解直角三角形解直角三角形课件华东师大版九年级数学上册

24.4.1.1解直角三角形--解直角三角形第24章解直角三角形华东师大版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********给出解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，已知两个元素（其中至少一个是边），求其他元素的过程叫做解直角三角形。引导学生分析为什么已知的两个元素中至少有一个是边：如果已知的两个元素都是角，由于三角形的内角和是\(180^{\circ}\)，直角三角形中直角是固定的\(90^{\circ}\)，那么仅知道两个锐角，三角形的大小和形状是不确定的，无法求出三边的长度。而当已知至少一条边和其他一个元素时，就可以利用勾股定理、锐角三角函数等知识求出其他元素。分类讨论解直角三角形的类型：类型一：已知斜边和一直角边例如，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=5\)，\(a=3\)，求\(b\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。先根据勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。再根据\(\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}\)，利用计算器求出\(\angleA\approx36.9^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx53.1^{\circ}\)。类型二：已知斜边和一锐角如在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=10\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(a\)，\(b\)，\(\angleB\)。因为\(\sinA=\frac{a}{c}\)，所以\(a=c\sinA=10\times\sin30^{\circ}=5\)。又因为\(\cosA=\frac{b}{c}\)，所以\(b=c\cosA=10\times\cos30^{\circ}=5\sqrt{3}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。类型三：已知一直角边和一锐角已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=6\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleA\)。因为\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\)，则\(\angleA=\angleB\)，所以\(a=b=6\)。再根据勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)。类型四：已知两直角边若在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=4\)，\(b=3\)，求\(c\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。首先由勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)。然后\(\tanA=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}\)，利用计算器求出\(\angleA\approx53.1^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx36.9^{\circ}\)。（三）例题解析（15分钟）例1：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=\sqrt{3}\)，\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，解这个直角三角形。分析：已知\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因为\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。又因为\(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，解得\(AB=2\)。再根据勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。解答过程：解：因为\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。又\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。由\(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，得\(AB=2\)。根据勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。综上，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，\(AB=2\)，\(BC=1\)。例2：在\(\triangleABC\)中，\(\angleC\)为直角，\(\angleA\)、\(\angleB\)、\(\angleC\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(b=20\)，\(\angleA=35^{\circ}\)，解这个三角形（精确到\(0.1\)）。分析：已知\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\)。因为\(\tanA=\frac{a}{b}\)，所以\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\)，利用计算器求出\(a\approx20\times0.7002\approx14.0\)。又因为\(\cosA=\frac{b}{c}\)，所以\(c=\frac{b}{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\)，利用计算器求出\(c\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。解答过程：解：因为\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=55^{\circ}\)。由\(\tanA=\frac{a}{b}\)，得\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\approx20\times0.7002\approx14.0\)。由\(\cosA=\frac{b}{c}\)，得\(c=\frac{b}{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。综上，\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=55^{\circ}\)，\(a\approx14.0\)，\(c\approx24.4\)。（四）巩固练习（10分钟）在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=37^{\circ}\)，\(BC=32\)，（参考数据：\(\sin37^{\circ}\approx0.60\)，\(\cos37^{\circ}\approx0.80\)，\(\tan37^{\circ}\approx0.75\)），求\(AC\)的长。解：因为\(\tanB=\frac{AC}{BC}\)，所以\(AC=BC\tanB=32\times\tan37^{\circ}\approx32\times0.75=24\)。如图，已知\(Rt\triangleABC\)中，斜边\(BC\)上的高\(AD=3\)，\(\cosB=\frac{3}{5}\)，求\(AC\)的长。解：在\(Rt\triangleABD\)中，\(\cosB=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}\)，设\(BD=3x\)，\(AB=5x\)。由勾股定理\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x\)，又\(AD=3\)，所以\(4x=3\)，\(x=\frac{3}{4}\)，则\(AB=\frac{15}{4}\)。因为\(\angleB+\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleCAD+\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleCAD\)，则\(\cos\angleCAD=\cosB=\frac{3}{5}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\cos\angleCAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}\)，即\(\frac{3}{AC}=\frac{3}{5}\)，解得\(AC=5\)。（五）课堂小结（5分钟）引导学生回顾本节课的主要内容：解直角三角形的定义。解直角三角形的依据，包括勾股定理、直角三角形两锐角互余以及锐角三角函数。解直角三角形的类型和方法，已知两个元素（至少一个是边）求其他元素的过程。强调在解直角三角形时需要注意的问题：选择合适的三角函数关系式，尽量使用原始数据进行计算，以减小误差。注意计算的准确性和规范性，书写过程要条理清晰。（六）布置作业（5分钟）基础作业：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=10\)，\(\cosA=\frac{4}{5}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleB\)。已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，\(b=4\)，解这个直角三角形。拓展作业：如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=45^{\circ}\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(AB=6\)，求\(BC\)的长（结果保留根号）。一个物体从点\(A\)出发，沿坡度为\(1:2\)的斜坡向上移动到点\(B\)，如果\(AB=5\sqrt{5}\)米，求物体升高了多少米？五、教学反思在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生对直角三角形的相关知识有了更清晰的认识，为学习解直角三角形奠定了基础。在探究新知环节，通过分类讨论和例题解析，引导学生掌握解直角三角形的方法和步骤，培养了学生的分析问题和解决问题的能力。在练习环节，通过不同类型的练习题，让学生巩固所学知识，提高了学生的解题能力。但在教学过程中，可能存在部分学生对三角函数的运用不够熟练，在后续的教学中应加强针对性的练习和辅导。同时，在教学方法上可以进一步多样化，提高学生的学习兴趣和参与度。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解在解直角三角形的过程中，重要关系式：(2)两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°(3)边角之间的关系(1)三边之间的关系ABabcC（勾股定理）活动一

如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？

ACB解：设RtΔABC中，∠C=900，

AC=10m，BC=24m.则AB==26（米）26+10=36（米）在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝65°，斜边AB＝10，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC1065°）解：在如图的Rt△ABC中，根据

AC＝2.4，斜边

AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4解：在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC1.在直角三角形中，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．归纳总结典例讲解例1

根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，b=12；(2)在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=60°，c=6.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=90°－∠