2025年湖南省长沙市岳麓山外国语实验中学高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖南省长沙市岳麓山外国语实验中学高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i，则|zz−A.12 B.1 C.2 2.如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是(

)A.43π B.22π3.要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y=sinx向左平移(

)A.π2个单位 B.π3个单位 C.π4个单位 4.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB，且BP=3PAA.x=23，y=13

B.x=13，y=23

C.5.现用甲、乙、丙、丁四台30打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台3D打印机设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z(单位：mm)服从正态分布N(μ,2.25)，且P(Z<28)=P(Z>32).根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸(单位：mm)如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是(

)A.甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3

B.乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3

C.丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4

D.丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.36.已知圆C：(x−1)2+y2=1和直线l：y=kx−3，则“k>A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=−x2+6x−5,(0<x≤5),(12)A.[−1,0)∪(0,1] B.(−1,1) C.(−4,0)∪(0,4) D.(−1,0)∪(0,1)8.已知数列{an}满足a1=23,aA.20162017 B.20172018 C.40344035二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2asinωxcosωx−2cos2ωx+1(ω>0,a>0)，若f(x)的最小正周期为π，且对任意的x∈R，f(x)≥f(xA.ω=2

B.若x0=−π6，则a=3

C.若f(x0−π10.圆M：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，记点A.点P的轨迹方程为x−y−3=0

B.以PM为直径的圆过定点Q(2,−1)

C.|PM|的最小值为6

D.若直线PA与圆M切于点A，则|PA|≥411.已知抛物线W：y2=2px与圆M：(x−6)2+(y−4)2=64相交于A，B，线段AB恰为圆M的直径，且直线AB过抛物线A.p=4或p=8

B.圆M与抛物线W的准线相切

C.在抛物线W上存在关于直线AB对称的两点

D.线段AB的垂直平分线与抛物线W交于C，D，则有|MA|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，∠A为钝角，∠B=20°，作AD⊥AB交BC于D.已知AB=1，CD=4，则[AC]=______.(其中[x]表示不超过x的最大整数)13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=x2−x−1，则当x∈(−∞,0)时，f(x)=

14.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6.从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”.C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．

①A与C互斥；

②P(B|C)=16；

③A与D相互独立；

④B与C相互独立．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex−ax−1．

(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值；

(Ⅱ)若f(x)≤x2在x∈[0,+∞)16.(本小题12分)

在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．

(1)若B=π4，C=π6，a=6+2，求△ABC的周长；

(2)若点D是BC边上一点，且17.(本小题12分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列(n∈N∗).

(1)求a的值及数列{an}的通项公式；18.(本小题12分)

如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图，将直角梯形ABEF沿底边AB翻折，得到图2所示的几何体.已知AB//CD//EF，AB=2CD=2EF，AB⊥BE，点N在线段CE上，且EN=2NC，在几何体BCE−ADF中，解决下面问题．

(1)证明：AE//平面BND；

(2)若平面BDE⊥平面ABCD，证明：BE⊥AD．19.(本小题12分)

我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图．

(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；

(2)经统计年龄在[50,59)的被调查者中，投故成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率.(结果用最简分数表示)

参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.ABD

11.BD

12.4

13.−x14.①③

15.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−x−1，所以f′(x)=ex−1

当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以当x=0时，函数f(x)有极小值f(0)=0，无极大值．

(2)因为f(x)≤x2在[0,+∞)上有解，

所以ex−x2−ax−1≤0在[0,+∞)上有解，

当x=0时，不等式成立，此时a∈R，

当x>0时，a≥exx−(x+1x)在(0,+∞)上有解，

令g(x)=exx−(x+1x)，则g′(x)=ex(x−1)x2−(x2−1x2)=(x−1)[ex−(x+1)]x16.解：(1)因为B=π4，C=π6，

所以sinA=sin(π−B−C)=sin(B+C)=sin(π4+π6)=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6=6+24．

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得a+b+csinA+sinB+sinC=asinA，17.解：(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列，

则：2Sn=2n+1+a，

①当n=1时，a1=2+a2，

②当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，

由于数列是等比数列，

则：a1=1=2+a2．

解得：18.证明：(1)连接AC与BD相交于O，连接ON，

由于AB=2CD，且AB//CD，

所以OC：OA=CD：AB=1：2，

又EN=2NC，所以ON//AE，

AE⊄平面BND，ON⊂平面BND，

所以AE//平面BND；

(2)过C作CM⊥BD交BD于M，

因为平面BDE⊥平面ABCD，且平面BDE∩平面ABCD=BD，

CM⊂平面ABCD，

所以CM⊥平面BED，BE⊂平面BED，故CM⊥BE，

又四边形ABEF为直角梯形，故AB⊥EB，

AB，CM是平面ABCD内的两相交直线，所以BE⊥平面ABCD，

AD⊂平面ABCD，

故BE⊥AD．

19.解：(1)由条件得，50×60%=30，

则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值，

由