初中数学自主招生难度讲义-9年级专题24平面几何的定值问题

专题24平面几何的定值问题

【阅读与思考】

所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内

变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.

几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动

的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化

的元素，也就是我们要探求的定值.

解答定值问题的一般步骤是：

1.探求定值；

2.给出证明.

【例题与求解】

⌒PAPC

【例1】如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点.求证：为定值.

PB

解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.

【例2】如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD

⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）

A.到CD的距离保持不变B.位置不变

⌒

C.等分DBD.随C点的移动而移动

（济南市中考试题）

解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.

【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线

的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.

（加拿大数学奥林匹克试题）

解题思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手.

1

⌒

【例4】如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是AB上异于A，B的动点，过点C

作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

⌒

（2）当点C在AB上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段

的长度；

（3）求证：CD2+3CH2是定值.（广州市中考试题）

解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线

段ON转化成线段CH的倍分关系，再以Rt△OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.

【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交

y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.

（1）求点C的坐标；

（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；

OF

（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发

PF

生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（深圳市中考试题）

解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.

（图1）（图2）

2

【例6】如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2

为定值.

解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.

【能力训练】

A级

3

1.如图，点A，B是双曲线y上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则

x

S1S2_______.

（牡丹江市中考试题）

（第1题图）（第3题图）（第4题图）

2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的

面积是__________.

（全国初中数学联赛试题）

3.如图，OA，OB是⊙O任意两条半径，过B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，则定值OP2+EP2为

_________.

4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直

线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

（武汉市竞赛试题）

5.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA⊥AB，BBAB，且AA=AP，BB=BP.

连接AB，当点P从点A移动到点B时，AB的中点的位置（）

A．在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动

C.在弧AMB上移动D.保持固定不移动

（荆门市中考试题）

3

（第5题图）（第6题图）

k

6.如图，A，B是函数y图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构

x

成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（）

A.3B.6C.9D.12

（海南省竞赛试题））

7.（1）经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A，B和C，D四点，得到如图①~⑥所表示的

六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一

个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的

证明.

（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不

重合的两点E，F.PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字

叙述出来.

（济南市中考试题）

4

8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O

在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转.旋转过程

中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N.

（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；

（3）设△MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.

（济宁市中考试题）

9.如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E，

BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.

（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_______.

（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线

段，并予证明.

（江苏省竞赛试题）

（第9题图）（第10题图）（第11题图）

10.如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R.求证：

（1）AK2BK2CK2DK2是定值；

（2）AB2BC2CD2DA2是定值.

5

APBP

11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：的值为定值.

CPDP

（克罗地亚数学奥林匹克试题）

B级

1.等腰△ABC的底边BC为定长2，H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下

改变位置时，面积S△ABC·S△HBC的值保持不变，则S△ABC·S△HBC=________.

16

2.已知A，B，C，D，E是反比例函数y（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分

x

别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成

如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.

（福州市中考试题）

3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋

∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（）

A.∠1＋∠2＝900°－2αB.∠1＋∠2＝1080°－2α

1

C.∠1＋∠2＝720°－αD.∠1＋∠2＝360°－α

2

（武汉市竞赛试题）

（第3题图）（第4题图）

4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则

弧MTN（）

6

A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化

C.保持30°不变D.保持60°不变

5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，

记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）

A.5B.6C.7D.8

（黄石市中考试题）

（第5题图）（第6题图）

6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）

（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.

（1）求点A的坐标（用m表示）

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交

AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.

（株洲市中考试题）

7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直

线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.

（湖北省选拔赛试题）

（第7题图）（第8题图）

8.如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距

7

离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.

（全国初中数学联赛试题）

14

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2x10与x轴的交点为点A，与y轴的交点为

189

点B.过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P，Q分别从O，C两点同时

出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.

点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于E，

射线QE交x轴于点F.设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）.

（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；

9

（3）当0t时，△PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；

2

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形，请写出解答过程.

（黄冈市中考试题）

（第9题图）（第10题图）

12

10.已知抛物线C1：yxx1，点F（1,1）.

12

（1）求抛物线C1的顶点坐标；

11

（2）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：2.

AFBF

（3）抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接PF，并延长交抛物线C1于点

11

Q（xQ，yQ），试判断2是否成立？请说明理由.

PFQF

11.已知A，B是平面上的两个顶点，C是位于AB一侧的一个动点，分别以AC，BC为边在△ABC外作

正方形ACDE和正方形BCFG.求证：不论C在直线AB同一侧的任何位置，EG的中点P的位置不变.

（四川省竞赛试题）

8

专题24平面几何的定值问题

例1延长PC至E，使CE＝AP，连结BE，则△BCE≌△BAP，及△PBE为等腰直角三角形，故

PAPCCEPCPE

2例2B提示：连结AC，BC，可以证明P为APB的中点．例

PBPBPB

1

3∵SP⊥OP，OM⊥ST，∴S，M，O，P四点共圆，于是∠SPM＝∠SOM＝∠SOT为定角．例4(1)

2

连结OC交DE于M，则OM＝CM，EM＝DM，而DG＝HE，则HM＝GM故四边形OGCH是平行四边

11

形．(2)DG不变．DE＝OC＝OA＝3.DG＝DE＝×3＝1．(3)设CD＝x，延长OG交CD于N，则CN

33

11

＝DN＝x，CE29x2，DN2x2.∴

24

331

ON29x2，而ON＝CH，∴CH24x2．故CD2＋3CH2＝x2＋

423

1

3(4－x2)＝x2＋12－x2为定值．例5⑴C(0，4)⑵先求得AM＝CM＝5，

3

OGAO3

连接MC交AE于N，由△AOG∽△ANM，得，OG＝，

MNAN2

OGOM3

，又∠BOC＝∠GOM，∴△GOM∽△COB，∠GMO＝∠CBO，

OCOB8

得MG∥BC．⑶连结DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，DO2＝OM•OP，OP＝

16OF

．动点F在⊙M的圆周上运动时，从特殊位置探求的值．当F与点A重合时，

3PF

OFAO23OFOB83

；当点F与点B重合时，；当点F不与点A，B重合时，连

1616

PFAP25PFPB85

33

FMMP

接OF、PF、MF，∴DM2＝MO•MP，∴FM2＝MO•MP，即，又∠OMP＝∠FMP，∴△MFO∽

OMFM

OFMO3OF3

△MPF，，故的比值不变，比值为．例6∠BPC＝120°，在△BPC中，由余弦定

PFMF5PF5

理得BC2＝PB2＋PC2－2PB•PC＝BC2，又由上托勒密定理得BC•PA＋PC•AB，而AB＝BC＝AC，∴PA＝PB＋

2

PC，从而PA2＋PB2＋PC2＝(PB＋PC)2＋PB2＋PC2＝2(PB2＋PC2＋PB•PC)＝2BC2＝2×3＝6．故PA2

22

＋PB＋PC为定值．A级1．4提示：∵S1＋S阴＝S2＋S阴＝xy＝3，∴S1＋S2＝2xy－2S阴＝6－2

＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高．3．r2提示：先考查OB与OA垂

直的情形．4．D提示：延长BF交DE于点M，连接BD，则△BCD为等边三角形，BF平分∠CBD．∵

F为CD中点，且AD∥CE，∴△ADF与△ECF关于点F中心对称．∴CE＝AD＝CD，∴∠CEM=30°，∠

DMF=60°，5．D提示：A′B′的中点均在⊙O的上半圆的中点处．6．B提示：S正方形OCAD＝OD•OC＝

＝，∴＝•＝•＝．．⑴略⑵当点在⊙内时，过作直径，

xAyAk6SOEBFOEOFxByBk67POPCD

9

则PE•PF＝PD•PC＝r2－OP2为定值；当点P在⊙O外时，PE•PF为定值OP2r2．结论：过不在圆上的

一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．8．⑴⑵

2

22.5°⑶P值无变化．理由如下：如图，延长BA交y轴于E点，可证明△OAE≌△OCN，得OE＝ON，

AE＝CN，又∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝ON，∴△OME≌△OMN，得MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．∴

P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CM＋CN＋BN＋BM＝AB＋AC＝4．9．⑴0＜x＜90⑵BE＝BF提示：连接BD，

可证明△BDF∽△ADB，△BDE∽△ADC．10．⑴作OP⊥BD于P，OQ⊥AC于Q，连接AO，则AO2＝

22

1122222

BKDKCKAK，又AK•CK＝BK•DK，得AK＋BK＋CK＋DK＝4R为定值．⑵作直

22

径DE，连接AE，BE，CE，AB2＋CD2＝4R2，AD2＋BC2＝4R2，故AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝8K2为定值．11．设

正方形的边长为a，根据托勒密定理，对于四边形APBC和四边形APBD，有CP•a＝AP•a＋BP•2a，DP

APBP

•a＝BP•a＋AP•2a，两式相加并整理得(CP＋DP)a＝(AP＋BP)(a＋2a)，从而21为定值．

CPDP

B级1．1提示：不妨设∠A为锐角，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H

为垂心，由AB＝AC知∠HBD＝∠HCD＝∠HAE，∠HDC＝∠CDA＝90°，故Rt△

ADDC212

CHD∽Rt△ACD．∴，即AD•HD＝DC＝BC＝1．∴S△ABC•S△HBC＝

DCHD4

1112

BCADBCHDBC＝1．当∠A≥90°时，结论成立．2．13π

224

16

－26提示：∵A，B，C，DE是反比例函数y＝(x＞0)图象上五个整数点，由

x

图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这

121121121

五人橄榄形的面积总和是2211122222444＝5π－

424242

10＋8π－16＝13π－26．3．B提示：如图，设FA的延长线与CB的延长线交于点P，GA′的延长

线与HB′的延长线交于点P′．由对称性可知∠1＝2∠APP′，∠2＝2∠BPP′．∴∠1＋∠2＝2∠APB．∵∠

APB＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α．4．D5．B提示：如图，设

AB与MN交于点C，过点O作OD⊥MN于D，连接FO并延长交EB于G．由垂

22

径定理，得OD＝54＝3．由△AFO≌△BGO，得AF＝BG，即h1＝

ODFO1

BG．由AF⊥MN，BE⊥MN，得△FOD∽△FGE．∴．∴EG＝2OD

GEFG2

＝，∴＝＝．．⑴－，⑵＝2－＋

6h1h2AFBEEG66A(3m0)yx2x1

⑶过点Q作QM⊥AC于M，过点Q作QN⊥BC于N，设Q点的坐标为(x，x2

－2x＋1)，则QM＝CN＝(x－1)2，MC＝QN＝3－x．∵QM∥CE，∴PQM∽△

10

2

QMPMx1x1

PEC．∴，即，得EC＝2(x－1)．∵QN

ECPCEC2

QNBN

∥CF，∴△BQN∽△BFC．∴，即

FCBC

2

3x4x14

，得FC＝．又AC＝4，∴FC(AC＋EC)＝

FC4x1

42

42x1＝8为定值．7．提示：易证△ABK∽△BNA，故AK•BN＝AB为定值，即AK与BN

x1

14

的乘积与M点的选择无关．8．提示：S△ABC•S△HBC＝BC，由于BC是不变的，所以当点A至BC的

16

98

距离变小时，乘积S△ABC•S△HBC保持不变．9．⑴A(18，0)，B(0，－10)，顶点坐标为(4，－)⑵若

9

四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，而PA＝18－4t，CQ＝t，故18－4t＝t，

18

得t＝．⑶设点P运动ts，则OP＝4t，CQ＝t，0＜t＜4.5．说明P在线段OA上，且不与点O，A

5

QDQCt1QCCE1t1

重合．由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故．同理QC∥AF，故，即，

DPOP4t4AFEA4AF4

11

∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．又点Q到直线PF的距离d＝10，∴S△PQF＝•PF•d＝×

22

18×10＝90．于是S△PQF的面积总为定值90．⑷由前面知道，P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)，

0≤t≤4.5．构造直角三角形后易得PQ2＝(4t－8＋t)2＋102＝，FQ2＝(18＋4t－8＋t)2＋102＝(5t＋10)2＋

244

100．①若FP＝FQ，即182＝(5t＋10)2＋100，故25(t＋2)2＝224，(t＋2)2＝．∵2≤t＋2≤6.5，∴t

25

244414414

＋2＝．∴t＝－2．②若QP＝QF，即(5t－8)2＋100＝(5t＋10)2＋100，即(5t－8)2

2555

＝(5t＋10)2，无