初中数学自主招生难度讲义-7年级专题14一次方程组（解析版）

专题14一次方程组

阅读与思考

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元

将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法．

解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体

上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧．

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法．

a1xb1yc1

对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为的形式，方程组的解由

a2xb2yc2

的取值范围确定，当的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本

a1,b1,c1,a2,b2,c2a1,b1,c1,a2,b2,c2

思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．

例题与求解

xy2

【例1】若m使方程组的解x，y的和为6，则m＝______________．

x2ym

(湖北黄冈市竞赛试题)

解题思路：用含m的式子分别表示x，y，利用x＋y＝6的关系式，求解m．

5x22y2z2

【例2】若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz0）．则代数式的值等于()

2x23y210z2

119

A．B．C．－15D．－13

22

(全国初中数学竞赛试题)

解题思路：把z当作常数，解关于x，y的方程组．

【例3】解下列方程组．

xyz

（1）456

2x3y4z3

（“缙云杯”邀请赛试题）

1995x1997y5989

（2）

1997x1995y5987

（北京市竞赛试题）

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991

（3）

x1x2x1998x19991999

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整

体叠加．

ax2y1a

【例4】已知关于x，y的方程组分别求出a为何值，方程组的解为：

2x2(a1)y3

（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．

bcdefacdefabdefabcef1

【例5】已知正数a，b，c，d，e，f满足4，9，16，，

abcd4

abcdf1abcde1

，．求(abe)(bdf)的值．

e9f16

（“CADIO”武汉市竞赛试题）

解题思路：利用叠乘法求出abcdef的值．

【例6】已知关于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，当a每取一个值时就有

一个方程，这些方程有一个公共解．

（1）求出这个公共解．

（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解．

（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

解题思路：分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解．

能力训练

A级

m

1．若3x3m5n94y4m2n12是关于x，y的二元一次方程，则的值等于______.

n

（“希望杯”邀请赛试题）

23x17y63

2．方程组，的解为____________.

17x23y57

（辽宁省中考试题）

ax5y15�

3．已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x＝－3，y＝－

4xby2�

1；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x＝5，y＝4．若按正确的a，b计算，则原方程组的解

为___________.

（四川省联赛试题）

4．已知关于x的方程a(x3)b(3x1)5(x1)有无穷多个解，则a＝，b＝________.

（“希望杯”邀请赛试题）

xyxy

5．已知(4)2(2)20，则有()．

3232

A.x＝2，y＝3B.x＝－6，y＝3

C.x＝3，y＝6D.x＝－3，y＝6

3x2y6

6．如果方程组的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是()．

3x2y2

9191

A.B.C.－2D.2

36

a2b3c0abbcca

．设非零实数，，满足，则的值为．

7abc222()

2a3b4c0abc

11

A.B.0C.D.1

22

（2013年全国初中数学竞赛试题）

2a3b13a8.32(x2)3(y1)13

8．若方程组的解为则方程组的解为()．

3a5b30.9b1.23(x2)5(y1)30.9

x8.3x10.3x6.3x10.3

A.B.C.D．

y1.2y2.2y2.2y0.2

（山东省枣庄市中考试题）

2x3y2k1

9．已知关于x，y的方程组的解x，y的值的和为6，求k的值．

3x2y4k3

（上海市竞赛试题）

10．解方程组．

361x463y102

（1）

463x361y102

（云南省昆明市竞赛试题）

12

1

x16y3

（2）

11

1

2x22y1

（浙江省竞赛试题）

xy7

（3）

2x3y1

．若满足下列方程组

11x1~x5

2x1x2x3x4x56

x12x2x3x4x512

，求的值．

x1x22x3x4x5243x42x5

xxx2xx48

12345

x1x2x3x42x596

（美国数学邀请赛试题）

B级

1．已知对任意有理数a，b，关于x，y的二元一次方程(ab)x(ab)yab有一组公共解，

则公共解为______.

（江苏省竞赛试题）

2xy3z23

2．设，则3x－2y＋z＝．

x4y5z36

（2013年全国初中数学竞赛试题）

6xmy18

3．若关于x，y的方程组有自然数解，则整数m可能的值是．

3xy0

（2013年浙江省湖州市竞赛试题）

(a1)xy5

4．已知方程组，当a，b时，方程组有唯一一组解；当

xyb

a，b时，方程组无解；当a，b时，方程组有无数组解．

（“汉江杯”竞赛试题）

5．“△”表示一种运算符号，其意义是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，则x＝()．

13

A.1B.C.D．2

22

（江苏省竞赛试题）

135x2y

6．已知，则的值为()．

xyzzx2yz

331

A.1B.C.D．

224

（重庆市竞赛试题）

ax2by23ax5by9

7．已知关于x，y的两个方程组和具有相同的解，那么a，b的值是

2xy73xy11

()．

a3a2a2a3

A.B.C.D．

b2b3b3b2

8．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值

是()．

A.－1B.－5C.0D．1

（全国初中数学联赛试题）

9．解方程组

xy1

（1）

x2y3

（江苏省竞赛试题）

ab1

bc2

（2）cd3

de4

ea6

（上海市竞赛试题）

ab1bc1ca1abc

10．已知，，，求的值．

ab15bc17ca16abbcca

（山西省太原市数学竞赛试题）

．已知，，，…，中每一个数值只能取－，，中的一个，且满足求的值＋＋

11x1x2x3xn201x1x2

＋…＋＝－，2＋2＋2＋…＋2＝．求3＋3＋…＋3的值．

x3xn17x1x2x3xn37x1x2xn

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

5x4y7

12．已知k是满足1910k2010的整数，并且使二元一次方程组有整数解，问：

4x5yk

这样的整数k有多少个？

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

专题14一次方程组

m24m

例18②一①得3y=m-2，∴y．①×2+②得3x=4+m，∴x．又由x+y=6得

33

4mm2

+=6，解得m=8.

33

4x3y6zx3z5(3z)22(2z)2z2

例提示：由题意知得代入原式中，得

2D22213.

x2y7zy2z2(3z)3(2z)10z

x12

xyz

例3（1）y15，提示：令k，则x=4k,y=5k,z=6k.

456

z18

x1

(2),提示：将方程分别相加、相减得x+y=3,x-y=-1.

y2

AB1

（3）由题意可设x1=x3=x5=…=x1999=A,x2=x4=x6=…=x1998=B，则

1000A999B1999

解得A=1000，B=-999，即xl=x3=x5=…=x1999=1000,x2=x4=x6=…=x1998=-999.

(a2)(a1)x(a2)(a2)

例4提示：由方程组得

2(a2)(a1)ya2

(1)当（a-2）(a+1)≠o，即a≠2且a≠-l时，原方程组有唯一解；

(2)当(a-2)(a+l)=0且(a-2)(a+2)与a-2中至少有一个不为0时，方程组无解，故当a=-1时，原方程

组无解；

(3)当(a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（a-2)=0,即a=2时，原方程组有无数组解．

11

例5提示：依题意可得(abcdef)4=1即abcdef=1，从而a4，故a，同理可得

42

111117

b,c,d2,e3,f4，那么(ace)(bdf)(3)(24)2

3424312

x7

例6(1)分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为．

y3

(2)把(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0可变形为(x+2y-1)a-3x-5y+6=0．依题意可得

x2y10x7

,解得.

3x5y60y3

∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解．

A级

x14

3x2

1.2.3.294.215．C6．B

19y1y

5

1

7．A提示：由已知得a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c)=0，故(a+b+c)2=0，于是ab+bc+ca(a2b2c2)，

2

1

则原式的值为．

2

x28.3x6.3

8.C提示：依题中方程组知解得

y11.2y2.2

161123

9.5提示：xk,yk．

13131313

x1

10.(1)

y1

7

x

311

(2)提示：设A，B.

11x12y1

y

6

x14x24x34x44

(3),,

y13y23y33y43

11.181提示：将各个方程相加得x1+x2+x3+x4+x5

＝31．

B级

x0xy10

1.提示：由a(x－y－1)－b(x＋y＋1)＝0知

y1xy10

2.10提示：3x－2y＋z＝2(2x＋y＋3z)－(x＋4y＋5z)＝2×23－36＝46－36＝10

6

3.－1，0，1，4提示：把y＝3x代入6x＋my＝18中得6x＋3my＝18,整理得x＝，又因为x，

m2

y为自然数，故符合条件的m取值为－1，0，1，4。

4.2为任意有理数＝25＝2＝5

5.B

6.B提示：运用奇数、偶数性质分析。

2xy7x4

7.B提示：由得方程组的解为

3xy11y1

8.B提示：由条件得a＝－3b,c＝－2b,d＝－b

5511

x1x2x3x4

3333

2244

9.(1)yyyy

13233343

x－y

提示：当xy0时，x＋y＝x＋y，当xy0时，x＋y＝