数学（全国甲卷）（文科）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（文科）·参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112DACCBDBBDAAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．9（答案不唯一，内的任何一个值均可）14．73.5 15．16．②④三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）【答案】(1)0.96，y与x之间的线性相关性较强(2)表格见解析，认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05.【详解】（1）由表格知：，，（1分）所以，（2分），（3分），（4分）由上，有，（6分）所以与之间的线性相关性较强；（7分）（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主女性车主总计（9分）则的观测值，（11分）根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于.（12分）18．（12分）【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，（2分）又，所以，又，（4分）所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（5分）（2）由（1）可得，当时，，（7分）当时也成立，所以.（8分）所以，（9分）所以，（11分）又，所以.（12分）19．（12分）【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在三棱柱中，，，（1分）因为，，即，，所以，（3分）则四边形为平行四边形，则．（4分）又因为，所以，故B，D，E，四点共面．（5分）（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，如图所示．（6分）在三棱柱中，四边形为平行四边形，，则，（7分）又，所以为等边三角形．又O为AC的中点，所以．（8分）又平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC．（9分）又，O为AC的中点，所以．因为，，所以，，．（10分）又因为，，（11分）所以四棱锥的体积为．（12分）20．（12分）【答案】(1)，(2)是定值，该定值为．【详解】（1）由题意知，，且，（2分）解得，．（3分）（2）梯形的面积是定值，该定值为．（4分）理由如下：由（1）知：，：,

设，，，则，因为，，所以A，B分别为PD，PC的中点，则，，则，（6分）作差可得，．因为，即，所以．同理可得，，所以C，D都在直线上，即直线CD的方程为．（8分）联立，可得，，则，即．（10分）又因为点P到直线CD的距离，所以的面积为．又因为∽，，所以，（11分）所以梯形ABCD的面积为．（12分）21．（12分）【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）当时，，依题意，曲线在处的切点为，而，有，（2分）即曲线在处的切线方程为，记，（3分）求导得，当时，，递增，当时，，递减，因此，所以成立.（5分）（2）记，依题意，恒成立，求导得，令，（6分）则在上单调递增，又，则，使得，即成立，则当单调递减；当单调递增，（7分），由，得，于是得，当时，令，有在上单调递减，（8分）而在上单调递增，即有函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，则当时，，不合题意；（9分）当且时，由（1）中知，有，从而，（10分）由知，因此满足，又在上单调递增，则有，而，所以实数的取值范围是.（12分）（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）【答案】(1)(2)【详解】（1）∵（为参数），∴（为参数），（1分）消去参数得，（2分）将，代入上式，整理得，（4分）∴曲线的极坐标方程为．（5分）（2）由题知，设，，（6分）将代入，整理得，∴，，（8分）∴．（9分）点到直线的距离，∴．（10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）【答案】(1)(2)4【详解】（1），（2分）故等价于或或，（4分）解得，不等式的解