2024-2025学年上学期高二数学人教A版期中必刷常考题之数学归纳法

第19页（共19页）2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之数学归纳法一．选择题（共5小题）1．（2023秋•虹口区校级期末）用数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 BC．12k+1+2．（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+⋯+12nA．增加了12(B．增加了12C．增加了12k+1D．增加了12k3．（2024春•青浦区校级期末）用数学归纳法证明“对任意偶数n，an﹣bn能被a﹣b整除”时，其第二步论证应该是（）A．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝k+1时命题也成立 B．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立 C．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立 D．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2（k+1）时命题也成立4．（2023秋•永宁县期末）用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+（2n﹣1）+2n＝2n2+n（n∈N*），当n＝k+1（k∈N*）时，等式左边应在n＝k时的基础上加的项是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．15．（2024春•大连期中）用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（）A．2 B．3 C．4 D．5二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024春•东昌府区期中）对于不等式n2①当n＝1时，12②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即k2则当n＝k+1时，(k故当n＝k+1时，不等式成立．则下列说法错误的是（）A．过程全部正确 B．n＝1的验证不正确 C．n＝k的归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确（多选）7．（2023春•斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（）A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n边形的对角线条数g（多选）8．（2021春•滨湖区校级期中）对于不等式n2+n＜n+1（n①当n＝1时，12+1②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，(k+1)2+(k+1)=(k2+3关于上述证明过程的说法正确的是（）A．证明过程全都正确 B．当n＝1时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确三．填空题（共4小题）9．（2024秋•长沙县校级期末）用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n-1＜n（n10．（2024春•虹口区校级期末）记f（n）＝1+2+3+⋯+（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了项．11．（2023秋•闵行区校级期末）用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12=n(2n2+1)3时，第（ii）步从n＝k到n＝k+112．（2023秋•普陀区期中）用数学归纳法证明12+22+32+⋅⋅⋅+n2=n(n+1)(2n+1)6（n∈N，四．解答题（共3小题）13．（2024秋•上海校级期中）已知等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，前n项和为Sn．若a1＝d＝1，用数学归纳法证明：i=114．（2024春•西城区校级期中）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有an（1）直接写出a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．15．（2024秋•泰安期中）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1．证明当n＝n0（n0∈N）时命题成立；2．假设n＝k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，推导出在n＝k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立．已知有穷递增数列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定义：集合A={(x，y)|x=ai，y=aj，1≤i，j≤n，i，j∈N*}，若对∀（x1，y1）∈A，∃（1）若数列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性质T，求实数m的值；（2）若{an}具有性质T，且a2＝1，a3＝2，（ⅰ）猜想当n≥2时{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；（ⅱ）求32a2+2

2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之数学归纳法参考答案与试题解析题号12345答案DCDCD一．选择题（共5小题）1．（2023秋•虹口区校级期末）用数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 BC．12k+1+【考点】数学归纳法．【专题】规律型．【答案】D【分析】只须求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为1k当n＝k+1时，左边的代数式为1k故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：1k故选：D．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n＝1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．2．（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+⋯+12nA．增加了12(B．增加了12C．增加了12k+1D．增加了12k【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．【答案】C【分析】分别求出当n＝k，n＝k+1时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解．【解答】解：当n＝k时，不等式左边为1k当n＝k+1时，不等式的左边为1k故不等式左边增加了12k+1故选：C．【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．3．（2024春•青浦区校级期末）用数学归纳法证明“对任意偶数n，an﹣bn能被a﹣b整除”时，其第二步论证应该是（）A．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝k+1时命题也成立 B．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立 C．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立 D．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2（k+1）时命题也成立【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】D【分析】根据n为正偶数，故第二步的假设应写成：假设n＝2k+2，k∈N*时命题正确，再推n＝2k+2时正确．【解答】解：根据证明的结论，n为正偶数，故第二步的假设应写成：假设n＝2k，k∈N*时命题正确，即当n＝2k，k∈N*时，a2k﹣b2k能被a﹣b整除，再推n＝2k+2时正确．故选：D．【点评】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法的证题步骤，属于基础题．4．（2023秋•永宁县期末）用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+（2n﹣1）+2n＝2n2+n（n∈N*），当n＝k+1（k∈N*）时，等式左边应在n＝k时的基础上加的项是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．1【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．【答案】C【分析】分别令n＝k+1，n＝k，然后作差求解．【解答】解：等号左边加的项是[1+2+3+4+⋯+2k+（2k+1）+（2k+2）]﹣（1+2+3+4+⋯+2k），＝（2k+1）+（2k+2）．故选：C．【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．5．（2024春•大连期中）用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】利用数学归纳法的证明步骤，通过验证n＝1，n＝1，n＝2，n＝4，n＝5，判断即可．【解答】解：用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52．故选：D．【点评】本题考查数学归纳法的应用，证明步骤的应用，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024春•东昌府区期中）对于不等式n2①当n＝1时，12②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即k2则当n＝k+1时，(k故当n＝k+1时，不等式成立．则下列说法错误的是（）A．过程全部正确 B．n＝1的验证不正确 C．n＝k的归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】ABC【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论．【解答】解：适合命题的第一个自然数n＝1，验证n＝1时过程正确；假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即k2在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k+1的推理不正确，故D错误，ABC正确．故选：ABC．【点评】本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题．（多选）7．（2023春•斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（）A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n边形的对角线条数g【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑；运算求解．【答案】ABC【分析】对于命题A，可以验证当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；对于命题B，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝1时，不成立，所以满足条件；对于命题C，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；对于命题D，凸n边形对角线条数f（n）=n(n-2)2，假设n＝k时命题成立，当n＝k+1时多了一条边，即多了一个顶点，故多了k个【解答】解：对于命题A，2n＞2n+1（n≥2），当n＝2的时有4＜5，故当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；对于命题B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），假设n＝k时命题成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，当n＝k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，故对n＝k+1时命题也成立，对于初始值n＝1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件；对于命题C，凸n边形内角和为f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），假设n＝k时命题成立，即f（k）＝（k﹣1）π，当n＝k+1时有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故对n＝k+1时命题也成立，对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；对于命题D，凸n边形对角线条数f（n）=n假设n＝k时命题成立，即f（k）=k当n＝k+1时，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1=k(k-2)故选：ABC．【点评】本题考查了数学归纳法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（多选）8．（2021春•滨湖区校级期中）对于不等式n2+n＜n+1（n①当n＝1时，12+1②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，(k+1)2+(k+1)=(k2+3k关于上述证明过程的说法正确的是（）A．证明过程全都正确 B．当n＝1时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】BD【分析】利用数学归纳法的证明步骤，写出正确的证明过程，即可判断选项中的命题是否正确．【解答】解：用数学归纳法证明n2+n＜n+1（n①当n＝1时，12+1＜1+1，即②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，两边平方得，k2+k＜k2+2k+1，即0则n＝k+1时，(k+1)2+(k+1)所以当n＝k+1时，不等式也成立．由此知，原证明过程的说法中，正确的是BD．故选：BD．【点评】本题考查了数学归纳法的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•长沙县校级期末）用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n-1＜n（n【考点】数学归纳法．【专题】计算题；规律型；分析法；推理和证明．【答案】见试题解答内容【分析】观察不等式的特点，然后写出结果即可．【解答】解：1+12+13+⋯+12n-1左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k﹣1，结束；第一步要证的不等式是：1+1故答案为：1+1【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键．10．（2024春•虹口区校级期末）记f（n）＝1+2+3+⋯+（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3项．【考点】数学归纳法．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】3．【分析】根据给定条件，分析从n＝k到n＝k+1时式子的变化即可作答．【解答】解：因为f（k）＝1+2+3+⋯+（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+⋯+（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），所以不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3项．故答案为：3．【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．11．（2023秋•闵行区校级期末）用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12=n(2n2+1)3时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是2k【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．【答案】2k2+2k+1．【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答．【解答】解：n＝k时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；当n＝k+1时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；观察两式易知增加的项为：（k+1）2+k2＝2k2+2k+1．故答案为：2k2+2k+1．【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．12．（2023秋•普陀区期中）用数学归纳法证明12+22+32+⋅⋅⋅+n2=n(n+1)(2n+1)6（n∈N，n≥1）的过【考点】数学归纳法．【专题】对应思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（k+1）2．【分析】由题意，整理n取不同值时的式子，对比可得答案．【解答】解：由题意，当n＝k时，所得式子为12+22+32+⋯+k2；当n＝k+1时，所得式子为12+22+32+⋯+k2+（k+1）2；所以当n＝k+1时，左端应在n＝k时的左端上加上（k+1）2．故答案为：（k+1）2．【点评】本题考查数学归纳法的步骤，考查转化思想和运算能力，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•上海校级期中）已知等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，前n项和为Sn．若a1＝d＝1，用数学归纳法证明：i=1【考点】数学归纳法证明命题；求等差数列的前n项和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】证明见解析．【分析】根据给定条件，求出等差数列{an}的通项an，前n项和为Sn，再利用数学归纳法证明．【解答】证明：等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，前n项和为Sn．若a1＝d＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，Sn＝n+12n（n﹣1）=12（n下面运用数学归纳法证明：当n＝1时，a13=1假设当n＝k（k∈N*）时，原等式成立，即i=1k则当n＝k+1时，i=1k+1ak+13=i=(即当n＝k+1时，原等式成立，所以对一切n∈N*，等式i=1【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14．（2024春•西城区校级期中）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有an（1）直接写出a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法证明命题．【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．【答案】（1）a2（2）猜想：an【分析】（1）直接结合数列递推式，即可求解；（2）结合数学归纳法的法则，即可证明．【解答】解：（1）a2（2）猜想：an=1下用数学归纳法证明：①当n＝1时，（*）成立．②假设n＝k（k≥1）时（*）成立，即ak则当n＝k+1时，ak故（*）对n＝k+1也成立．由①②，对任意n∈N*，（*）成立，即an【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题．15．（2024秋•泰安期中）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1．证明当n＝n0（n0∈N）时命题成立；2．假设n＝k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，推导出在n＝k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立．已知有穷递增数列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定义：集合A={(x，y)|x=ai，y=aj，1≤i，j≤n，i，j∈N*}，若对∀（x1，y1）∈A，∃（1）若数列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性质T，求实数m的值；（2）若{an}具有性质T，且a2＝1，a3＝2，（ⅰ）猜想当n≥2时{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；（ⅱ）求32a2+2【考点】数学归纳法．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．【答案】（1）4；（2）（ⅰ）an=2【分析】（1）讨论（x1，y1）的不同取法，根据性质T的定义，结合数列的单调性，即可求得参数值；（2）（ⅰ）猜想an=2（ⅱ）利用（ⅰ）中所求通项公式，利用裂项求和法，即可求得结果．【解答】解：有穷递增数列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定义：集合A={(若对∀（x1，y1）∈A，∃（x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2＝0，则称{an}具有性质T．（1）若数列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性质T，当（x1，y1）＝（﹣1，m）时，取（x2，y2）＝（m，1），满足题意；当（x1，y1）＝（1，m）时，取（x2，y2）＝（m，﹣1），满足题意；当（x1，y1）＝（2，m）时，2x2+my2＝0，此时x2，y2中有且仅有一个数为﹣1，若x2＝﹣1，则m=若y2＝﹣1，则m＝2x2＝2或4或2m，又因为m＞2，故m＝4；综上所述，m＝4．（2）（ⅰ）若{an}具有性质T，且a2＝1，a3＝2，猜想an运用数学归纳法证明如下：当n＝2时，an假设n＝k时，ak=2k-2若（x1，y1）＝（﹣1，ak+1），则取（x2，y2）＝（ak+1，1）满足题意；若（x1，y1）＝（ai，ak+1），i＝2，3，⋯，k+1，则x2，y2中有且仅有一个数为﹣1，当x2＝﹣1时，设y2＝aj，j＝2，3，⋯，k+1，则﹣ai+ak+1aj＝0，故ak+1=aiaj≤ai当y2＝﹣1时，设x2＝aj，j＝2，3，⋯，k+1，则ai记i+j﹣4＝p，则j＝p﹣i+4；因为对任意的i＝2，3，⋯，k+1，都有j＝p﹣i+4＝p﹣k+3，p﹣k+4，⋯，p+2在2，3，4，⋯，k+1中取到，则2≤p-k+3p+2≤故i+j＝k+3，故ak综上，an（ⅱ）因为n≥2时，n+1故3=2-【点评】本题考查数列的新定义和数列的性质，以及数学归纳法的应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

考点卡片1．求等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝a3，a4＝5，则Sn＝_____．解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n•a1+n(n-1)2•2＝故答案为：n2﹣2n．2．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．3．数学归纳法的适用条件与步骤【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题