C． D．4．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．是函数的一个周期C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最小值为15．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（

）．A．①和②都正确 B．①和②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确6．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（

）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为7．已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]8．已知实数满足，其中，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．9．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米10．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（

）A． B．C． D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．12．已知，且，则的大小关系为（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为.14．在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为.15．在中，，，当取最大值时，．16．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该四棱锥体积的最大值为，则该球的体积为.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：年份201720182019202020212022编号123456企业总数量（单位：百个）5078124121137352(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：，其中，参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为18（12分）．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．

(1)求证：直线平面．(2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由．19．（12分）数列中，，对任意正整数n都有.(1)求的通项公式；(2)设的前项和为，证明：①；②.20．（12分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围．21．（12分）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.(1)求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；(2)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（