数学（全国甲卷）（理科）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】解对数不等式化简集合B，再利用并集、补集的定义求解作答.【详解】由，得，则，而，因此，又全集，所以．故选：C2．已知复数满足,是的共轭复数,则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简等式得到,计算得到共轭复数,即可得到的值.【详解】由题意得,∴,∴.故选:A.3．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出可行域，根据目标式的几何意义，应用数形结合法判断求最值时所过的点，即可得范围.【详解】由题设可行域如下图示，目标式表示在在平移过程中，与可行域有交点情况下在x轴上的截距，由图知：目标函数过和的交点时有最小值，过和交点时有最大值，所以，故取值范围为.故选：C．4．直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的（

）A．既不充分又不必要条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．必要而不充分条件【答案】D【分析】由直线与圆相交，应用点线距离、相交弦长的几何求法列方程求参数，再根据充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】由题设，圆心到直线的距离，且圆的半径为1，若，则，即，可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：D5．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（

）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A．20 B．16 C．12 D．7【答案】B【分析】由，解方程即可.【详解】依题意有时，，则，当时，有，，.故选：B6．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（

）A．288种 B．360种 C．480种 D．504种【答案】C【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.故选：C7．已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.【详解】若存在非零实数使得，即，又，，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：B8．在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心点在上，再利用勾股定理求解即可.【详解】

取的中点为，连接，因为，，所以，,所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面，又，则球心在直线上，连接，设球的半径为，则，即有，得,故选：B9．知实数a，b，c满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，而，然后利用指数函数的性质可比较的大小，再求出，则可得，再根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断.【详解】由，得，所以，又函数单调递减，，所以，即，所以由，得，所以，所以函数在上单调递增，函数和在上单调递减，故，，所以A错误；，．又，所以，，所以C错误；由，得．因为，所以，故，所以B错误；因为在上单调递增，且，所以．因为在上单调递减，且，所以，故．故选：D．10．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】B【分析】根据递推公式证明数列为等比数列，然后由等比数列通项公式可得，利用累加法求，再对进行放缩求，最后由裂项相消法求出，根据高斯函数可得答案.【详解】由得，又，所以数列是以4为首项和公比的等比数列，故，由累加法得，所以，∵，又，∴，令，，，∴，代入得.故选：B．【点睛】本题难点在于考察知识点多，解答过程曲折不易思考，每个知识点的考察难度不算太大，这就要求学生对数列知识掌握全面，并且对问题掌握一定的分析方法.11．已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：，解得，又因为，可得，由直线与轴的交点的坐标为可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，此时，且，则，所以，即.故选：A.

.【点睛】本题解决的关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解.12．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（

）A．28 B．32 C．36 D．40【答案】C【分析】本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值.【详解】因为是偶函数，所以，用代替可得：，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，所以函数的周期为，因为当时，（且），且，所以，解得：或，因为且，所以.所以当时，，所以，，，，，，，所以，所以,故选：.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差．【答案】或【分析】由，可求出，再由等比数列可建立关系式，求出【详解】由，可知，即，又，，成等比数列，所以，即，解得或，故答案为：或214．的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】【分析】先求出的展开式的通项，然后即可求得的展开式中含的项，从而求解.【详解】由题意得：展开式的通项为：，当时，即：，得：，当时；即：，得：，所以得：展开式中含项为：，所以的系数为：.故答案：.15．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为．【答案】【分析】设，表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于的方程，即可求得p，即得答案.【详解】由可知，设，则，则，故，即①；又点在抛物线上，故②，且，即③，②联立得，得或，由于，故，结合③，解得，故抛物线方程为，故答案为：【点睛】解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.16．法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐．代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形如的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍（频率是指单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量）．其中频率最低的一项所代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的2倍，第三泛音的频率是第一泛音的3倍……例如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：（其中自变量t表示时间），每一项从左至右依次称为第一泛音、第二泛音、第三泛音．若一个复合音的数学模型是函数（从左至右依次为第一泛音，第二泛音），其中所有正确结论的序号是.①的一个周期为；②的最大值为；③的图象关于直线对称；④在区间上有3个零点【答案】①④【分析】对于①，利用函数的周期性进行判断，对于②，求函数的导数，再求出函数的单调区间和极值进行判断，对于③，利用函数的对称性分析判断，对于④，直接解方程进行判断.【详解】对于①，因为的周期，所以频率为，所以的频率为，所以周期为，所以，得，所以，因为的周期，的周期，所以的最小正周期为，所以①正确，对于②，因为的最小正周期为，不妨设，由，得，由，得或（舍去），得或，由，得，得，此时为减函数，所以当时，取得极大值，因为，所以在上的最大值为，所以的最大值为，所以②错误，对于③，因为，，所以，所以的图象关于直线不对称，所以③错误，对于④，由，得或，因为，所以由，得，或，或，，得，综上，，或，或，所以在区间上有3个零点，所以④正确，故选：①④【点睛】此题考查三角函数的应用，考查导数的应用，解题的关键是正确理解题意根据频率的关系求出的解析式，然后逐个分析判断，考查分析问题的能力和计算能力，属于较难题.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．①参考数据：．②参考公式：线性回归方程为，其中；相关系数，若，则可判断与线性相关较强；，其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)电动汽车销量与年份的线性相关性的较强；(2)依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关；(3)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答.（2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答.（3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答.【详解】（1）由，得，由，得，（1分）因为线性回归方程，则，即，（3分）因此相关系数，所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.（5分）（2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：，（6分）依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（7分）（3）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，则的可能值为，（8分），（10分）所以的分布列为：012的数学期望.（12分）18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，若.(1)求角的大小；(2)若为上一点，，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，（2分），所以，所以是钝角，所以.（5分）（2），，所以，即，（8分）所以，（11分）当且仅当时等号成立.（12分）19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．

(1)求证：B，D，E，四点共面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）由题设，，进而有，易得四边形为平行四边形，再结合，即可证结论；（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，根据已知证明线面、线线垂直并构建空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）在三棱柱中，，，（1分）因为，，即，，所以，则四边形为平行四边形，故，又，（3分）所以，故B，D，E，四点共面．（4分）（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，如图所示．三棱柱中，四边形为平行四边形，，，所以为等边三角形，又O为AC的中点，所以．（5分）因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，又，O为AC的中点，所以．因为，，所以．（7分）以O为原点，OB，OC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，令，则，，故．（9分）设平面的一个法向量为，则，（10分）令，则，，故．因为，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（12分）20．（12分）已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．(1)求实数a和b的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，(2)是定值，该定值为．【分析】（1）根据题意列出关于的方程，即可求得答案；（2）设，，，表示出坐标，利用点差法推出直线CD的方程，进而联立椭圆方程，求得弦长，结合点到直线的距离求得的面积，进而可求得梯形的面积为定值.【详解】（1）由题意知，，且，（2分）解得，．（3分）（2）梯形的面积是定值，该定值为．（4分）理由如下：由（1）知：，：,

设，，，则，因为，，所以A，B分别为PD，PC的中点，则，，则，（6分）作差可得，．因为，即，所以．同理可得，，所以C，D都在直线上，即直线CD的方程为．（8分）联立，可得，，则，即．（10分）又因为点P到直线CD的距离，所以的面积为．又因为∽，，所以，（11分）所以梯形ABCD的面积为．（12分）【点睛】本题是关于求解椭圆中的参数以及定值问题，综合性强；难点在于求解定值时，要有明确的解题思路，即方程思想，利用联立方程，结合点的坐标求解弦长以及面积等，并且计算过程较为复杂，计算量大，要十分细心.21．（12分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与即可得解；（2）构造函数，利用导数得到的单调性，从而分类讨论与，结合的特性进行分析即可得解.【详解】（1）因为，所以，（1分）当时，，即，所以在上单调递增；（2分）当时，令，得，令，得；令，得；所以在上单调递减；在上单调递增；（4分）综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增.（5分）（2）因为，所以由，得在上恒成立，（6分）令，则，，令，则，因为，则，，，则，所以，则在上恒成立，（8分）所以在上单调递增，则在上单调递增，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以在上单调递增，则，则，故，（10分）所以当时，，，所以在上必存在，使得，又在上单调递增，故当时，，所以在上单调递减，而，不满足题意；当时，，所以在上单调递增，