2024-2025学年广东省广州市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广东省广州市高二下学期3月月考数学检测试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，则（）A. B.2 C. D.6【正确答案】C【分析】根据导数的定义，结合导数的计算，可得答案.【详解】∵，，∴.故选：C.2.定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论错误的是（）A.是的一个极小值点B.和都是的极大值点C.的单调递增区间是D.的单调递减区间是【正确答案】B【分析】根据导函数的图象和极值点的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，由图象可知，当时，，当时，，所以是的一个极小值点，所以A正确，对于B，由图可知，当时，，所以在上单调递增，所以和不是的极值点，所以B错误，对于C，当时，，所以的单调递增区间是，所以C正确，对于D，当时，，所以的单调递减区间是，所以D正确，故选：B3.等差数列中，，则其前100项和为（）A.5050 B.10010 C.10100 D.11000【正确答案】C【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案【详解】∵，∴，解得，所以故选：C.4.从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（）A.10 B.60 C.243 D.15【正确答案】B分析】根据排列定义即可求解．【详解】不同的方法总数是故选：B5.若在上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，求的范围即可.【详解】在上是减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，当在上单调递增，则，则则实数a的取值范围是.故选：C6.已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将问题转化为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,然后利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,结合图象分析可得答案.【详解】因为，且，使得,所以函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,因为,由,得或,由得,所以函数在,上单调递增,在上单调递减,所以函数的极大值为,极小值为,函数的图象如图所示:由图可知,.故选:C本题考查了转化划归思想,数形结合思想,利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,由函数图象的交点个数求参数,本题属于中档题.7.已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是A.恒成立 B.恒成立C. D.当时，；当时，【正确答案】A【详解】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案为A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力.(2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.8.对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题得，设，，，求出，解不等式即得解.【详解】，则，设，，，则，，恒成立，导函数单调递减，故时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故，故，故.故选：A本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A，，A正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D正确.故选：AD10.已知数列的前项和公式为，则（）A.，，成等差数列B.，，成等差数列C.数列是递增数列D.数列是递增数列【正确答案】BCD【分析】根据，可求得，，的值，可判定选项A；结合函数的单调性，可判定选项D；根据时，可求得，继而可判定选项B,C.【详解】因为，所以,,,则,故，，不成等差数列，A错误；又函数的对称轴为，所以函数在上单调递增；故数列是递增数列，则D正确；又，当时，，满足上式，故，则数列是递增数列，C正确；切，故，，成等差数列，B正确，故选：BCD.11.关于函数，下列判断正确的是（）．A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得成立D.对任意两个正实数，且，若，则．【正确答案】BD【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，所以在内，，函数单调递减；在上，，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；对于选项B，由，得，由于分子判别式小于零，所以恒成立，所以函数在，上单调递减，且，所以函数有且只有1个零点，故B正确；对于选项C，若，可得，令，则，令，则，所以在内，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，所以，所以，所以函数在上单调递减．又因为当时，，所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；对于选项D，设，即有，，即为，化为，故，所以，则，设（），可得，令，则在上恒成立，可得，所以，故单调递增，可得，故成立，故D正确．故选：BD.方法点睛：（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的导函数为，且满足，则__________．【正确答案】【分析】由求导计算公式求出，从而可求解.【详解】由题意得，则，令，得，解得.故答案为.13.已知数列满足，，则的通项公式________.【正确答案】【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以，可得数列是等比数列，可求得结果.【详解】，，，又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，，解得，.故，.14.设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．【正确答案】①.②.【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.【详解】的导数为，则时，，单调递减；时，，单调递增，可得在处取得极小值，且为最小值；令，，又对任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；时，，当且仅当时取得最小值2，，，则时，，单调递减；时，，单调递增，可得在处取得极小值，且最小值；所以，由，可得．所以的取值范围是.方法点睛：不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）求曲线过点的切线的方程.【正确答案】（1）递增区间为R，无递减区间；（2）或【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调区间；（2）设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，求出或3，得到切线方程.【小问1详解】的定义域为R，恒成立，故单调递增区间为R，无递减区间；【小问2详解】，点不在上，，设切点，则，所以切线方程为，将代入得，化简得，解得或3，当时，切线方程为，当时，切线方程为，综上，过点的切线的方程为或.16.已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【正确答案】（1）;（2）【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前项和公式建立方程组，解出即可；（2）因为，裂项相消求和即可.【小问1详解】设数列的公差为，数列的等比为，因为，，，所以，解得，.【小问2详解】因为，所以，则，所以.17.如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.（1）证明：平面PAB；（2）若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，通过证明可完成证明；（2）通过证明，可建立如图所示空间直角坐标系，求出平面平面PBC法向量，然后由空间向量知识可得答案.【小问1详解】取PA中点为F，连接EF，FB，则，且，从而四边形为平行四边形.则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB；【小问2详解】如图取AD中点为O，连接OP，OB.因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，则.因，，则四边形为平行四边形，则，，结合，则，，结合，则为等边三角形，得.又，，则，故.又，平面ADCB，则.故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系.则，因E为PD的中点，则.从而，，.设平面PBC法向量为，则，取，设直线CE与平面PBC的夹角为，则，从而.18.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？【正确答案】（1）（2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数；（2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值.【小问1详解】由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.因此本年度的年利润.【小问2详解】本年度年利润为，则，令，解得或(舍去).当时，，当时，，所以时，有最大值.所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.19.已知函数，.（1）当时，求的极值点；（2）讨论的单调性；（3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围.【正确答案】（1）极大值点，无极小值点；（2）当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（3）.【分析】（1）当时，利用导数求得函数的单调区间，进而得到极值．（2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案.（3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案.【小问1详解】当时，，定义域为.，