2024-2025学年安徽省合肥市高二下册3月联考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年安徽省合肥市高二下学期3月联考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A.1 B.0 C. D.【正确答案】B【分析】根据导数定义结合导数运算律计算求解即可.【详解】因为，所以，所以．故选：B．2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B.10 C.19 D.38【正确答案】C【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解.【详解】因为数列是等差数列，所以．故选：C．3.下列求导的运算正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据导数的运算法则，逐项判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：C4.已知单调递减的等比数列满足，则（）A. B. C.512 D.1024【正确答案】A【分析】应用等比数列基本量运算求解.【详解】在等比数列中，，所以，又，解得，设的公比为q，则，解得，因为单调递减，所以．故选：A5.已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，过点F作，交直线m于点E，由抛物线的定义可知，，所以当P在线段上时，取得最小值，．故选：B.6.在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（）A.2 B. C. D.【正确答案】C【分析】设点，因为可得点P的轨迹是以为圆，以为半径的圆，进而求出点P到直线的最大距离即可求得面积的最大值.【详解】设点，因为，所以，整理得，所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以点P到直线的最大距离，所以面积的最大值为．故选：C.7.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价，再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，所以在上单调递减，因，所以不等式可变为，即，所以，即，所以不等式的解集为．故选：D．8.郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（）A. B.5 C. D.【正确答案】D【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出.【详解】因，所以，所以．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线C表示椭圆B.当时，曲线C表示双曲线C.曲线C可能表示两条直线D.曲线C不可能表示抛物线【正确答案】BD【分析】根据椭圆、双曲线的标准方程，结合直线、抛物线方程，可得答案.【详解】若曲线C表示椭圆，则，解得，故A错误；若曲线C表示双曲线，则，解得，故B正确；曲线C不可能表示两条直线，故C错误；无论m取何值，曲线C都不可能表示抛物线，故D正确．故选：BD．10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象在的切线的斜率为0B.函数在上单调递减C.是函数的极小值点D.是函数的极大值【正确答案】AD【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可.【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．故选：AD.11.将个数排成行列的一个数阵，如：………该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】根据结合，求得，根据等差数列、等比数列通项公式求得，，根据等比数列、等差数列求和公式得到.【详解】因为，所以，解得（舍去），故A正确；，，故B错误；，，故C正确；，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的图象在处的切线方程是____________．【正确答案】【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程.【详解】由已知，得，所以，所以所求切线方程为，即.故答案为.13.已知数列的前n项和为，若，则____________．【正确答案】2500【分析】先化简已知条件得出数列是常数列，再计算求出通项公式，最后应用等差数列求和公式计算.【详解】因为，所以，所以数列是常数列，因为，所以，所以.故2500.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支和左支分别交于点A，B，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线C的离心率为____________．【正确答案】【分析】根据余弦定理，面积公式及二倍角正弦公式计算得出，再结合双曲线定义设，计算求出离心率即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，即，设，由的面积是面积的2倍，得，则，在中，，所以，解得，所以，因为，所以，得，即，所以双曲线C的离心率为．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N．（1）求a的值及直线l的方程；（2）若是等腰直角三角形，求直线的方程．【正确答案】（1），（2）或【分析】（1）问通过公切线的条数判断圆与圆的位置关系；（2）问通过直线的垂直关系求直线的方程．【小问1详解】可化为，圆心，半径，可化为，圆心，半径．因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得．两圆相减，得公切线l的方程为，即．【小问2详解】由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，由（1）可知直线的斜率，所以直线的斜率．设直线的方程为，所以点到直线的距离，解得或．所以直线的方程为或．16.已知数列满足．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【正确答案】（1）证明见解析，（2）【分析】（1）通过等比数列的概念证明等比数列，并求通项公式；（2）运用分组求和法与错位相减法求和．【小问1详解】证明：因为，所以，所以．因为，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，即．【小问2详解】解：因为，所以．其中．令，，两式相减，得．所以，所以．17.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：对且，都有．【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性；（2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可．【小问1详解】因为，定义域为，所以．当时，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，恒成立，所以函数在上单调递增．当时，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】不妨设，则，要证对，都有，只需证，即需证．构造函数，则要证，需证函数在上为增函数，因为，所以函数在上为增函数成立，所以当时，对且，都有．18.已知椭圆C中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点．（1）求C标准方程；（2）若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）运用点在椭圆上求椭圆的方程；（2）通过直线与椭圆方程的联立，用设而不求法求弦长，通过构造新函数求四边形面积的取值范围．【小问1详解】设C的方程为，将点代入，得解得所以C的标准方程为．【小问2详解】由（1）可知，，当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，，当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，，所以四边形的面积．当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立得，由题意得．所以，同理，四边形的面积．令，则，所以当，即时，，所以．综上所述，四边形面积的取值范围．19.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面．（1）若点，求平面的方程；（2）求证：是平面的一个法向量；（3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值．【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程；（2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离；（3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值．【小问1详解】，设是平面的一个法向量，则令，得，所以．设点是平面内任意一点，由，得，所以平面的