2025年河南省开封市等三地高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河南省开封市等三地高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(z−1)i=−1，则z−=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i2.抛物线y=14x2A.y=−1 B.y=1 C.x=−116 3.在△ABC中，BD=13BC，若AB=a，A.13a−23b B.14.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3=1，A.−12 B.12 C.−25.设a，b∈R，则a<b的一个充分不必要条件是(

)A.1a>1b B.a2+6.已知正方体的内切球的体积为43π，则该正方体的外接球的表面积为A.12π B.36π C.93π7.将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是(

)A.24 B.50 C.72 D.1508.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，圆O经过直线x=±a，y=±b的四个交点，且圆O与C在第一象限交于点P，与xA.a2 B.b2 C.a2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知集合A={x|−3<2x−1<3}，∁RB⊆A，则(

)A.−1∉B B.2∈B C.−1∈A∪B D.2∈A∩B10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t(单位：s)时相对于平衡位置的高度(单位：cm)由关系式ℎ(t)=2sin(t+π4)确定，则下列说法正确的是(

)A.小球在开始振动(即t=0s)时在平衡位置上方2 cm处

B.每秒钟小球能往复振动2π次

C.函数ℎ(t)的图象关于直线D.小球从t=π4s到t=19π12s时运动的路程是5cm

11.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，A.若[tn]=n，则t∈[n1n,(n+1)1n)

B.三、填空题：本题共3小题，共20分。12.已知cosα=34，则sin(2α+π13.已知经过椭圆C：x2a2+y214.已知直线y=−x+b与函数y=lnx−2，y=ex+2的图象分别交于A，B两点，则|AB|取最小值时，b=______，最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：满意不满意男业主4010女业主3020(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？

(2)从该小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，B表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出P(B|A)，P(B|A−)的估计值．

附：α0.050.010.005χ3.8416.6357.87916.(本小题12分)

已知直线l：2x+2y+2=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，C为圆O上不同于A，B的一点.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)求角C；

(2)17.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且PA=AB=BC=12AD=2．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求直线PB与平面PAD18.(本小题12分)

已知函数f(x)=aex−lnx+1x−1，a>0．

(1)当a=2时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若19.(本小题12分)

设n为不小于3的正整数，项数为n(n−1)2的数列{an}是公差大于0的等差数列，若存在项数为n的数列{bn}同时满足：

①数列{bn}中任意两项均不相同；

②任意正整数i，j(1≤i<j≤n)，bi+bj从小到大排列恰好为数列{an}.

此时称数列{an}是n−可拆分等差数列．

(1)写出一个3−可拆分等差数列{an}及其对应的一个数列{bn}；参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.D

6.B

7.D

8.B

9.BC

10.ACD

11.AC

12.1813.314.−1；315.解：(1)根据题意可知，χ2=100×(40×20−10×30)250×50×70×30=10021≈4.762>3.841，

所以依据α=0.05的独立性检验，能认为有差异；

(2)由题意P(A)=30100=0.3,P(AB)=20100=0.2,P(A−)=70100=0.7,P(A−B)=30100=0.3，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.20.3=23,P(B|A−)=P(A−B)P(A−)=0.30.7=37．

16.(1)解：圆O：x2+y2=1是单位圆，圆心O到直线l：2x+2y+2=0的距离d=28=12，圆O的半径R=1，

∴|AB|=c=2R2−d2=21−14=3，

又C为△ABC外接圆O上一点，∴csinC=2R=2，

解之得sinC=c2=32，

∵0°<C<180°，

∴C=60°或120°；

(2)解：由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab(1+cosC)，

即3=6−2ab(1+cosC)，即ab=32(1+cosC)，

①当C=60°时，ab=32(1+cosC)=32(1+cos60∘)=1，

此时S△ABC=12absinC=12sin60°=34，

②当C=120°时，ab=32(1+cosC)=32(1+cos120∘)=3，

∵c为最大边，∴ab<18.解：(1)当a=2时，f(x)=2ex−lnx+1x−1，f′(x)=2ex+lnxx2，

则f′(1)=2e，

又f(1)=2e−2，

则所求切线方程为y−(2e−2)=2e(x−1)，即2ex−y−2=0．

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=aex+lnxx2=1x2(ax2ex+lnx)，

令g(x)=ax2ex+lnx，则g′(x)=a(x2+2x)ex+1x>0，

即g(x)在(0,+∞)单调递增，

当x→0时，g(x)→−∞，当x=1时，g(1)=ae>0，

所以∃x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，即f′(x0)=0，

且f(x)在x∈(0,x0)单调递减，f(x)在x∈(x0,+∞)单调递增，

所以f(x)在x=x0处取得极小值，

又当x→0时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞，

故若f(x)有唯一的零点，则必有f(x0)=0，

则aex0+lnx0x02=0，且aex0−lnx0+1x0−1=0，

消去a可得lnx0x02+lnx0+1x0+1=0，

即(x0+lnx0)(x0+1)=0，

又因为x0+1≠0，即x0+lnx0=0，

由②式可得：ax0ex0−lnx0−x0−1=0，即aex0+lnx0−(x0+lnx0)−1=0，

将x0+lnx0=0代入可得a−1=0，即a=1，

综上可知，若f(x)有唯一的零点，则a=1．

19.解：(1)首先项数为3(3−1)2=3，且数列{bn}中任意两项均不相同；

b1+b2=3，b1+b3=4，b2+b3=5，满足条件②，则上述数列满足题意．

故等差数列{an}：3，4，5，数列{bn}：1，2，3；

(