初中数学自主招生难度讲义-7年级专题29归纳与猜想（解析版）

专题29归纳与猜想

阅读与思考

当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简

单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种

研究问题的方法叫归纳猜想法.

归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解

题中的观察活动主要有三条途径：

1．数与式的特征观察．

2．几何图形的结构观察．

3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.

需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败

的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．

【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数

字是___________.

（“东方航空杯”上海市竞赛试题）

(A)(B)(C)

解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。

【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各

边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是

____．

（湖北省武汉市竞赛试题）

解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n＝1，2，3，4时的简单情形，进而作出猜想．

【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆

时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)“17”在射线____上．

(2)请任意写出三条射线上数字的排列规律．

(3)“2007”在哪条射线上？

（贵州省贵阳市中考试题）

解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同．

【例4】观察按下列规则排成的一列数：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…(※)

1213214321543216

2

(1)在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝时，求m的值和这m个数的积．

2001

(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c．它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c

和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由．

（湖北省竞赛试题）

解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的

关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键，

2＋32＋57

【例5】在2,3两个数之间，第一次写上＝5，第二次在2.5之间和5，3之间分别写上＝和

122

5＋3

＝4，如图所示：

2

1

第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的．

k

(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和．

(2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk，第k＋1次操作后所有数的和记为

Sk＋1，写出Sk＋1与Sk之间的关系式．

(3)求S6的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9个数，再把它们相加即可．

(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的

n－2个数均重复计算了2次，用Sk表示出Sk＋1

(3)根据(1)，(2)可算出S6的值．

能力训练

1．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，则第100组的三个数之和为．

（广东省广州市竞赛试题）

2．如图有一长条型链子，其外形由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个

白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形，则此链子有________个白色六边形．

（01年“实中杯”数学竞赛试题）

23

3．按一定规律排列的一串数：

112312345123

．－，，－，，－，，－，，－，，－，…中，第98个数是__________.

133355555777

（山东省竞赛试题）

4．给出下列丽列数

2，4，6，8，10,…，1994

6，13,20,27,34,…，1994

则这两列数中，相同的数的个数是()．

A．142B．143C．284

（浙江省竞赛试题）

5．如图，∠AOB＝45°，对OA上到点Ｏ的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线

且与OB相交，得到并标出一组黑色梯

形，面积分别为S1，S2，S3，…，则S10＝.

6．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为

ｎ部分，则n等于()

A．16B．18Ｃ．24D．31

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

7．观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律．那么2013这个数标在()．

A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角

C．第504个正方形的左下角D．第504个正方形的右下角

（01年江省衢江市竞赛试题）

23浙

8．自然数按下表的规律排列：

(1)求上起第10行，左起第13列的数．

(2)数127应在上起第几行，左起第几列．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两

个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要

画多少条直线？请说明理由．

（“五羊杯”竞赛试题）

11.下面是按一定规律排列的一列数：

1－1

第1个数：－(1＋)；

22

111213

第2个数：111；

3234

1112131415

第3个数：11111；

423456

…

11121312n1

第n个数：1111．

n12342n

那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是哪一个？

12.有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之

差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操

作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8

开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？

专题29归纳与猜想

例16提示：5的对面是2，4的对面是3，1的对面是6．

1111111

例2提示：S＝1，S＝，S＝，S＝，进而推出S＝．

2n112234224823n2n1

例3（1）OE

（2）射线OA上数字的排列规律：6n－5（n为自然数，下同）；射线OB上数字的排列规律：6n

－4；射线OC上数字的排列规律：6n－3；射线OD上数字的排列规律：6n－2；射线OE上数字的

排列规律：6n－1；射线OF上数字的排列规律：6n．

（3）在6条射线的数字规律中，只有6n－3＝2007有整数解，解围n＝335，故“2007”在射线OC

上．

112123123412345

例4（1）可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，）…，

121321432154321

2

可知各组数的个数依次为1，2，3，…．当F（m）＝时，m＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，

2001

1

这2003003个数的积为．

2003001

117177

例5（1）第3次操作后所得到的9个数为：2，，，，5，3，4，，3．

6263

11717755

它们的和为2＋＋＋＋5＋3＋4＋＋3＝．

62632

2SSk3S5k35

（2）由条件知S＝5，则S＝S＋k0＝k＝S－．

0k1kk1k1k1kk1

55657585145

（3）因S＝．故S＝S－＝40；S＝S－＝55，S＝S－＝．

324434554566562

【能力训练】

1．1010100

2．142提示：若有n个黑色六边形，则白色六边形个数为4n＋2．故＝35时，4n＋2＝4×35＝142

个．

17

3．4．B

19

5．76黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为2，上底分别对OA上的1，5，9，…，下底分别对应

OA上的3，7，11，…．而上、下底的长度恰好和它在OA上对应的数值是一样的．以上底为例，1

＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，…，故第10个梯形的上底对应OA上的数为1＋4×9＝37，下底

37392

的长正好为39，于是S＝＝76．

102

6．A

7．D提示：2013÷4＝503……1，故在第504个正方形右下角．

8．（1）第1列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方．第10行起，左起第13

2

列，应该是第13列的第10个数，即131＋10＝144＋10＝154．

2

（2）数127满足关系式127＝112＋6＝121＋6，即127在左起第12列，上起第6行的位置．

9．观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前100项中，第100项是奇数，前99

99

项中有＝33个偶数．

3

10．设至少要画k条直线．k条直线最多将圆分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋k块，当k＝9时，1＋1＋2＋3

＋…＋9＝46，当k＝10时，1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，故至少要画10条直线，可以将圆纸片分成

不小于50块．

11．若对前三个先进行计算：

1111

第1个数：－（1＋）＝－＝0；

2222

111212111

第2个数：－（1＋）[1＋][1＋]＝－＝－；

3234326

1112121212111

第3个数：－（1＋）[1＋][1＋][1＋][1＋]＝－＝－；

4