初中数学自主招生难度讲义-7年级专题06有理数的计算（解析版）

专题06有理数的计算

阅读与思考

在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数

集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大

的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，

所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．

数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于

观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理

数的计算常用的技巧与方法有：

1．利用运算律．

2．以符代数．

3．裂项相消．

4．分解相约．

5．巧用公式等．

例题与求解

【例1】已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则

x3-(1+m+n+ab)x2+(m+n)x2001+(ab)2002的值等于______________．

（湖北省黄冈市竞赛试题）

解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．

【例2】已知整数a,b,c,d满足abcd25，且abcd，那么abcd等于

（）

A．0B．10C．2D．12

（江苏省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．

【例3】计算：

111

（1）1;

12123123100

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（2）772737471998；

（江苏省泰州市奥校竞赛试题）

151191411711

（3）123456789．

2612203042567290

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情

形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中

裂项相消，简化计算．

111111

【例4】m,n都是正整数，并且A(1)(1)(1)(1)(1)(1)，

2233mm

111111

B(1)(1)(1)(1)(1)(1)．

2233nn

m1n1

(1)证明：A，B；

2m2n

1

(2)若AB，求m和n的值．

26

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具

体分析求解．

11111

【例5】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），

22223242n

设计了如图①，所示的几何图形．

11111

（1）请你用这个几何图形求的值．

22223242n

11111

（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．

22223242n

（辽宁省大连市中考试题）

解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．

SSS

【例6】记，令T12n称T为a,a,a这列数的“理想数”，已知

nnn12n

的“理想数”为2004．求的“理想数”．

a1,a2,a5008,a1,a2,a500

（安徽省中考试题）

1

解题思路：根据题意可以理解为S为各项和，T为各项和的和乘以．

nnn

能力训练

A级

1．若x,y互为相反数，m,n互为倒数．a=1，a2(xy)2011(mn)2012的值为

____________．

（湖北省武汉市调考试题）

1(1)32

2．若M(1)22，则M=___________．

2(1)1

（“希望杯”邀请赛试题）

1111

3．计算：（1）＝________________；

35577919971999

4341

（2）0.258226＝__________________．

32

1111

4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次

2345

1

类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．

1997

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，

2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．

（湖北省仙桃市中考试题）

bc-ac

6．如果有理数a,b,c满足关系式ab0c，那么代数式的值（）

ab2c3

A．必为正数B．必为负数C．可正可负D．可能为0

（江苏省竞赛试题）

x-yy-zz-x

7．已知有理数x,y,z两两不相等，则，，中负数的个数是（）

y-zz-xx-y

A．1个B．2个C．3个D．0个或2个

（重庆市竞赛试题）

1898a2+99b2

8．若a与(-b)互为相反数，则＝（）

1997ab

A．0B．1C．－1D．1997

（重庆市竞赛试题）

9．如果(a+b)2001=-1，(a-b)2002=1，则a2003+b2003的值是（）

A．2B．1C．0D．-1

（“希望杯”邀请赛试题）

10．若a,b,c,d是互为不相等的整数，且abcd=9，则a+b+c+d等于（）

A．0B．4C．8D．无法确定

11

11．把1，3.7，6，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三

52

个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能

小，并求这个数．

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

abcabc

12．已知a,b,c都不等于零，且+++的最大值为m，最小值为n，求

abcabc

1998(m+n+1)的值．

B级

1131351397

1．计算：+(+)+(++)+•••+(++•••+)＝________________．

244666989898

（“五羊杯”竞赛试题）

2．计算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210＝________________．

（“希望杯”邀请赛试题）

1×2×4+2×4×8+•••+n•2n•4n

3．计算：()2＝____________________．

1×3×9+2×6×18+•••+n•3n•9n

4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020

年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是

让一切人学会学习”．

已知2000年底，人类知识总量a，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009

年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．

（1）2009年底人类知识总量是：__________________；

（2）2019年底人类知识总量是：__________________；

（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．

（北京市顺义区中考试题）

5．你能比较20012002和20022001的大小吗？

为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn+1与(n+1)n的大小（n是

自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论

（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）

①12__21，②23__32；③34__43；④45__54；⑤56__65••••••

（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出nn+1与(n+1)n的大小关系是

_____________________________________________________________________________；

（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20012002_____20022001：．

（福建省龙岩市中考试题）

6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第

一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（）

A．－2B．－1C．0D．2

（全国初中数学竞赛海南省试题）

tttt1t2t3

7．如果1+2+3=1，那么的值为（）

t1t2t3t1t2t3

A．－1B．1C．±1D．不确定

（河北省竞赛试题）

8．三进位制数201可用十进制数表示为2×32+0×31+1=2×9+0+1=19；二进制数1011

可用十进制法表示为1×23+0×22+1×21+1=8+0+2+1=11．前者按3的幂降幂排列，

后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a与b的大

小关系为（）．

A．a>bB．a=bC．a<bD．不能确定

（重庆市竞赛试题）

9．如果有理数a,b,c,d满足a+b>c+d，则（）

A．a-1+b+1>c+dB．a2+b2>c2+d2

C．a3+b3>c3+d3D．a4+b4>c4+d4

（“希望杯”邀请赛试题）

10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个

1998个有理数的和为（）

999997998999

A．B．C．D．

1997199719981998

（《学习报》公开赛试题）

1

11．观测下列各式：13=1=×12×22，

4

1

13+23=9=×22×32，

4

1

13+23+33=36=×32×42

4

1

13+23+33+43=100=×42×52

4

．．．

回答下面的问题：

（1）猜想13+23+33+•••+(n-1)3+n3＝______________．（直接写出你的结果）

（2）利用你得到的（1）中的结论，计算13+23+33+•••+993+1003的值．

（3）计算①113+123+•••+993+1003的值；

②23+43+63+•••+983+1003的值．

专题06有理数的计算

例128或-26

例2D提示：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.

20011211

例3（1）提示：==2.

101123nn(n1)nn1nn1

2

719997

（2）提示：设s=7727371998，则7s=7727371999

6

（3）原式

1111111

=1335577+

261220304256

11

99

7290

11111111119

=1+1-=2-=1

22334899101010

111111

例4（1）A=111111

23m23m

12m134m1m1

==

23m23m2m

n1

同理B=

2n

m1n1111111

由A-B=-==得

2m2n2m2n26mn13

13n1313

∴m==13-，又∵m，n均为正整数，∴13+n为13×13的因数，∴13+n=132

13n13n

∴n156，m=12.

1

例5（1）原式=1-，（2）

2n

1

例6由题意知Taaaaaaaaa，即

nn11212312n

1

Tnan1an3a2aa.又

nn123n1n

1

T500a499a498a2aa

500500123499500

∴4×500.

500a1499a2498a32a499a500=200

故，，，…，的“理想数“为

8a1a2a500

1

T5018500a499a498a2aa””

501501123499500

1

=50182004500=2008.

501

A级

2012

1.2提示：原式=12020112=1+1=2.

12

2.2提示：M-1+2，解得M=2.

21

998

3.（1）；（2）-8

5997

4.1提示：设a=1997，由题意原式

aa1aa1aaaa

=aa=a

22326421324319971996

5.-136.B7.B提示：不妨设x>y>z.

8.B9.D10.A

11.

提示：设○内从右到左填的数分别为，，，，则△内填的数为