初中数学自主招生难度讲义-9年级专题17直角三角形中的比例线段

专题17直角三角形中的比例线段

阅读与思考

借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论．

如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC于D，则

A

1．图中角的关系：∠B=∠DAC，∠C=∠DAB；

2．同一三角形中三边平方关系：

AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2；BC2=AB2+AC2．

3．三角形之间的关系：BDC

△ABD∽△CAD∽△CBA，由此得出的线段之间的关系：

AD2=BD•DC，AB2=BD•BC，AC2=CD•BC．

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明

中应用极为广泛，其特点是：

①一线段是两个三角形的公共边；

②另两条线段在同一直线上．

例题与求解

【例1】如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE⊥CB于E．若BE=6，CE=4，则AD=________．

（上海市竞赛试题）

解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD．

CC

E

ADBADB

例1题图例2题图

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB，下列结论：

AC2AD

①CD•AB=AC•BC；②；

BC2BD

111

③；④AC+BC>CD+AB．

AC2BC2CD2

其中正确的个数是()

A．4个B．3个C．2个D．1个

（江苏省竞赛试题）

解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．

【例3】如图，在等腰Rt△ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF

⊥BE，求△CEF的面积．（全国初中数学联赛试题）

1

解题思想：欲求△EFC的面积，由于EC=，只需求出△EFC中EC边上的高，或求出EC边上的

2

高与EC的关系．

A

E

B

FC

本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．

【例4】如图，直线OB是一次函数y2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找一点C，使

△ACO为等腰三角形，求点C的坐标．

（江苏省竞赛试题）

解题思想：注意分类讨论．

y

B

A

Ox

能力训练

A级

1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=900，AC=6，AD=2，当AB=_______时，这两

个直角三角形相似．

AC

E

FAD

D

EG

B

BCADBC

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

2．如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB于点D，∠A的平分线AF交CD于E，过E引EG∥AB交BC

于G，若CE=3，则BG的长为____________．（上海市竞赛试题）

3．如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，BD=20，EA=10，则AB=_________________．

（“五羊杯”竞赛试题）

4．如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯

足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）

A．xyB．xyC．xyD．不确定

（江苏省竞赛试题）

AAD

E

BBC

C

（第5题图）

（第4题图）

5．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=3，AE⊥BD于E，则EC等于（）

751521

A．B．C．D．

2222

6．在△ABC中，AD是高，且AD2BDCD，那么∠BAC的度数是（）

A．小于900B．等于900C．大于900D．不确定

（全国初中数学联赛试题）

7．如图，在△ABC中，已知∠C=900，AD是∠CAB的角平分线，点E在AB上，DE∥CA，CD=12，

BD=15，求AE，BE的长．

（上海市中考试题）

C

D

AEB

（第7题图）

8．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，求证：

AG2=AF·FC．

（西安市中考试题）

E

DC

GF

AB

（第8题图）

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，D，E，F分别为垂足，求

证：CD3=AB·AE·BF．

(四川省中考试题)

C

F

E

ADB

（第9题图）

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于点E，

CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB=45．

⑴求证：CE=EF；⑵求EG的长．（河南省中考试题）

C

D

E

AFGB

（第10题图）

11．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=k·AC，CD⊥AB于点D，点P为AB边上一动点，

PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．

C

E

CE

⑴当k=2时，则=_____________；

BFF

EF

⑵当k=3时，连结EF，DF，求的值；ADPB

DF

（第11题图）

EF23

⑶当k=___________时，（直接写出结果，不需证明）．

DF3

B级

1．如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC，P为AD的中点，BP交AC于E，EF⊥BC于F，

AE=3，EC=12，则EF=___________．

（黄冈市竞赛试题）

C

A

E

D

BDFC

AB

（第1题图）（第2题图）

2．如图，在Rt△ABC中，两条直角边AB，AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线

的长度等于______厘米．

（全国初中数学联赛试题）

3．如图，EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则AH：AE=______．

（上海市竞赛试题）

A

DGCC

D

F

HF

AEBBC

AEDBE

（第3题图）（第4题图）（第5题图）

4．如图，△ABC中，∠ACB=900，CD和CE分别是底边AB上的高和∠C的平分线，若△CED∽

△ABC，则∠ECD等于()

A．180B．200C．22.50D．300

（山东省竞赛试题）

5．如图，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AE⊥BC，BD=DC=EC=1，则AC=

（）

A．2B．3C．32D．33E．43

（美国高中统一考试题）

6．如图，在等腰Rt△ABC中，F为AC边的中点，AD⊥BF．求证：BD=2CD．

（武汉市竞赛试题）

7．如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂

足为H．求证：DH⊥HQ．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

AD

PH

BC

Q

（第7题图）

8．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=900，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC

不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．

A

AA

cc

bbbc

CaBCaBCaB

图1图2图3

9．已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角形的直角顶点与点C重合，

它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E．

当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，易证：OD+OE=2OC．

当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜

想，不需证明．

AAA

MM

D

CDCC

E

OO

EBOEBDB

图1图2

图3

10．⑴如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求

DPPE

证：．

BQQC

⑵在△ABC中，∠BAC=900，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上．连接AG，AF分别交DE

于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：MN2=DMEN．

（武汉市中考试题）

AAA

DEDE

DEM

PNMN

BQCBGFCBGF

C

图1图2图3

专题17直角三角形中比例线段

41

例115例2B提示：只有结论④是错误的.例3提示：过F点作FM⊥EC于M，

324

EMAB11

由Rt△ABE∽Rt△MEF，得2，EM2MF.又FMMCEC.

MFAE36

81625452545

例4提示：满足题意的点C有4个，坐标分别为,,,，,，

555555

1DE1EF10

,1△CAB，∴，从而．(3)3

2DF3DF3

APBPPD2

B级1．6提示：延长FE，BA交于G，，GE＝EF，△AGE∽△FCE．2．2

GEBEEF3

提示：过B作BE∥AD，交CA的延长线于