初中数学自主招生难度讲义-9年级专题04 根与系数关系

专题04根与系数关系

阅读与思考

根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定

理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：

1．求方程中字母系数的值或取值范围；

2．求代数式的值；

3．结合根的判别式，判断根的符号特征；

4．构造一元二次方程；

5．证明代数等式、不等式．

当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找

到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，

需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的

关系解题时，必须满足判别式△≥0．

例题与求解

【例1】设关于x的二次方程(m24)x2(2m1)x10(其中m为实数)的两个实数根的倒数和为

s，则s的取值范围是_________.

【例2】如果方程(x1)(x22xm)0的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m的取

值范围是_________.

333

A．0m1B．mC．m1D．m1

444

2

【例3】已知，是方程x27x80的两根，且．不解方程，求32的值．

st4s1

【例4】设实数s,t分别满足19s299s10,t299t190并且st1，求的值．

t

b1a1

【例5】（1）若实数a,b满足a258a，b258b，求代数式的值；

a1b1

3x2yza

（2）关于x,y,z的方程组有实数解(x,y,z)，求正实数a的最小值；

xy2yz3zx6

（3）已知x,y均为实数，且满足xyxy17，x2yxy266，求x4x3yx2y2xy3y4的

值．

【例6】a,b,c为实数，ac0，且2a3b5c0，证明一元二次方程ax2bxc0有大于

3

而小于1的根．

5

能力训练

A级

1．已知m，n为有理数，且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn=．

2．已知关于x的方程x23xm0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为．

3．当m=时，关于x的方程8x2(2m2m6)x2m10的两根互为相反数；

当时，关于x的方程x22mxm240的两根都是正数；当时，关于m

的方程3x22xm80有两个大于2的根．

4．对于一切不小于2的自然数n．关于x的一元二次方程x2(n2)x2n20的两根记为

111

则．

an,bn(n2)

(a22)(b22)(a32)(b32)(a20072)(b20072)

5．设是方程22的两个实根，且，则的值为（）

x1,x2x2(k1)x(k2)0(x11)(x21)8k

1

A．3或1B．3C．1D．k的一切实数

2

．设是关于的一元二次方程2的两个实数根，且，则

6x1,x2xxxn2mxx10,x23x10

（）

m1m1m1m1

A．B．C．D．

n2n2n2n2

．设是方程2的两个不等的实数根，则22是（）

7x1,x2x2xk0x1x22

A．正数B．零C．负数D．不大于零的数

8．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程

x2(2m1)xm230的根，那么m的值是（）

A．3B．5C．5或3D．5或3

m2

9．已知关于x的方程：x2(m2)x0．

4

（1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；

（）若这个方程的两个根是，且满足求的值及相应的．

2x1,x2x2x12,mx1,x2

．已知是关于的一元二次方程2的两个不相等的实数根．

10x1,x2xkx4x30

（1）求k的取值范围；

3

（2）是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理

k2x12x22k

x1x2

由．

11．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，过C点作CD⊥AB于D，设AD＝m，BD＝n，且AC2：BC2

1

＝2：1；又关于x的方程x22(n1)xm2120两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．

4

12．已知m,n是正整数，关于x的方程x2mnx(mn)0有正整数解，求m,n的值．

B级

．设，是二次方程2的两根，则32．

1x1x2xx30x14x219=

a

2．已知ab1，且有5a21995a80及8b21995b50则．

b

．已知关于的一元二次方程2的两个实数根是，且22，则

3xx6xk10x1,x2x1x224

k．

．已知是关于的一元二次方程2的两个实数根，则的最大

4x1,x2xxaxa2(x12x2)(x22x1)

值为．

5．如果方程x2px10（p＞0）的两根之差为1，那么p等于（）

A．2B．4C．3D．5

．已知关于的一元二次方程2的两个实数根分别是，且22，则

6xxmx2m10x1,x2x1x27

2的值是

(x1x2)()

A．1B．12C．13D．25

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x

的方程x27xc70的两根，那么AB边上的中线长是()

35

A．B．C．5D．2

22

11

8．设a213a，b213b且ab，则代数式的值为（）

a2b2

A．5B．7C．9D．11

9．已知a,b为整数，ab，且方程3x23(ab)x4ab0的两个根,满足关系式

(1)(1)(1)(1)．试求所有整数点对(a,b)．

10．若方程x23x10的两根,也是方程x6px2q0的两根，其中p,q均为整数，求p,q的

值．

11.设a,b是