2024-2025学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 31 空间向量及其运算 311 空间向量及其加减运算 312 空间向量的数乘运算（教学用书）

2024-2025学年高中数学第3章空间向量

与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空

间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘

运算(教学用书)教案新人教A版选修27

主备人

备课

成员

2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何，本节课主要围绕3.1空间向量及其运

算展开。具体内容包括：

1.空间向量及其加减运算(3.1.1):介绍空间向量的概念，引导学生理解空间向量的坐标

表示；讲解空间向量的加减运算及其几何意义。

教学

2.空间向量的数乘运算(3.1.2):探讨空间向量的数乘运算，包括数乘运算的定义、性质

内容

以及在实际问题中的应用。

本节课将紧密结合教材新人教A版选修27,确保教学内容的相关性和实用性。通过实例分

析与实际操作，帮助学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，为后续学习立体几何打下

坚实基础。

本章节旨在培养学生以下核心素养：

1.逻辑推理：通过空间向量的概念引入与运算方法的学习，使学生能够运用逻辑推理能

力，理解向量加减与数乘■的运算规则，并能解决相关问题。

核心2.数学建模：培养学生利用空间向量进行数学建模的能力，将现实问题转化为数学问题，

素养通过向量运算求解，增强解决实际问题的能力。

目标3.抽象思维：引导学生从具体实例中抽象出空间向量的楼,念，形成对空间向量及其运算的

抽象认识，提高学生的抽象思维能力。

4.数学表达：通过课堂讲解、练习与讨论，提升学生运用数学语言准确表达空间向量及其

运算过程的能力，加强数学交流与表达。

重点：

1.空间向量的概念及坐标表示。

2.空间向量的加减运算及数乘运算。

难点：

1.空间向量的几何意义理解。

重点

2.向量运算在实际问题中的应用。

难点

解决办法及突破策略：

及解

1.采用直观教具和动画演示，帮助学生形象理解空间向量的几何意义，强化对向量概念的

决办

记忆。

法

2.通过典型例题和练习题，引导学生运用向量加减和数乘运算解决问题，总结运算规律，

提高解题技巧。

3.组织小组讨论，让学生互相交流解题思路，激发思维碰撞，共同突破难点。

4.创设实际情境，将空间向量运算与生活实例相结合，增强学生对向量运算在实际问题中

应用的理解，提高学生解决实际问题的能力。

学具

多媒体

准备

课型新授课教法学法讲授法课时第一课时

步骤师生互动设计二次备课

教1.教学方法：采用讲授法、讨论法和案例研究法。通过讲授法明确空

学间向量的概念及运算规则；利用讨论法鼓励学生发表见解，深化理

方解；结合案例研究法，以实际问题为载体，引导学生探索空间向量的

应用。

法

2.教学活动：设计实验、小组讨论和角色扮演等互动环节。实验活动

与帮助学生直观感受空间向量的几何意义；小组讨论促进学生交流与合

策作，共同解决问题；角色扮演激发学生兴趣，提高课堂参与度。

略3.教学媒体：使用多媒体课件、实物模型和数学软件等教学工具。多

媒体课件展示空间向量运算的动态过程，增强直观感受；实物模型辅

助理解几何意义；数学软件辅助学生进行向量运算的实践操作，提高

实际运用能力。

教1.导入新课

学(1)复习提问：

过同学们，我们在之前的学习中已经接触过向量的概念，谁能来说一说

平面向量的定义及其基本运算？

程

(2)导入：

很好，今天我们将进一步学习空间向量及其运算。空间向量与现实生

活密切相关，它在立体几何中具有重要作用。

2.空间向量的概念及坐标表示

(1)展示概念：

请同学们翻到教材第3章第1节，我们一起来学习空间向量的概念。

空间向量是有大小、方向的量，它可以用一个箭头表示。与平面向量

类似，空间向量也可以用坐标表示。

(2)探究坐标表示：

现在请同学们观察教材中的图3.1,思考如何用坐标表示空间向量？

(3)学生回答：

空间向量可以用一个有序数对表示，例如：(x,y,z)o

(4)讲解坐标表示：

非常好！空间向量的坐标表示就是这样的有序数对。其中，x、y、z

分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的投影长度。

3.空间向量的加减运算

(1)讲解加减运算：

(2)示例:

假设有两个空间向量A(xl,yl,zl)和B(x2,y2,z2),那么它们的和

C=A+B=(xl+x2,yl+y2,zl+z2)©

同理，它们的差D=A-B=(xl-x2,yl-y2,zl-z2)。

(3)练习：

请同学们在教材第3章第1节中完成例题3.1,并思考空间向量加减

运算的几何意义。

(4)学生解答：

4.空间向量的数乘运算

(1)讲解数乘运算：

现在我们来看空间向量的数乘运算。数乘运算是指将一个向量与一个

实数相乘。

(2)示例：

假设有一个空间向量A(x,y,z),那么数乘运算B=kA二(kx,ky,

kz）,其中k为实数。

（3）练习：

请同学们在教材第3章第1节中完成例题3.2,并思考数乘运算的儿

何意义。

（4）学生解答：

5.课堂小结

（1）总结：

（2）提问：

同学们，谁能来说一说空间向量加减运算和数乘运算的几何意义？

（3）学生回答：

空间向量加减运算表示向量在空间中的平移，数乘运算表示对向量进

行缩放。

6.作业布置

（1）课后习题：

请同学们完成教材第3章第1节的课后习题，巩固所学知识。

（2）思考题：

思考空间向量在立体几何中的应用，下节课我们一起来讨论。

7课堂结束

今天我们学习了空间向量及其运算，希望大家课后认真复习，为下节

课的学习做好准备。同学们，再见！

知1.空间向量的概念

识空间向量的定义：具有大小和方向的量，用箭头表示。

点空间向量的表小：有序数对（x,y,z）,分别表示向量在x轴、y

轴、z轴上的投影长度。

梳

2.空间向量的坐标表示

理-坐标表示方法：空间向量可以用一个有序数对表示，如（x,y,

Z）O

-坐标轴的投影：向量在X轴、y轴、z轴上的投影长度分别对应坐标

的x、y、z分量。

3.空间向量的加减运算

加法运算：两个空间向量相加，得到一个新的向量，其坐标为原向

量坐标对应分量相加。

减法运算：两个空间向量相减，得到一个新的向量，其坐标为第一

个向量坐标减去第二个向量坐标的对应分量。

几何意义：加法运算表示向量的平移，减法运算表示向量的反向平

移。

4.空间向量的数乘运算

-数乘定义：将一个空间向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

数乘运算规则：数乘向量的坐标为原向量坐标与实数的乘积。

几何意义：数乘运算表示对向量进行缩放，实数为正时沿原方向缩

放，为负时沿原方向的反向缩放。

5.空间向量的线性组合

定义：空间向量的线性组合是指将多个空间向量与相应的实数相乘

后再相加的结果。

运算规则：线性组合的坐标为各个向量坐标与对应实数乘积的和。

6.空间向量的线性关系

平行向量：方向相同或相反的向量，它们的线性组合仍为同方向或

相反方向的向量。

垂直向量：相互垂直的向量，它们的点积为零。

7.空间向量的应用

立体儿何中的向量运算：用于求解空间几何图形的长度、面积和体

积等。

-物理学中的向量问题：描述物体运动的加速度、速度等向量关系。

板书①重点知识点：

设计1.空间向量的概念与坐标表示

-定义：具有大小和方向的量

-坐标表示：(x,y,z)

2.空间向量的加减运算

-加法：A+B=(xl+x2,yl十y2,zl十z2)

-减法：A-B=(xl-x2,yl-y2,zl-z2)

3.空间向量的数乘运算

-数乘：k/\=(kx,ky,kz)

②关键词与句：

1.向量加法：平移

2.向量减法：反向平移

3.数乘运算：缩放

③艺术性与趣味性：

1.使用小同颜色的粉笔，区分向量加、减和数乘运算。

2.在黑板上绘制向量箭头，直观展示向量的几何意义。

3.举例生活中的向量问题，如力的合成、速度方向等，激发学生兴

趣。

板书设计条理清晰，重点突出，简洁明了，同时注重艺术性和趣味

性，有助于学生理解和记忆空间向量的相关知识，提高学生的学习兴

趣和主动性。

课后1.计算题：

作业已知空间向量A(2,3,4)和B(T,2,3),求向量A+B和向量A-B。

答案：

A+B=(2+(-1),3+2,4+3)=(1,5,7)

A-B=(2-(-1),3-2,4-3)=(3,1,1)

2.应用题：

一物体受到两个力的作用，力F1的大小为5N,方向为(1,2,3),力

F2的大小为3N,方向为(2,-1,Do求物体的合力方向。

答案：

设合力方向为