初中数学自主招生难度讲义-7年级专题18 简单的不定方程、方程组

专题18简单的不定方程、方程组

阅读与思考

如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的

方程(组)称为不定方程(组)．

对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一

确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：

1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；

2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．

二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数

解．

解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、

因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并

灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．

例题与求解

【例1】满足19982m219972n2(0＜m＜n＜1998)的整数对(m，n)共有_______对．

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．

【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的

比票价为10元的多()．

A．20张B．15张C．10张D．5张

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x，y，z张．根据题意列方程组，整体求

出的z－x值．

【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前

三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家中的电话号码．

(湖北省武汉市竞赛试题)

解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．

【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一

粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?

(重庆市竞赛试题)

解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．

【例5】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每

人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?

(海峡两岸友谊赛试题)

解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．

【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开

走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．

问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

解题思路：设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，根据题意列出方程求解，注意

排除不符合题设条件的解．

能力训练

A级

5

1．若a24b2a4b0，则ab＝__________．

4

2x23y26z2

2．已知4x3y6z0，x2y7z0(xyz≠0)，则的值等于________．

x25y27z2

3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________岁．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知a，b，c为整数，且ab2006，ca2005．若a＜b，则abc的最大值为_____．

(全国初中数学竞赛试题)

5．x，y都是质数，则方程xy1999共有()．

A．1组解B．2组解C．3组解D．4组解

(北京市竞赛试题)

6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔

4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开

始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在

19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设

置这两种标志的地点的千米数

是()．

A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米

7．给出下列判断：

x3t

①不定方程2x3y0的整数解可表示为(t为整数)．

y2t

②不定方程2x4y5无整数解．

③不定方程2x3y1无整数解．

其中正确的判断是()．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，

面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了()枚邮票．

A．17B．18C．19D．20

(“五羊杯”邀请赛试题)

9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用

大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?

10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、

鸡雏各几何?

(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)

11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．

(“希望杯”邀请赛试题)

5x4y7

12．已知k是满足1910k2010的整数，并且使二元一次方程组有整数解．问：这样

4x5yk

的整数k有多少个？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

B级

2

1．如果a，b，c满足a22b22c22ab2bc6c90，那么abc＝__________．

(“祖冲之杯”邀请试题)

2．已知x，y为正偶数，且x2yxy296，则x2y2＝_________．

3．一个四位数与它的四个数字之和等于1991．这个四位数是__________．

(重庆市竞赛试题)

4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一

种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是3，6，9，14，18．现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是

金牌枚数的2倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，铜牌_____枚．

5．若正整数x，y满足x272y2，则这样的正整数对(x，y)的个数是()．

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、

乙10件、丙l件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需()元．

A．6元B．8元C．9元D．10元

xyz0

7．在方程组中，，，是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为()．

333xyz

xyz36

A．6B．3C．多于6D．少于3

(“希望杯”邀请赛试题)

8．一个两位数中间插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变

成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有()个．

A．1B．4C．10D．超过10

9．李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看

倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．50元之后，

发现其余款恰为支