2024-2025学年上学期高一数学人教A版期中必刷常考题之平面向量的基本定理及坐标表示

第18页（共18页）2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之平面向量的基本定理及坐标表示一．选择题（共5小题）1．（2024秋•合肥期末）已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足OM→A．13 B．512 C．12 2．（2024秋•丹东期末）已知向量a→=(x，1)，bA．﹣2 B．2 C．-12 D3．（2024秋•朝阳期末）如图，四边形ABCD中，AB→=2DC→，E为线段AD的中点，F为线段A．-CB→-12CD→ B．CB→4．（2025•山东模拟）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF→A．34AB→+14AD→ B．15．（2025•扬州校级模拟）如图，已知AB→=a→，AC→=b→，BC→A．34b→-13a→ B．5二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•威海期末）设向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣（多选）7．（2024秋•锦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→与ON→夹角为π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D（多选）8．（2024秋•辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e三．填空题（共4小题）9．（2024秋•丹东期末）在△ABC中，D是BC上一点，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→10．（2024秋•海淀区期末）已知向量a→=（x，1），a→-2b→=（x，﹣1），则b→=11．（2024秋•安徽期末）已知向量a→=(λ-1，2-λ)，12．（2024秋•邢台期末）已知向量a→=（m，3），b→=（2，﹣5），若（a→+b→）⊥b四．解答题（共3小题）13．（2024秋•中山区校级期末）在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点，点M为形内一点．（1）如图，若点M满足5AM→=2AC→-BC（2）若点O为△ABC的外心，点M满足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋•大连校级期末）已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→（1）求实数λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．15．（2024秋•房山区期末）已知向量a→=(-1，（1）求|a（2）若向量c满足2a→-（3）在（2）的条件下，若a→-mc→

2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之平面向量的基本定理及坐标表示参考答案与试题解析题号12345答案DADDB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•合肥期末）已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足OM→A．13 B．512 C．12 【考点】平面向量的基本定理．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据空间共面向量定理的推论得到λ+【解答】解：因为OM→=λOA→+所以λ+16故选：D．【点评】本题考查空间共面向量定理的应用，属于基础题．2．（2024秋•丹东期末）已知向量a→=(x，1)，bA．﹣2 B．2 C．-12 D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据平面向量平行的结论求参数．【解答】解：向量a→=(x，1)则﹣2x﹣4＝0⇒x＝﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．3．（2024秋•朝阳期末）如图，四边形ABCD中，AB→=2DC→，E为线段AD的中点，F为线段A．-CB→-12CD→ B．CB→【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据向量的线性运算即可求解．【解答】解：由题意，AB→=2DC→，F为AB上靠近B的四等分点，则EF=-=1故选：D．【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．4．（2025•山东模拟）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF→A．34AB→+14AD→ B．1【考点】平面向量的基本定理．【专题】计算题；平面向量及应用．【答案】D【分析】根据题意得：AF→【解答】解：根据题意得：AF→又AC→=AB所以AF→故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题5．（2025•扬州校级模拟）如图，已知AB→=a→，AC→=b→，BC→A．34b→-13a→ B．5【考点】平面向量的基本定理．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【答案】B【分析】根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出．【解答】解：∵BC→=4∴DC→=3∴DE→=DC→+CE→=3故选：B．【点评】本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•威海期末）设向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（x+4，x），b→=（若a→⊥b则（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，故x＝0是a→⊥b→的充分条件，故A正确；x＝﹣6是a→⊥b若a→则2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，故a→∥b→是x＝4的必要条件，故C正确；a→∥b故选：AC．【点评】本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．（多选）7．（2024秋•锦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→与ON→夹角为π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考点】平面向量的基本定理；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】CD【分析】由题意将OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以OM→因为|OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1结合选项可得C，D符合题意．故选：CD．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．（多选）8．（2024秋•辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可．【解答】解：要使平面中两个向量作为基底，必须满足是非零向量，且不共线，故A不能作为基底；对于B，由e1→=2对于D，由e1→=-5对于C，两向量不存在倍数关系，所以C能作为基底．故选：ABD．【点评】本题考查平面向量基底的概念及判定，属基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•丹东期末）在△ABC中，D是BC上一点，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】4AD【分析】由题意可得出BD→=3DC→，利用平面向量的减法可得出AB→【解答】解：由题知，BD→所以AD→-AB故答案为：4AD【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．10．（2024秋•海淀区期末）已知向量a→=（x，1），a→-2b→=（x，﹣1），则b→=（0，1）【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（0，1）；2．【分析】由平面向量的坐标运算计算即可．【解答】解：因为向量a→=（x，1），a→-2所以2b→=a→-(所以a→所以|a→+b→|=x2所以|a→+b→故答案为：（0，1）；2．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．11．（2024秋•安徽期末）已知向量a→=(λ-1，2-λ)，【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】3．【分析】利用共线向量的坐标表示，列式计算得解．【解答】解：若a→∥b则﹣2（2﹣λ）＝λ﹣1，解得λ＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．12．（2024秋•邢台期末）已知向量a→=（m，3），b→=（2，﹣5），若（a→+b→）⊥b【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；参数法；平面向量及应用；运算求解．【答案】﹣7．【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（m，3），b→=（则a→（a→+b则(a→+b→故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•中山区校级期末）在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点，点M为形内一点．（1）如图，若点M满足5AM→=2AC→-BC（2）若点O为△ABC的外心，点M满足3OM→=OA→+OB→+OC→【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延长AM至E使AE＝5AM，可以得到四边形ABEC是平行四边形，然后根据AC→=3AD→，所以S△（2）设MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面内一点，延长AM至E使AE＝5AM，因为5AM所以AB→连接BE，因为向量AB→和向量CE→则四边形ABEC是平行四边形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四边形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM与△ABD的面积之比为S△（2）因为3OM→=设MN→=λDN→因为BN→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→则有23λ+(1+所以k=【点评】本题考查平面向量的基本定理的应用，属中档题．14．（2024秋•大连校级期末）已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→（1）求实数λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【考点】平面向量加减法的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根据AE（2）直接由向量线性运算的坐标表示即可求解；（3）根据AD→【解答】解：（1）AE→因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE→即e1→+(1+因为e1→，e2→是平面内两个（2）BE→（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD→设A（x，y），则AD→因为BC→=(-7，-2)即点A的坐标为（10，7）．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算、坐标运算，属于基础题．15．（2024秋•房山区期末）已知向量a→=(-1，（1）求|a（2）若向量c满足2a→-（3）在（2）的条件下，若a→-mc→【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）2；（2）c→（3）m=【分析】（1）利用向量坐标的运算求出a→（2）利用向量坐标的运算解向量方程即得；（3）将各向量坐标代入，利用方程两边对应项系数相等可得方程组，解之即得．【解答】解：（1）由题意可知，a→所以|a（2）因为2a所以3c所以c→（3）因为a→-mc→所以(-所以2m-1=【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．

考点卡片1．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．2．用平面向量的基底表示平面向量【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解题方法点拨】﹣表示转换：将向量v→写成基底向量的线性组合．例如，v→用基底e→1和﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．【命题方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e1→，CA→=e2→，试用基底解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e由题意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因为CB→=e整理得，CE→=13．平面向量加减法的坐标运算【知识点的认识】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量减法：如果a→=(a1，【解题方法点拨】﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．【命题方向】﹣向量运算的实际应用：考查向量加减法在实际问题中的应用，如几何问题中的位置计算．﹣坐标运算技巧：如何高效进行向量的坐标运算．向量a→，b→满足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣4．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：