湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷

2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷命题学校：鄂南高中命题教师：汪勇谋陈艳峰刘峰徐丹审题学校：红安一中审题教师：王晓华考试时间：2024年4月178下午15：0017：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处的导数为6，则（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根据极限的简单性质，结合导数的定义进行求解即可.【详解】因为函数在处的导数为6，所以因此，故选：A2.在等差数列中，是数列的前项和，，则（）A.118 B.128 C.138 D.148【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质以及求和公式计算即得．【详解】由，又，所以，由题意得．故选：C．3.函数在上的最大值为（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的性质判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】，当时，有单调递增，当时，有单调递减，所以，故选：C4.已知函数为奇函数，当时，，则曲线的图象在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性求得，结合导数的几何意义计算即可求解.【详解】当时，，则，又为R上的奇函数，所以，则，所以，得，所以曲线的图象在点处的切线方程为，即.故选：C5.式子的值为（）A.27 B.127 C.5160 D.与的取值有关【答案】A【解析】【分析】根据组合数的性质和运算公式进行求解即可.【详解】由题中组合数的形式可知：，所以.故选：A6.2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（）A.240 B.360 C.420 D.540【答案】D【解析】【分析】利用组合数的性质结合分类加法计数原理求解即可.【详解】若三个景点选择人数之比为，共有种选法，若三个景点选择人数之比为，共有种选法，若三个景点选择人数之比为，共有种选法，由分类加法计数原理得共有种选法，故D正确.故选：D7.已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由递推公式可得为常数列，可得，，由放缩法和裂项相消可得的取值范围，可得结果．【详解】当时，，，，则为常数列，，，，又时，，，又易得，即，.故选：D．8.对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，令，研究其单调性，进而问题转化为恒成立问题，构造函数，通过求导求解函数最值求解．【详解】恒成立，恒成立，恒成立，令，f′x=(x+1)ex，当时，，由，即，在为增函数，且，恒成立，恒成立，令，则，当时时，，在单调递增，单调递减，，，即正实数的最小值为．故选：D．【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立问题的常用步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A.没有空盒子的方法共有6种B.所有的放法共有21种C.恰有1个盒子不放球的方法共有9种D.没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种【答案】AD【解析】【分析】根据排列组合知识，结合每个选项的具体情况，即可求得答案.【详解】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有种，A正确；对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误；对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中，那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列，共有（种）放法，C错误；对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况：即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子；1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确，故选：AD10.已知数列满足，则（）A. B.数列是等差数列C.的前项和为 D.数列的最小项为4【答案】ABC【解析】【分析】对递推公式两边同时加6，这样可以确定数列是等比数列，最后等比数列的通项公式、前项和公式，对数的运算性质、等差数列的定义、基本不等式逐一判断即可.【详解】由，因此是以为首项，公比为的等比数列，因此有.A：因为，所以本选项正确；B：因为所以数列是等差数列，因此本选项正确；C：因为，所以的前项和为，所以本选项正确；D：，当且仅当时取等号，即当时取等号，因为是正整数，所以上述不等式等号不成立，即，所以本选项不正确，故选：ABC【点睛】方法点点睛：对于形如的递推公式，一般运用待定系数法进行求通项公式，即设，显然.11.已知函数和的定义域为R，为偶函数，gx=g4−x,fx=1−A.函数关于对称 B.g′2022C.关于点对称 D.【答案】ABD【解析】【分析】先对函数求导，根据为偶函数，可得为奇函数，进而可得函数的周期性，即可根据函数的周期性、奇偶性以及对称性，结合选项逐一进行求解即可．【详解】因为g(x)=g(4−x)，所以关于对称，则g′(x)=−g′(4−x)，则关于为偶函数，所以g(x)=g(−x)，故g′(x)=−g′由g′(x)=−g′(4−x)可得g∴g′(2022)=∵g′(x)=1−f(x)，∴∴f(4−x)+f(x)=2,故关于对称，C错误；∵f(x)=1−g′(x)，周期4的周期也为4，f1=1−g′i=12024f(k)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2024,D故选：ABD．【点睛】关键点点睛：对g(x)=g(4−x)以及g(x)=g(−x)求导得g′(x)=−g′(4−x)，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的导函数为．，且满足，则______．【答案】【解析】【分析】先算出导函数，再将代入求解即可．【详解】由于，所以，令，则，．故答案为：．13.已知函数在内单调递增，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据导函数的正负性与函数单调性的关系，问题转化为在内恒成立，然后常变量分离，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】，所以问题转化为在内恒成立，即，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，因此，所以的最小值为，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数在区间上的单调性求参数，一般是通过常变量分离法进行构造函数，利用导数的性质求出新函数的最值，进而求出参数的取值范围.14.计算机是20世纪最伟大发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为．记为中0的个数，如，则______；从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有______个．【答案】①.0②.35【解析】【分析】由二进制表示可求，由当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，可求得答案．【详解】因为，所以；当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，则一共个，所以从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有35个．故答案为：0；35．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为．（1）求正整数和实数的值；（2）求的展开式中项的系数．【答案】（1）（2）560【解析】【分析】（1）根据所有项的二项式系数之和即可求得n；利用赋值法结合各项系数之和即可求出a的值；（2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可得；各项系数之和为，即令，则，故；【小问2详解】由（1）可知即，其通项公式为，令，故展开式中项的系数为.16.已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，求证：．【答案】（1），．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意设出公差以及公比，求出以及，利用通项公式即可；（2）利用错位相减法求得，显然小于3，根据单调性得大于等于1，即可．【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为，由已知可得，消去得：，解得或，因为等差数列单调递增，所以，于是，，，．【小问2详解】由得：，①，②①②得：，于是，又单调递增．综上所述：．17.已知函数（为自然常数，）．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的范围，确定导数正负，即可得答案；（2）将原不等式转化为证明成立，构造函数，利用导数求出其最小值，证明其最小值大于0，即可证明结论.【小问1详解】由题意知函数定义域为R，，当时，f′x<0，则在R当时，令f′x>0，则，则在上单调递增；令f′x<0，则，则在上单调递减；综合上述，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】证明：由（1）可得当时，，要证明，只需证明，即证；令，则，当时，，当时，，即上单调递减，在上单调递增，则，即成立，故当时，.18.已知函数．（1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；（2）证明：函数有3个零点；（3）若在区间上有最小值，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程；（2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，再结合零点存在性定理证明即可；（3）结合（2）中函数的极小值点及极小值，令求出所对应的，从而得到，解得即可.【小问1详解】当时，则，，所以，所以切线方程为，即；小问2详解】因为定义域为，又，因为，所以，由，解得或，由，解得；则函数在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以，，又，，且当时，当时，即，所以在上存在唯一零点，由，所以在上存在唯一零点，由，所以在上存在唯一零点，所以在和上均不存在零点，所以函数有且仅有个零点．【小问3详解】由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且，当时，即，则，解得或，因为在区间上有最小值，所以最小值为函数的极小值，即，解得，所以的取值范围为．19.如果一个正项数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都大于同一个常数，那么这个数列就叫做类等比数列，这个常数叫做类等比数列的类比．（1）若数列是一个类等比数列，且，证明；（2）对于一个正项数列，且首项，满足；①证明：数列为递减数列；②证明：．【答案】（1）证