2024-2025学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之同角三角函数的基本关系

第16页（共16页）2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之同角三角函数的基本关系一．选择题（共5小题）1．（2025•官渡区校级开学）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin5πA．-3 B．-33 C．332．（2025•镇雄县校级开学）已知tan(π2A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．53．（2025•小店区校级开学）已知θ∈（0，π），sinθ+A．θ∈(π2，C．cosθ=-354．（2024秋•定州市期末）已知sinα+cosαsinα-cosα=3，则A．55 B．25 C．34 5．（2024秋•丹阳市期末）设tanα=-1A．-35 B．35 C．﹣1 二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•张家口开学）已知θ∈A．θ∈(π2，C．tanθ=-158（多选）7．（2025•镇雄县校级开学）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，下列正确的选项为（）A．若角α的终边在第一象限，则角α为锐角 B．若cosα=45C．若角α的终边过点P（﹣3，﹣4），则tanα=D．若角α是三角形中一个内角且满足tanα＝﹣2，则cosα（多选）8．（2024秋•建华区校级期末）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=1A．θ∈（0，π2） B．cosθ=C．tanθ=-34 D．sinθ﹣三．填空题（共4小题）9．（2024秋•长宁区校级期末）已知α是第二象限角，且sinα=45，则cosα＝10．（2025•荣县校级开学）已知cosx=35，则sinxsin2x11．（2025•儋州校级开学）已知α是第三象限的角，tan（π+α）＝2，则sinα＝，2sinα-cosαsinα12．（2025•河南模拟）已知tanα＝3，则sinα-2cosα2四．解答题（共3小题）13．（2024秋•黑龙江期末）已知α是第二象限角．（1）化简1+sinα（2）若2sinα+cosα14．（2024秋•贵港校级月考）已知角θ为第二象限的角，且tanθ=（1）求三角函数sinθ，cosθ的值；（2）求sin(-15．（2024秋•成都期末）（1）若角α满足0＜α＜π，且sinα+cosα=15，求sinαcosα，sin（2）若集合A＝{x|a+1＜x＜3a﹣2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且A⊆B，求实数a的取值范围．

2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之同角三角函数的基本关系参考答案与试题解析题号12345答案BCBBA一．选择题（共5小题）1．（2025•官渡区校级开学）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin5πA．-3 B．-33 C．33【考点】同角正弦、余弦的商为正切；任意角的三角函数的定义．【专题】整体思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．【解答】解：若角α的终边经过点P(则tanα=cos故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．2．（2025•镇雄县校级开学）已知tan(π2A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】利用诱导公式化简，再结合同角三角函数之间的基本关系由弦化切计算可得结果．【解答】解：由已知可得-1tanα=-13，则所以sinα+2故选：C．【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．3．（2025•小店区校级开学）已知θ∈（0，π），sinθ+A．θ∈(π2，C．cosθ=-35【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式来求得正确答案．【解答】解：将已知等式两边平方得1+2sinθcosθ又θ∈（0，π），可得sinθ＞0，cosθ＜0，可得θ∈则sinθ﹣cosθ＞0，可得(sinθ所以sinθ-由于sinθ+cosθ=所以tanθ=所以ACD选项正确，B选项错误．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．4．（2024秋•定州市期末）已知sinα+cosαsinα-cosα=3A．55 B．25 C．34 【考点】同角正弦、余弦的商为正切．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，推得tanα＝2，再根据三角函数的同角公式，将弦化切，即可求解．【解答】解：sinα+则sinα+cosα＝3sinα﹣3cosα，解得tanα＝2，故cosα•sinα=cosα故选：B．【点评】本题主要考查弦化切求三角函数值，属于基础题．5．（2024秋•丹阳市期末）设tanα=-1A．-35 B．35 C．﹣1 【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为tanα=所以sin故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•张家口开学）已知θ∈A．θ∈(π2，C．tanθ=-158【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】ABC【分析】由sinθ+cosθ=717，平方可得2sinθcosθ=-240【解答】解：θ∈则(sinθ所以2sinθcosθ又因为θ∈（0，π），则sinθ＞0，cosθ＜0，所以θ∈(π又sinθ﹣cosθ＞0，(sinθ所以sinθ-cosθ=对B：联立sinθ+cosθ=717sinθ-cosθ=2317故选：ABC．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系三角函数求值，为中档题．（多选）7．（2025•镇雄县校级开学）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，下列正确的选项为（）A．若角α的终边在第一象限，则角α为锐角 B．若cosα=45C．若角α的终边过点P（﹣3，﹣4），则tanα=D．若角α是三角形中一个内角且满足tanα＝﹣2，则cosα【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BD【分析】对于A，举例判断，对于B，由同角三角函数的关系求解判断，对于C，由任意角的三角函数的定义分析判断，对于D，由同角三角函数的关系列方程组求解判断．【解答】解：A：当α=7πB：因为sin2α+cos2α＝1，cosα=45，所以sinαC：因为角α的终边过点P（﹣3，﹣4），所以tanα=-4D：由tanα＝﹣2，则α为钝角，于是cosα＜0，由sinαcosα=-2sin2α+cos2α=1，得故选：BD．【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．（多选）8．（2024秋•建华区校级期末）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=1A．θ∈（0，π2） B．cosθ=C．tanθ=-34 D．sinθ﹣【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BD【分析】先对sinθ+cosθ=15两边平方求出sinθcosθ的值，即可判断出θ所在的象限，再求出（sinθ﹣cosθ）2的值，从而求出sinθ，cosθ，tan【解答】解：∵sinθ+cosθ=1∴两边平方得：1+2sinθcosθ=1∴sinθcosθ=-∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈（0，π），∴θ∈（π2，π），故A∴sinθ＞cosθ，∴（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ=49∴sinθ﹣cosθ=75，故又∵sinθ+cosθ=1∴sinθ=45，cosθ=-35，tanθ=故选：BD．【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•长宁区校级期末）已知α是第二象限角，且sinα=45，则cosα＝【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】方程思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．【答案】-3【分析】根据同角三角函数间的基本关系即可求解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=∴由同角三角函数间的基本关系得：cosα=故答案为：-3【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（2025•荣县校级开学）已知cosx=35，则sinxsin2x【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】35【分析】根据题意，利用倍角公式，进行化简，即可求解．【解答】解：因为cosx=35故答案为：35【点评】本题考查了二倍角的正余弦公式，是基础题．11．（2025•儋州校级开学）已知α是第三象限的角，tan（π+α）＝2，则sinα＝-255，2sinα【考点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】-2【分析】根据同角三角函数的基本关系及tanα＝2，以及α是第三象限角即可求出sinα的值，并得出2sinα【解答】解：∵α是第三象限角，tanα＝2，∴cosα=sinα2∴sinα=-2故答案为：-2【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，正切函数的诱导公式，是基础题．12．（2025•河南模拟）已知tanα＝3，则sinα-2cosα2【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】17【分析】由tanα＝3得sinα＝3cosα，代入所求式子可得答案．【解答】解：若tanα=sinαcosα=3，则sinα所以sinα-故答案为：17【点评】本题考查的知识点：三角函数的化简问题，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•黑龙江期末）已知α是第二象限角．（1）化简1+sinα（2）若2sinα+cosα【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）﹣2tanα；（2）2625【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角α的象限确定开方符号，最后化简得结果；（2）先根据条件解得tanα，再将待求式化成关于sinα、cosα的齐次分式，并利用弦化切求结果．【解答】解：（1）因为α为第二象限角，所以cosα＜0，所以1+=1+sinα|（2）由2sinα+cosαsinα-2cosα=12，得所以12sin2α﹣3sinαcosα﹣2cos2α==1=1=26【点评】本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．14．（2024秋•贵港校级月考）已知角θ为第二象限的角，且tanθ=（1）求三角函数sinθ，cosθ的值；（2）求sin(-【考点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）sinθ=513（2）-17【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求sinθ和cosθ的值；（2）利用诱导公式化简，由齐次式代入已知条件求值．【解答】解：（1）角θ为第二象限的角⇒sinθ＞0，cosθ＜0，又tanθ=-sin2θ+cos2θ＝1，②联立①②，解得sinθ=513（2）sin=-【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，为基础题．15．（2024秋•成都期末）（1）若角α满足0＜α＜π，且sinα+cosα=15，求sinαcosα，sin（2）若集合A＝{x|a+1＜x＜3a﹣2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且A⊆B，求实数a的取值范围．【考点】同角三角函数间的基本关系；集合的包含关系的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）sinαcosα=-12（2）（﹣∞，53]【分析】（1）根据sinα+cosα与sinαcosα关系及已知求sinαcosα，进而可得sinα=45，cosα=-3（2）解一元二次不等式求集合B，讨论A＝∅、A≠∅求参数范围即可．【解答】解：（1）由（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα=1可得sinαcosα=又0＜α＜π，则sinα＞0＞cosα，可得sinα=所以sinα-（2）由题设A＝{x|a+1＜x＜3a﹣2}，B＝{x|0＜x＜3}，又A⊆B，当A＝∅，则a+1≥3a﹣2，可得a≤当A≠∅，则3a-2综上，a≤53，即实数a的取值范围为（﹣∞，【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．

考点卡片1．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，2．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．4．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α5．同角正弦、余弦的商为正切【知识点的认识】同角三角函数的基本关系（2）商数关系：sinαcosα=tan同角正弦和余弦的商为正切．【解题方法点拨】﹣利用关系式tanθ=﹣结合具体问题，应用关系式简化三角函数表达式．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用关系式简化三角函数表达式，结合具体问题应用关系式求解．已知tanα＝﹣3，求下列各式的值：（1）sinα-（2）1si解：tanα＝﹣3，（1）sinα-cosα（2）1si6．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积