初中数学自主招生难度讲义-9年级专题12三角函数

专题12三角函数

阅读与思考

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题

时应注意以下两点：

1．理解同角三角函数间的关系．

（1）平方关系：sin2cos21；

sincos

（2）商数关系：tan，cot；

cossin

（3）倒数关系：tancot1．

2．善于解直角三角形．

从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，

关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许

多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：

例题与求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19921993，则sinAcosC．

（河北省竞赛试题）

解题思路：通过计算，寻找BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函

数的定义解题．

【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的长．（精确到1m，31.732）

解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A，所以连结AC不

行．延长AD和BC交于一点E（如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；

或过点D作矩形ABEF（如图2）来求解．

【例3】如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重

1

合，折痕为MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．

3

（1）求△ANE的面积；

（2）求sinENB的值．

1

解题思路：将tanAEN与DC＋CE＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平

3

道路．

【例4】如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出

发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上

的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．

（1）选择：两船相遇之处E点（）

A．在线段AB上

B．在线段BC上

C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

（南京市中考试题）

解题思路：对于（2），过D作DF⊥CB于F，设DE=x，建立关于x的方程．

【例5】若直角三角形的两个锐角A，B的正弦是方程x2pxq0的两个根．

（1）那么，实数p，q应满足哪些条件？

（2）如果p，q满足这些条件，方程x2pxq0的两个根是否等于直角三角形的两个锐角

A，B的正弦？

（江苏省竞赛试题）

解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一

元二次方程，三角函数的知识与方法．

【例6】设a，b，c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3．求证：anbncn．

（福建省竞赛试题）

解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、

余弦的有界性来证明．

能力训练

A级

3

1．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，sinCBD，则AE

4

＝．

2．已知00900，则y54sinsin的最大值是，最小值是．

（上海市理科实验班招生考试试题）

3．如图，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D为BC边上的一点，tanADC是方

11

程3(x2)5(x)2的一个较大的根，则CD＝．

x2x

4．已知△ABC的两边长a＝3，c＝5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x24xm0的两

个正整数根之一，则sinA的值为．（哈尔滨中考试题）

5．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在

她家北偏东600距离500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）

500

A．250mB．2503mC．3mD．2502m

3

6．如图，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中点，则cotDBC的值是（）

33

A．3B．23C．D．

24

（大连市中考试题）

7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航

行．半小时后到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是

（）（黄冈市中考试题）

A．72海里B．142海里C．7海里D．14海里

8．如图，四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，则BC＋CD等于（）

A．63B．53C．43D．33

9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB与支架CD所在直线

相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一

根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．

（1）求垂直支架CD的长度（结果保留根号）；

（2）求水箱半径OD的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：21.41,31.73）．

（扬州市中考试题）

111

10．若为锐角，求证：4．

sincossincos

（宁波市竞赛试题）

11．如图，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的长．

（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于点D，CD＝1．若AD，BD的长是关于x的方程

x2pxq0的两根，且tanAtanB2，求p，q的值并解此二次方程．

B级

1

1．若00300，且sinkm（k为常数，k＜0），则m的取值范围是．

3

37

2．设00450，sincos，则sin．（武汉市选拔赛试题）

16

5

3．已知在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且sinA,tanB2，AB＝29cm，则△ABC的面积

13

等于．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

4．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，

则有tanABM．（全国初中数学联赛试题）

ABAC

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，则的值为（）

CDCD

3

A．3B．C．33D．623

3

（湖北省选拔赛试题）

6．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝450，

则tanAEB的值等于（）（天津市竞赛试题）

35

A．B．2C．D．3

22

AD

7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，则＝（）

DC

32

A．B．C．21D．31

32

（山东省竞赛试题）

8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼

梯AD，BE和一段水平天台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8米，引桥水平跨度AC＝8米．

（1）求水平天台DE的长度；

（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．（参考数据：

取sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）（长沙市中考试题）

9．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53．若关于x的方程

(53b)x22ax(53b)0有两个相等的实根，又方程2x2(10sinA)x5sinA0

的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

（武汉市中考试题）

10．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG

与CFH都是锐角．已知EGk,FHl,四边形EFGH的面积为S．

2S

（1）求证：sin；

kl

（2）试用k,l,S来表示正方形ABCD的面积．

（全国初中数学联赛试题）

4

11．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝900，BC＝CD＝10，sinC．

5

(1)求梯形ABCD的面积；

（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D

运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF，求△EFC面积的最大值，并说明此

时E，F的位置．

（济宁市中考试题）

12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的

夹角为300，此时，求：

（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？

（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？

（山东省竞赛试题）

专题12三角函数

例1AC2－BC2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB2，∴AC2＝AB2＋BC2，得∠B＝90°，故

1992

原式＝()2.

1993

例2AD＝227m，BC＝146m.解法一:延长AD，BC交于点E，如图1.在Rt△ABE

AB200

中，AB＝200m，∠A＝60°，∴BE＝AB·tanA＝2003(m)，AE＝＝＝

cos60°0.5

400(m).在Rt△CDE中，CD＝100m.∠E＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝

DE

200(m.∵cot∠E＝，DE＝CD·cot30°＝1003(m)，∴AD

CD

＝AE－DE＝400－1003≈227(m)，BC＝BE－CE＝2003－200≈146(m).解法二:如图

2，过点D作矩形ABEF.设AD＝x.在Rt△AFD中，∠DAF＝90°－60°＝30°，∴DF＝

1131

AD＝x，AF＝x，在Rt△CED中，∠CDE＝30°，∴CE＝CD＝50(m)，DE＝

2222

31

CD＝503(m)，∵DE＋DF＝AB.∴503＋x＝200，解得x＝400－1003.∴AD＝400－

22

3

1003≈227(m).∵BC＋CE＝AF，∴BC＝AF－CE＝(400－1003)－50＝2003－200≈146(m).

2

103EB

例3⑴⑵提示：tan∠AEN＝tan∠EAB＝.

35AB

例4⑴设DE＝x(海里)，则客轮从A点出发到相遇之处E点的距离为2x海里.若2x<200，则x<100，

1

即DE<AB，而从D点出发，货轮到相遇点E处的最短距离是100海里，所以x≥100，

2

即2x≥200，故相遇处E点应在CB上，选B.⑵设货轮从出发点D到两船相遇处E共

航行了x海里，如图，过D作DF⊥CB于F，连DE，则DE＝x，AB＋BE＝2x，DF＝

1006

100，EF＝300－2x，由x2＝1002＋(300－2x)2，得x＝200－(海里).

3

例5⑴p，q应满足以下条件：

2

△＝p－4q≥0

sinA＋sinB＝－pp<0

sinA·sinB＝q1

.由此推得0<q≤,⑵先设方程x2＋px＋q＝0的两个根为α，β，若α，β满足

0＜sinA＜12

2－＝

0＜sinB＜1p2q1

sin2A＋cos2A＝1

p2－4q≥0①

0＜α＜1，0＜β＜1②，则α，β必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若α，β不满足条件①②③式中任何

22

α＋β＝1③

一个，则结论是否定的.

ab

例6设α为直角三角形一锐角，则sinα＝，cosα＝.∵0<sinα<1，0<cosα<1∴当n≥3时，sinnα<sin2α，

cc

ab

cosnα<cos2α，于是sinnα＋cosnα<sin2α＋cos2α＝1，即()n＋()n<1，故an＋bn<cn.

cc

43－2111

A级1.92.51提示：用换元法.3.4.5.A6.B7.A8.B9.⑴在

36

DC

Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76.∵sin∠CED＝，∴DC＝DE·sin∠CED＝383(厘米).故垂直支架

DE

CD的长度为383厘米.

⑵设水箱半径OD＝x厘米，则OC＝(383＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米.∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，

∴AO＝2OC，即150＋x＝2(383＋x），解得x＝150－763≈18.52≈18.5(厘米).故水箱半径OD的长度为

18.5厘米.

1111－sinα1－cosα1－2sinαcosα

10.(－1)＋(－1)＋(－2)＝＋＋，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于

sinαcosαsinαcosαsinαcosαsinαcosα

1－sinα1－cosα(sinα－cosα)2111

是有1－sinα>0,1－cosα>0,∴＋＋>0，即＋＋>4.

sinαcosαsinαcosαsinαcosαsinαcosα

x21

11.过C作CE∥AB交BD于E，设AC＝x，则CB＝x21，CE＝BC·tan∠CBE＝.由△DCE

3

CDCE1x21

∽△DAB，得，即，化简得（x＋2）（x3－2）＝0，解得x＝32，即AC＝32.

ADABx13

CDCDCD

12.P＝－22，q＝1，x1,2＝21.提示：tanA－tanB＝(BDAD).

ADBDADBD

B级

1171

1.m2.3.145cm24.提示：延长MN交BC的延长线于T，设MB的

6k3k43

中点为O，连接TO，则△BAM∽△TOB.5.B6.D7.D

8.（1）如图，延长线段BE，与AC相交于点F，∴DE＝AF，∠BFC＝∠A＝37°.在Rt△BCF中，tan

BFBC4.8

∠BFC＝，∴CF＝6.4（米），∴DE＝AF＝AC－CF＝8－6.4＝1.6（米）.故水平

CFtan370.75

平台DE的长度为1.6米.（2）延长线段DE，交BC于点G.∵DG∥AC，∴∠BGM＝∠C＝90°，∴

四