初中数学自主招生难度讲义-7年级专题25图形面积的计算（解析版）

专题25图形面积的计算

阅读与思考

计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型：

1.常见图形面积的计算

由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解.

2.非常规图形面积的计算

非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规

图形面积的和或差来表示.

计算图形的面积还常常用到以下知识：

（1）等底等高的两个三角形面积相等.

（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比.

（3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比.

（4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积.

（5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积.

（6）平行四边形的对角线平分它的面积.

熟悉如下基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在直角△ABC的两直角边AC，BC上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，

连接GW，若AC=14，BC=28，则S△AGW=______________．

(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)

解题思路：△AGW的面积可以看做△AGF和△GWF的面积之差.

【例2】如图，已知△ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且

BC=4CF.四边形BDCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()

A．3B．4C．5D．6

（2013年全国初中数学竞赛广东试题）

解题思路：设△ABC底边BC上的高为h.本例关键是通过适当变形找出h和DE之间的关系．

【例3】如图，平行四边形ABCD的面积为30cm2，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F

点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm2，AD=5cm，求DE长.

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE及

其它线段表示．

【例4】如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80cm，CE=60

cm，DE=40cm，AE=30cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？

（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）

解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的

突破口.

【例5】如图，△ABC的面积为1，D，E为BC的三等分点，F，G为CA的三等分点，求四边形

PECF的面积.

解题思路：连CP，设S△PFC=x，S△PEC=y，建立x，y的二元一次方程组.

【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段

DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．

（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）

解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积.

能力训练

A级

1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，

则阴影部分面积是______.

（海南省竞赛试题）

2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，

则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧

所围成的阴影部分的面积是____________.

（安徽省中考试题）

4.如图，已知AB，CD分别为梯形ABCD的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB

的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD的面积是_________平方厘米.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

1

5.如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则长方形ABCD

3

的面积是阴影部分面积的()倍.

A.2B.3C.4D.5

6.如图，是一个长为a，宽为b的长方形，两个阴影图形都是一对长为c的底边在长方形对边上的

平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为().

A.ab(ab)cB.ab(ab)cC.(ac)(bc)D.(ac)(bc)

7．如图，线段AB=CD=10cm，BC和DA是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD的面积是

1

以D为圆心、DC为半径的圆面积的，则阴影部分的面积是()．

4

A．25πB.100C.50πD.200

（“五羊杯”竞赛试题）

8．如图，一个大长方形被两条线段AB、CD中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面

积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为()．

971015

A.B.C.D．

2238

9．如图，长方形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的任一点，△ABG，△DCH的面积分别为

15和20，求阴影部分的面积.

（五城市联赛试题）

10.如图，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已

知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积．

（广西壮族自治区省南宁市中考试题）

B级

1.如果图中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为_____________.

（江苏省竞赛试题）

2.如图，在长方形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的一点，若三角形ABE的面积是长方

12

形ABCD面积的，三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的，三角形CEF的面积为4cm2，那么

35

长方形ABCD的面积是_________cm2.

（北京市“迎春杯”邀请赛试题）

3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点

为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.

（“希望杯”邀请赛试题）

4.如图，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.

(“五羊杯”竞赛试题）

1

5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的的小等边三角形，称为一次

3

“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积

是原三角形面积的______倍.

(“五羊杯”竞赛试题）

11

6.如图，在长方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一条直线上，则阴影部分

23

的面积等于().

A.8B.12C.16D．20

7.如图，边长分别为8cm和6cm的两个正方形，ABCD与BEFG并排放在一起，连接EG并延长交

AC于K，则△AKE的面积是().

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2

（2013年“希望杯”邀请赛试题）

8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有

S1

小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的

S2

整数部分是().

A.0B.1C.2D．3

（全国初中数学联赛试题）

9.如图，△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，

S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是().

A.25B.30C.35D．40

10.已知O（0，0），A（2，2），B（1，a），求a为何值时，S△ABO=5？

11.如图，已知正方形ABCD的面积为1，M为AB的中点，求图中阴影部分的面积.

（湖北省武汉市竞赛试题）

DCEAFB1△GHI的面积

12.如图，△ABC中，.求的值.

DBECFA2△ABC的面积

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

专题25图形面积的计算

例1196提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.

111

�△𝐴�=�△𝐴�−�△���=222

例2D提示：设ABC底边上的高为h，则×BC×h=24故h====.设ABC底边DE上的高

148481212

△2𝐵4����𝐷△

为，BDE底边DE上的高为，则h=.∴=+=（+）

111

ℎ1△ℎ2ℎ1+ℎ2�△�𝐷+�△�𝐷2∙𝐷∙ℎ12∙𝐷∙ℎ22∙𝐷∙ℎ1ℎ2

===6.

1112

2∙𝐷∙ℎ2∙𝐷∙𝐷

例提示：设的边上的高为，长为，则，解得

32cm.ABEAEhcmDExcm1DE=2.

5ℎ−2ℎ5+�=9

△

5S丙CES丙BES丁DE1S丁AE1

例4提示：2,2,,5ℎ=30.

4S甲EAS乙EDS甲BE2S乙EC2

1111

例5SS，SS.设S=x，S=y则S=3x，S=3y

AEC3ABC3BGF3ABC3PECPFCPBCPCA

1

x3y

32

于是①+②，得（4xy），

13

3xy

3

11

∴xy，即S=.

6PECF6

a

例6设S=a，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以SS.

ABCDADEABF4

a

aaEP81

∴SS四边形.如图，连接EF,DF，则S=，S=.所以=.

APDBEPFAEF8ADF2PDa4

2

aaaa

设Sx，则S=4x.由SS四边形得x=4x.∴x=.∴S4=.

AEPADPAPDBEPF420APD205

aaa3

连接AC，又∵AQ∥PC，SS，∴SS.∴S=a.连接PB，则

APQACQACQADQ5CDQ2510

a1aaa3aa

SS=.由SS=a，得SSS.∴

EBPAEP20ABPCDP2CPQ2ABPCDQ2101010

a

PQSCPQ1PQ11aaa3a

10=，从而=，SS=.于是S=SS=.∴

3aAPQAPD梯形APCQAPQCPQ

DQSCDQ3PD4420201020

10

S梯形APCQ3

=.

SABCD20

A级

11

1.提示：SS,S阴影S正方形.

4POCAOE4ABCD

2.48.

2a2

3.

2

4.15.625.

5.B.

6.C.

7.B.

8.C.

提示连接，

9.35:EFSEGFSABG,SEFHSDHC.

10.解法一：将DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE交PK的延长线于点H.设正

方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a，b.则

△

SDEKS正方形ABCDS正方形BEFGS矩形EHPFSADESCDGSPKGSFHK

1111

=a2424baa4aa-4bb4b4-b

2222

1111

=a2164ba22aa22ab22b2b+b2

2222

=16.

解法二：运用等积变形转化问题，连接则∠∠∴∥得，

DB,GE,FK.DBA=GEB=45°,DBGE,SGEDSGEB

同理∥，得

GEFKSGEKSGEF.

∴

SDEKSGEDSGEKSGEBSGEFS正方形BEFG16.

B级

1.12a23a2（或2.58a2）.

11

2.120提示：设AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d，c=b，d=a，cd=8.

25

3.18.75（≈3）.

4.8.5提示：连HD.

124142

5.48提示：“生长”n次后得到34n边形，面积为原面积的倍.

8193n1

6.B.

7.B提示：过点K作KH⊥AB.∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴

111

KH=AE=7.SAEKH14749.

2AKE22

1

8.B提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的部分即可.

4

9.B.

⑴当＞时，即在上方时，如图，∴

10.a1BOA.SAOBSCBOS梯形BCDASAOD

111

51aa22122，解得a=6.

222

111

⑵当0≦a＜1时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有221a-a21=5，解得a=-4

222

（不合题意，舍去）.

111

⑶当a＜0时，即B在x轴下方时，有122a221a=5，解得a=-4.

222

综上所述，当或时，

a=-4a=6SABO5.

1

11.SS.∵S为公共部分,∴SS.又因为AMG与AMD的高的高相等

AMDAMC4AMGAGDCMG

△△