初中数学自主招生难度讲义-7年级专题13位置确定（解析版）

专题13位置确定

——平面直角坐标系

阅读与思考

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．从而坐标平面上的点与有序

数对（x，y）之间建立了一一对应关系．利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相

关的问题需注意：

（1）理解点的坐标意义；

（2）熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称轴的坐标特征；

（3）善于促成坐标与线段的转化．

例题与求解

【例1】（1）已知点A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么ab＝______________．

(四川省中考试题)

（2）在平面直角坐标系中，若点M(1，3)和点N(x，3)之间的距离为5，则x的值是____________．

(辽宁省沈阳市中考试题)

解题思路：对于（1）纵坐标互为相反数，对于（2），M，N在平行于x轴的直线上787．

【例2】如图的象棋盘中，“卒”从A点到B点，最短路径共有()

A．14条B．15条

C．20条D．35条

(全国初中数学竞赛预赛试题)

解题思路：以点A为起点，逐渐地寻找到达每一个点的不同走法的种数，找到不同走法的规律．

例2题图例3题图

【例3】如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为(0，a)和(9，a)，点E在

11

AB上，且AEAB，点F在OC上，且OFOC．点G在OA上，且使△GEC的面积为20，△

33

GFB的面积为16，试求a的值．

（“创新杯”竞赛试题）

解题思路：把三角形的面积用a表示，列出等式进而求出a的值．

【例4】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，

D(2，7)．

（1）在坐标系中，画出此四边形．

（2）求此四边形的面积．

（）在坐标轴上，你能否找一个点，使？若能，求出点坐标；若不能说明理由．

3PSPBC50P

解题思路：对于（2），过C，D两点分别向x轴，y轴引垂线，由坐标得到相关线段．对于（3），

由于P点位置不确定，故需分类讨论．

【例5】如果将电P绕顶点M旋转1800后与点Q重合，那么称点P与点Q关于电M对称，定点M

叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点，如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O

的坐标分别为，，，，，，点，，，…中相邻两点都关于△的一个顶点对称，

(10)(01)(00)P1P2P3ABO

点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关

P1P2AP2P3BP3P4OP4P5

于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，…对称中心分别是，，，，

AP5P6BP6P7OABCA

，，…且这些对称中心依次循环，已知的坐标是，．试写出点，，的坐标．

BCP1(11)P2P7P100

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律．

【例6】如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A，B

分别向上平移2个单位．再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

（）求点，的坐标及四边形的面积．

1CDABDCS四边形ABDC

（）在轴上是否存在一点，连接，，使，若存在这样一点，求出点

2yPPAPBSPABS四边形ABDCP

的坐标，若不存在，试说明理由．

（3）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO．当点P在BD上移动时（不与B，D

DCPBOP

重合），的值是否变化？若不变，求其值．

CPO

解题思路：（1）由平移知C(0，2)，D(4，2)．另求出四边形面积．（2）设OP＝h，用h表示出

可求出的值．若为整数，则是轴上的点，若不是，则说明该点不存在．

SPABS四边形ABDChy

能力训练

A级

1．如图，△AOB绕点O逆时针旋转900，得到A'OB'，若点A的坐标为(a，b)，则点A'的坐标

为______.

（吉林省中考试题）

2．△ABC的坐标系中的位置如图所示，若A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点

A'的坐标为______.

（山东省青岛市中考试题）

3．线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应

点D的坐标是____________.

（内蒙古包头市中考试题）

4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，

(2，0)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为____________.

（四川省德阳市中考试题）

5．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在()．

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（江西省南昌市中考试题）

6．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是()．

A.(－2，7)B.(0，3)C.(0，7)D.(7，0)

（重庆市中考试题）

7．如图，若平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是

()．

A.(3，7)B.(5，3)C.(7，3)D.(8，2)

（江苏省南京市中考试题）

8．如果点P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范围是()．

111

A.0mB.m0C.m0D．m

222

（陕西省中考试题）

9．如图，已知A(8，2)，B(2，2)，E，F在AB上且∠EOA＝∠EAO，OF平分∠BOE．

（1）求∠FOA．

（2）若将A点向右平移，在平移过程中∠OAB:∠OEB的值是否发生变化？请说明理由．

．如图，智能机器猫从平面上的点出发，按下列规律走：由向东走到，再由向

10OO12cmA1A1

北走到，由向西走到，由向南走到，由向东走到，…，

24cmA2A236cmA3A318cmA4A460cmA5

问：智能机器猫到达点与点的距离是多少？

A6O

（“华罗庚金杯”数学竞赛试题）

11．中国象棋棋盘中蕴含这平面直角坐标系，如右图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规律

是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．

（1）如果“帅”位于点(0，0)，“相”位于点(4，2)，则“马”所在的点的坐标为，点C的

坐标为，点D的坐标为．

（2）若“马”的位置在C点，为了达到D点，请按“马”走的规律，在图中画出一种你认为合理

的行走路线，并用坐标表示．

（浙江省舟山市中考试题）

B级

1．点A(－3，2)关于原点的对称点为B，点B关于x轴的对称点为C，则点C的坐标为______.

（广西壮族自治区竞赛试题）

2．在平面直角坐标系中，已知A(3，－3)，点P是y轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P

共有

______个．

（内蒙古自治区包头市中考试题）

3．如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，且AB＝5，对△OAB连续作旋转变换，

依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______．

（浙江省嘉兴市中考试题）

3mx2y3

4．若关于x，y的方程组的解为坐标的点(x，y)在第二象限，则符合条件的实数m

x3my9

的范围是()．

111

A.mB.m2C.2mD．m9

992

（四川省竞赛试题）

5．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：

①f(a,b)(a,b)．如f(1,3)(1,3)；

②g(a,b)(b,a)．如g(1,3)(3,1)；

③h(a,b)(a,b)．如h(1,3)(1,3)．

按照以上变换由：f[g(2,3)]f(3,2)(3,2)，那么f[h(5,3)]等于()．

A.(－5，－3)B.(5，3)C.(5，－3)D．(－5，3)

（山东省济南市中考试题）

6．设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，△PQR的顶点坐标为P(0，3)，Q(4，0)，R(k，5)，

其中0k4，若该三角形的面积为8cm2，则k的值是()．

8131

A.1B.C.2D．E．

342

（澳洲数学竞赛试题）

7．如图，四边形ABCO各个顶点的坐标分别为(－2，8)，(－11，6)，(－14，0)，(0，0)．

（1）求这个四边形的面积．

（2）若把原来四边形ABCO各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增大a，则所得的四边形面积又是

多少？

8．如图，平面直角坐标系中A(－2，0)，B(2，－2)，线段AB交轴于点C．

（1）求点C的坐标．

（2）若D(6，0)，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位向左运动，同时，动点Q从C点开

始在轴上以每秒个单位向下运动．问：经过多少秒钟，？

y1SAPCSAOQ

．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在

9KP(xk,yk)

处，其中，当时，

x11,y11k2

k1k2

xkxk115([][])

55

k1k2

yy[][]

kk155

[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]2,[0.2]0，按此方案，求第2009棵树种植点的坐

标．

（浙江省杭州市中考试题）

10．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，现将点A向上平移2个单位，再向右

平移1个单位，得到点A的对应点B，点C的坐标为(3，2)．

（）判断与轴的位置关系，并求出△的面积．

1BCxABCSABC

1

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PC，使SS，若存在这样的点，求出点P

PBC2ABC

的坐标，若不存在，试说明理由．

（3）如图②所示，点D是线段AC上的一个动点，过D作DE⊥AC交x轴于点E，过E点作∠DEF

＝∠DEA交AC于F点，试求出∠ACB与∠1之间的数量关系，并证明你的结论．

专题13位置确定

——平面直角坐标系

2a3b8a2

例1（1）2提示：由题意知，解得，故a+b=(－

3a2b2b4

2)+4=2．

（2）6或－4提示：由题意知|1－x|=5，解得x=6或－4．

例2D提示：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点

的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P，Q的最短路径条数分别为2和3，以此类推，到达点

B的最短路径条数为35条．

例3如图：设G点坐标为（0，b），b>0，因为S长方形OABC－SΔGEC=SΔOGC+SΔAGE+SΔBEC，所以9a－

111320

20=9b3(ab)6a，解得ba．同理，由S长方形OABC－SΔGFB=SΔABG+SΔOGF+SΔBFC，得

22223

111320

9a169(ab)3b6a，解得3a=32－6b．把ba

22223

代入上式中，得3a=72－9a，解得a=6

例4（1）略（2）S四边形ABCD=44（3）①当点P在x轴上，

1

设P（x,0)．∴PB=|x－7|，∴S|x7|5=50．∴x=27或－

PBC2

13．∴P1（27，0），P2（－13，0）．②当P点在y轴上，延长CB交y轴于E点，

11

过点C作CF⊥y轴于F．设E（0，yE），S=（5-y)9,S7(y)，

CFE2EBOE2E

1

S梯形CFOB=(79)5．又S=SS梯形，解得

2CFEBOECFOB

353535

y．E(0,)，设P（0，y)，当P点在E点上方时，PE=y+，∴

E222

6535

SSS，解得y；当P点在E点下方时，PE=y，∴

PBCPECPEB22

13565135

SSS，解得y．综上：P1（27，0），P2（－13，0），P3（0，），P4（0，）

PBCPECPEB222

满足题意．

例5点P7与点P1重合，6个点构成一个循环，P2（1，－1），P7（1，1）．∵100=6×16+4，∴点P100

与点P4坐标相同，为（1，－3）．

例6（1）由平移知C（0，2），D（4，2）．S四边形ABCD=4×2=8．

11

（2）∵SΔPAB=S四边形ABDC=8，设OP=h，则SABh8．又AB=4，∵AB=4，4h8，解得

PAB22

h=4．故点P的坐标为（0，4）或（0，－4）．

DCPBOP

（3）∵CD∥AB，∴∠OPC=∠DCP+∠POB，的值为1．

CPO

A级

1．（－b，a)2．（4，2）3．（1，2）4．（14，8）提示：第一列1个点，第二列2个点，……，

(113)13

前13列一共91个点，第100个点位于第14列第9个点，坐标为（14，8）．

2

5．B6．C7．C8．D9．（1）∠FOA=22．50．（2）会变化．A点向右平移，∠OEB

不会发生变化，但∠OAB会变化．

10．依规律第6次由A5向北走72cm到A6，OP=12－36+60=36cm，PA6=24－48+72=48cm，

222222

OA6=OP+PA6=36+48=60，得OA6=60cm，即A6与O点的距离为60cm．

11．(1)(－3，0)（1，3）（3，1）（2）略

B级

1．（3，2）提示：由题意知，点B坐标为（3，－2），点B关于x轴的对称点C的坐标为（3，2）．

2．43．（36，0）提示：图形摆放形状每3个一循环，第10个图形与第1个图形摆放形状相同，

横坐标为（4+5+3）×3=36．

4．B5．B6．B7．两个四边形面积都为80

．（）由面积公式可知：（，－）．（）设经过秒后，．∴－，则

81C012tSAPCSADQPA=|83t|

111

S|83t|1，OQ=1+t，则S(1t)2.|83t|

APC2