2024-2025学年广东省广州市高二下册3月月考数学学情检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省广州市高二下学期3月月考数学学情检测试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（）A.20 B.30 C.40 D.50【正确答案】C【分析】利用导数求出函数取最小值时对应的的值即可得解.【详解】由题意知，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值.因此为使耗电量最小，则其速度应定为.故选：C.2.函数的导数是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据导数的运算法则即可得到答案.【详解】．故选：C.3.曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】借助导数的几何意义计算即可得.【详解】，令，则，故，当时，，即的坐标为.故选：B.4.设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】首先求函数的导数，利用导数在内存在零点，利用参变分离，转化为函数值域问题，即可求解.【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.故选：B5.在上的导函数为，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断.【详解】令，则，，，在上单调递增，，即，.故选：A.6.若函数在上单调，为实数，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】对函数求导，根据函数单调性质得出的特点，进而得到与的关系，再通过构造函数，利用导数研究函数单调性来比较与、与的大小关系.【详解】，因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解，故，即，，令，则，令，解得，时，，时，,所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，即；，令，在上单调递增，无最值，则大小不确定，故选：D.7.已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，可得，即，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，所以，可得，则，即，其中，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得.综上，故选：A.关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.8.已知函数有且仅有一个零点，其中，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据且得到为的唯一零点，从而得到，再利用基本不等式求得的最小值.【详解】因为有且仅有一个零点，又，所以为的唯一零点．因为，因为，所以，令，解得，令，解得，若，因为，所以，所以此时，在上单调递减，所以，又，所以在上存在唯一零点，此时有两个零点，不合题意；同理若，即时，有两个零点，不合题意，所以，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．故选：B．思路点睛：证明，分和即和两种情况讨论，均有两个零点，不符合题意，从而得到.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.设函数，则（）A.有两个极大值点 B.有两个极小值点C.是的极大值点 D.是的极小值点【正确答案】BC【详解】求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项.【分析】根据题意，可得，于是x1000极小值极大值极小值因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．故选：BC10.已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（）A.5 B.6 C.7 D.8【正确答案】CD【分析】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，求得高，由底面多边形的面积，得到，通过换元构造函数求其最大值，和比较大小求解即可；【详解】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，所以正棱锥的体积，其中，令可得．设函数则当时，单调递增；当时，单调递减．所以则，解得．故选：CD11.已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】将不等式转化为，分别作出与的图象，转动直线使得满足的整数解是唯一的，观察直线的斜率满足的条件即可.【详解】令，得.令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.如图，分别作出函数与的图象，其中直线恒过定点.由图可知，，，存在唯一的整数，使得，则需，故实数a的取值范围是，其中，，而，，故选：AC.参数分离法解不等式恒成立问题:(1)参数完全分离法:将参数完全分离到不等式的一端，只需求另一端函数的最值即可，这种方法的好处是分离后函数不含参数，易求最值.(2)参数半分离法:将原不等式分成两个函数，其中一个函数为含参的简单函数，如一次函数，可以通过图象的变化寻求满足的条件.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数在上的最大值为________.【正确答案】0【分析】求导，得到函数单调性，结合，求出函数的最大值.【详解】，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，其中，故在上的最大值为0.故013.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为________.【正确答案】【分析】求出导函数，要使函数有两个极值点，经分析可知只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.令可得，作出和的图像，分析即可得出的取值范围【详解】的定义域为，.要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.，令得：x>1；令得：；所以在上单减，在上单增.当时，；当时，；作出和的图像如图，所以即实数的取值范围为.故答案为.14.设满足方程的点的运动轨迹分别为曲线，若曲线有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围为__________.【正确答案】【分析】法一：将原问题转化为函数的图象与的图象有两个交点，利用导数研究的性质，结合图形即可求解；法二：将原问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数研究的性质，结合图形即可求解.【详解】法一：因为，，依题意，曲线，曲线，且曲线有两个交点，方程在上有两解，即方程在上有两解，令，所以方程有两解等价于函数的图象与的图象有两个交点.易知直线恒过定点，斜率为，又由得，令，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，作出的图象如图所示，设直线是的图象的切线，设切点为，则切线斜率为，所以切线的方程为，又直线经过点，所以，即，解得或，所以或，由图知，当或即或时，函数的图象与的图象有两个交点，即曲线有两个交点，故实数的取值范围是.法二：因为，依题意，曲线，曲线，且曲线有两个交点，方程在上有两解，即方程在上有两解，当时，，此时；当时，即方程上有两解，令，则图象与的图象有两个交点.又，令，则或，当或时，单调递减，当或时，单调递增，又，且当时，，当时，，当时，，所以的大致图象如图所示，要使图象与的图象有两个交点，则或，所以实数的取值范围是.故方法点睛：利用导数证明形如的不等式恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极值；【正确答案】（1）（2）极小值为，无极大值【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程；（2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值.【小问1详解】，，故的图象在点处的切线为，即；【小问2详解】的定义域为，由（1）知，令得，令得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故在上取得极小值，极小值为，无极大值；16.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在的最小值.【正确答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性；（2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值.【小问1详解】由题意知的定义域为，，①若，恒成立，所以在上单调递减.②若，由，得，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由（1）知，在单调递减，在单调递增.①当，即时，在单调递减，当时，有最小值；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增.当时，有最小值；③当，即时，在上单调递增，当时，有最小值；综上.17.已知函数.（1）若函数不单调，求实数的取值范围；（2）若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将函数不单调转化为在上存在变号零点，进而转化为在区间上存在变号零点，结合二次函数区间根问题分析可得；（2）利用导数分析函数的单调性，再结合可得.【小问1详解】由题意，.，设，，当即时，，，当时，，当时，，故函数不单调，满足题意；当，即时，函数开口向下，因，故，使得当时，，当时，，故函数不单调，满足题意；当时，，无解，此时，，函数单调递增，不满足题意；当时，的开口向上，对称轴为，Δ=故在上有两个不同的零点，，此时当或时，，当时，，故函数不单调，满足题意；综上可知函数不单调时，实数的取值范围为.【小问2详解】设，由题意可知由唯一零点，，，设，当，即时，，单调递增，结合可知满足题意，当时，，，单调递增，满足题意；当时，，Δ′=a+3设此时的两个根分别为，则在区间上单调递增，在上单调递减，，故，又当x>−1,x→−1时，，当时，，故的零点不唯一，综上可知实数的取值范围.18.已知函数．（1）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；（2）记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合函数有3个零点求参数的取值范围；（2）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解.【小问1详解】函数在处有极值，可得，解得，经检验，满足题意，所以当时，在单调递减；当或时，在上单调递增，可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为，方程有3个不同的实根，等价为，即有的取值范围是.【小问2详解】在递减，可得时，，，即为，即即为即对任意且时恒成立.所以在递减；在递增.当恒成立时，可得，即在恒成立，在上单调递增，即，则.当在恒成立时，可得，即在恒成立，，当时等号成立，则，则.综上可得的取值范围是.关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解.19.已知函数，．（1）若函数在单调增，求实数a的取值范围：（2）当时，，求实数a的值；（3）求证：．【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）函数在某区间单调递增，可通过其导数在该区间大于等于0恒成立来求解参数范围；（2）要根据函数在给定区间的取值情况确定参数值，需结合函数的单调性等性质进行分析；（3）证明不等式需要利用前面得到的