初中数学自主招生难度讲义-9年级专题27 数形结合

专题27数形结合

阅读与思考

数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界

的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质

时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形

性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作

数形结合思想.

数形结合有下列若干途径：

1．借助于平面直角坐标系解代数问题；

2．借助于图形、图表解代数问题；

3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；

4．借助于函数解几何问题.

现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具

有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要

两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.

代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立

了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一

大进步．

例题与求解

【例l】设yx22x2x24x13，则y的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）

解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．yx121x229＝

2222

x101x203，于是问题转化为：在x轴上求一点C(x，0)，使它到两

点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.

【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三

角形()

A．不存在B．至多1个C．有4个D．有2个

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；

若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．

【例3】如图，在△ABC中，∠A＝900，∠B＝2∠C，∠B的平分线交AC于D，AE⊥BC于E，

111

DF⊥BC于F.求证：.

BDDFAEBFAEBE

（湖北省竞赛试题）

解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分

别计算出各个线段，利用代数法证明．

【例4】当a在什么范围内取值时，方程x25xa有且只有相异的两实数根？

（四川省联赛试题）

解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数yx25x与函数ya(a≥0)图象有且只有相

异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围．

【例5】设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在

三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形．（江苏省竞赛试题）

解题思路：设△三边长分别为，，，对应边上的高分别为，，，△的面积

ABCabchahbhcABC

2S2S2S

为S，则易得三个内接正方形边长分别为，，，由题意得ahabhbchc，

ahabhbchc

2S2S2S2S

即abcL．则a，b，c适合方程xL.

abcx

2

2y

xxy25

3

2

y

【例6】设正数x，y，z满足方程组z29，求xy2yz3zx的值．

3

22

zzxx16

（俄罗斯中学生数学竞赛试题）

能力训练

1.不查表可求得tan150的值为__________.

33

2.如图，点A，C都在函数y(x0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△

x

BCD都是等边三角形，则点D的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）

3．平面直角坐标系上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，当m________时，PR＋

RQ有最小值.

4.若a0，b0，要使xaxbab成立，x的取值范围是__________.

5.已知AB是半径为1的⊙O的弦，AB的长为方程x2x10的正根，则∠AOB的度数是

______________.（太原市竞赛试题）

6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依

次为，，，，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是

2468A1A2A3A4A55()

A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)

第2题图第6题图

7．在△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝900，AD＝12.点C和点D分居AB

DEm

两侧，过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E．如果，其中，m，n是互质的正整数，

DBn

那么mn=()

A.25B.128C.153D.243E.256

（美国数学统一考试题）

aab

8．设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A，∠B的关系是()

babc

A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不确定

．如图，，，，则

9SAFG5aSACG4aSBFG7aSAEG()

27282930

A．aB．aC．aD．a

11111111

10.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()

A.1个B．2个C．3个D．无穷多个

如图，关于的二次函数2的图象与轴交于，，，两点＞＞，

11.xyx2mxmxA(x10)B(x20)(x20x1)

与y轴交于C点，且∠BAC＝∠BCO.

(1)求这个二次函数的解析式；

以点（，）为圆心⊙，与轴相切于点，过＝抛物线上一点，＞，＜

(2)D20DyOE(x3t)(t0x3

0)作x轴的平行线与⊙D交于F，G两点，与抛物线交于另一点H．问是否存在实数t，使得EF＋GH＝

CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）

12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：aB十bC＋cA＜k2.

13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．

（美国数学邀请赛试题）

14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.

动点P从点Q出发，沿射线