2024-2025学年广东省梅县高二下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广东省梅县高二下学期第一次月考数学检测试卷说明：1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答策不能答在试卷上．2．填空题直接把答案填写在答题卡相应横线上．3．试卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数列满足，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【正确答案】C【分析】根据已知分奇偶应用递推公式计算即可.【详解】因为数列满足，，所以，，，故选：C.2.已知函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据导数的定义，结合指数函数，复合函数的导数公式计算求得.【详解】因为，所以所以.故选：A.3.若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A.(0,1) B. C.(－∞，1) D.(0，＋∞)【正确答案】B【详解】由题意得,函数的导数在(0,1)内有零点，且,即,且，∴，故选B.4.用这5个数组数，可以组成（）个无重复数字的三位偶数．A.24 B.30 C.36 D.48【正确答案】B【分析】由个位数是否为0分类讨论：①个位是0，则百位、十位从剩余的4个数字中选择2个排列；②个位不是0，则从2、4中选择一个放在个位，再从剩余的3个数字（不包含0）中选择1个放在百位，再从剩余的3个数字中选择1个放在十位即可.【详解】由个位数是否为0分类讨论：①个位是0，则无重复数字的三位偶数有：个；②个位不是0，则无重复数字的三位偶数有：个；所以共有个.故选：B.5.已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B分析】利用得到，求出时，取得最大值，得到答案.【详解】要想为递增数列，则恒成立，故，又时，取得最大值，最大值为，故，故选：B6.已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（）A.2 B.-2 C.-1 D.2或-2【正确答案】D【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可.【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，所以，，故满足，解得，又，所以.故选：D7.已知，对，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出函数的零点，再由不等式成立的必要条件求出，进而代入并利用导数分析函数的性质求解.【详解】由，得或1，当或时，；当时，，则“”成立的必要条件是且，得，当时，，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而，则当或时，；当时，，因此对成立，所以.故选：C8.已知函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象的上方，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题设，将问题转化成在上恒成立，令，利用导数与函数单调性间的关系，得到的单调区间，从而得到，进而将问题转化成在上恒成立，再分和两种情况，当时，，当，转化成求的最值，即可求解.【详解】由题意知在上恒成立，即在上恒成立，令，则，由，得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，又时，，故，所以在上恒成立，当时，恒成立，此时；当时，由，得；当时，由，得，令，则，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，当时，，时，，故在上的最小值为，在上的最大值为．综上所述，实数的取值范围为，故选：D．【点晴】方法点晴，不等式恒（能）成立问题与最值问题的转化策略：恒成立，，能成立，，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若为等差数列，，则下列说法正确的是（）A.B.是数列中的项C.数列单调递减D.数列前7项和最大【正确答案】ACD【分析】由等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD10.已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.函数有且仅有一个零点C.函数有且仅有一个极值点D.直线是曲线的切线【正确答案】BC【分析】利用导数求函数单调区间，由函数单调性确定极值点和零点，由导数的几何意义求切线方程.【详解】函数的定义域为，则，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，即，所以函数在上单调递减，当时，，即，所以函数在上单调递增，所以函数存在极小值，所以A选项不正确，B，C选项正确；由得或，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程为，所以D选项不正确．故选：BC．11.已知函数，记的最小值为，则（）A. B.，的图象关于直线对称C. D.【正确答案】BCD【分析】当时，设，令，求得，得出的单调性与最小值，求得，可判定A；由，可判定B；由A选项，即可求出的最大值，可判定C；由，得到，进而得到，从而可判定D．【详解】对于A，当时，；当时，设，则，令，可得，其中，当时，，所以，可得；当时，，所以，即，所以，所以A错误；对于B，因为，所以函数的图象都关于直线对称，所以B正确；对于C，由A选项知，，，所以的最大值为1，即的最大值为1，故C正确；对于D，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又由，所以，即，所以，又，可得，所以，所以D正确．故选：BCD．关键点点睛：该题A，C选项的关键是，通过换元构造函数，借助导数，求出函数的最大值最小值，从而得解，对于B选项的关键是把对称问题，转化为证明等式恒成立问题，对于D选项的关键是构造函数，再一次借助导数，证明不等式，从而借助不等式性质，和数列求和即可得证.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若为正整数，且，则有序自然数对有_______个．【正确答案】5【分析】根据题意，逐一列举，即可得到结果.【详解】因为为正整数，且，所以或或或或，所以有序自然数对有5个.

故513.若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为_________.【正确答案】或，【分析】分离参数，构造函数，求导得函数的单调性，即可作出函数图象，结合函数图象即可求解.【详解】由可得，记，则，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，且当，时，故作出的大致图象如下：故有且仅有一个实数，则或，故或，14.设数列满足，，其中等于的个位数，则________．【正确答案】12108【分析】由，，于是，，进一步有，，即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，．一般地：．．于是，，进一步有，．因此，．故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知公比大于1的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）列出关于与公比的方程，代入计算，即可得到，从而得到通项公式；（2）由条件可得数列为等比数列，结合等比数列的求和公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设等比数列的公比为，则，因为，则，解得或（舍）则.【小问2详解】由（1）可得，则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.16.已知是函数的极值点．（1）求的值；（2）若函数在上存在最小值，求的取值范围．【正确答案】（1）12（2）【分析】（1）直接求导代入得到，再验证即可；（2）计算出，，再比较两者大小即可.【小问1详解】因为，所以，因为是函数函数的极值点，所以，，此时，所以在上，在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，故所求的值为12.【小问2详解】当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以，所以，所以的取值范围.17.如图，某小区有一块矩形地块，其中，，单位：百米.已知是一个游泳池，计划在地块内修一条与池边相切于点的直路（宽度不计），交线段于点，交线段于点.现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数的图象，若点到轴距离记为.（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当为何值时，地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【正确答案】（1）；（2）；面积的最大值为.【分析】（1）把代入函数，得的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案；【详解】解：（1）把代入函数，得，∵，∴，∴直线方程为；（2）由（1）知，直线的方程为，令，，令，，∴，.∴，∴，令，∴当时，，当时，，当时，，，所以所求面积的最大值为.本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.已知是等差数列，公差，，且是与等比中项.（1）求的通项公式（2）数列满足，且.（ⅰ）求的前n项和.（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，，．【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式；（2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和；（ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意.【小问1详解】因为为等差数列，且，所以．又是与的等比中项，所以，即．化简得，解得或（舍），所以．【小问2详解】（i）由，得，所以（），又，当时，，又也适合上式，所以，则，所以．（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，则，即，整理得，显然是25的正约数，又，则或，当，即时，与矛盾；当，即时，，符合题意，所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法（1），特别地当时，；（2），特别地当时，；（3）（4）（5）19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式无整数解，求的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）首先求函数的导数，再分三种情况讨论的单调性；（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论的取值，即可求解.【小问1详解】，当，得，当时，时，，单调递增，时，，单调递减，当时，时，，单调递减，时，，单调递增，当时，，函数在上单调递增，综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，