2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之两角和与差的三角函数

第22页（共22页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之两角和与差的三角函数一．选择题（共5小题）1．（2025•安康模拟）已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanαtanβ＝2，则tan（α﹣β）＝（）A．1 B．﹣1 C．12 D．2．（2025•湖南模拟）已知tan(α+π4)=3，则A．-45 B．45 C．-23．（2025春•渝中区校级月考）已知角α满足sin(α+A．3+55 B．3-55 C．2+4．（2024秋•洛阳期末）sin40°cos20°+cos40°cos70°＝（）A．12 B．22 C．32 5．（2025•浙江模拟）已知sin（α+β）=1725，sinαcosβ=15，则sin（A．2425 B．-2425 C．725二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•孝义市模拟）已知f（x）＝msinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝2tanx，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，π4]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间A．43 B．1 C．23 D（多选）7．（2025•朝阳区校级开学）下列化简，计算结果正确的时（）A．已知tanα＝2，则tan(B．cos(C．若sinα=35，αD．2（多选）8．（2025•雁江区校级模拟）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（）A．每一个直角三角形的面积为54B．3cosβ﹣3cosα＝2 C．3sinβ﹣3sinα＝2 D．cos三．填空题（共4小题）9．（2025•延庆区模拟）已知α是第四象限角且sinα=-35，2sinβ﹣cosβ＝0，则tan（α﹣β）的值为10．（2025•宝鸡模拟）若函数f（x）＝4sinx+3cosx的极大值点为x0，则sinx0＝．11．（2025•湖南模拟）若函数f(x)=sinωx+3cosωx在（0，π）内有2个零点，则12．（2024秋•如皋市期末）已知sin(π3-x)=13四．解答题（共3小题）13．（2025•香坊区校级开学）已知f(（1）已知函数g(x)=f(π8x-π3)，记方程g(x)=13在区间[0，21]上的根从小到大依次为x1、x2、…、xn（2）若af(12x-π14．（2025•官渡区校级开学）（1）计算：4lg（2）化简求值tan5（3）设α，β为锐角，且sinα=55，cosβ=315．（2025•河南模拟）已知函数f(（1）当x∈[-π4（2）若x0∈[π6，2π

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之两角和与差的三角函数参考答案与试题解析题号12345答案BDACD一．选择题（共5小题）1．（2025•安康模拟）已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanαtanβ＝2，则tan（α﹣β）＝（）A．1 B．﹣1 C．12 D．【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】利用和差角的三角函数公式，结合同角公式计算得解．【解答】解：因为tanαtanβ＝2，所以sinαsinβcosαcosβ=2，可得sinαsinβ＝2cosαcos又因为sin（α﹣β）＝3cos（α+β），所以sinαcosβ﹣cosαsinβ＝3（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝﹣3cosαcosβ，可得tanα﹣tanβ＝﹣3，所以tan(α故选：B．【点评】本题考查了和差角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．2．（2025•湖南模拟）已知tan(α+π4)=3，则A．-45 B．45 C．-2【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】先求出tanα=12，然后结合sin2α+cos2α＝1【解答】解：因为tan（α+π4）=所以tanα=则sinα⋅故选：D．【点评】本题考查求两角和与差的三角函数值，为基础题．3．（2025春•渝中区校级月考）已知角α满足sin(α+A．3+55 B．3-55 C．2+【考点】求两角和与差的三角函数值；求二倍角的三角函数值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】根据两角和差的正弦公式、余弦的二倍角公式、诱导公式求解．【解答】解：角α满足sin(则32sinα+12cosα所以cos(2cos(所以cos(2故选：A．【点评】本题主要考查了和差角公式，诱导公式的应用，属于中档题．4．（2024秋•洛阳期末）sin40°cos20°+cos40°cos70°＝（）A．12 B．22 C．32 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】先应用诱导公式，再逆用两角差的余弦公式即可求值．【解答】解：sin40°cos20°+cos40°cos70°＝sin40°sin70°+cos40°cos70°＝cos（70°﹣40°）＝cos30°=3故选：C．【点评】本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．5．（2025•浙江模拟）已知sin（α+β）=1725，sinαcosβ=15，则sin（A．2425 B．-2425 C．725【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】根据两角和差的正弦公式即可求得．【解答】解：由sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=1725，且sinαcosβ=15，则cos所以sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ=1故选：D．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•孝义市模拟）已知f（x）＝msinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝2tanx，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，π4]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间A．43 B．1 C．23 D【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简函数f（x），结合恒能成立的不等式及正切函数的性质、函数f（x）的值能取到2求出m，再由指定区间上的值域求得关于ω的不等式即可得解．【解答】解：依题意，f（x）＝msinωx﹣cosωx可化为f(x)=则f(根据正切函数的单调性可知，函数g（x）＝2tanx在[0，π4]上单调递增，g（x）由∀x1∈R，∃x2∈[0，π4]而f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，2]，因此m2+1=2函数f(x)=2sin(ωx-π6)又f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，2]，f（0）＝﹣1，则π2≤ωπ所以实数ω的取值范围是23≤ω≤4故选：ABC．【点评】本题主要考查了正弦函数及正切函数的性质在函数值域求解中的应用，还考查了恒成立与最值关系的转化，属于中档题．（多选）7．（2025•朝阳区校级开学）下列化简，计算结果正确的时（）A．已知tanα＝2，则tan(B．cos(C．若sinα=35，αD．2【考点】求两角和与差的三角函数值；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BCD【分析】利用两角和的正切公式判断A，利用两角差的余弦公式判断B，利用两角和的正弦公式判断C，利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系判断D．【解答】解：选项A：若tanα＝2，则tan(α+选项B：cos（x+27°）cos（x﹣18°）+sin（x+27°）sin（x﹣18°）＝cos[（x+27°）﹣（x﹣18°）]=cos45°选项C：若sinα=35，α∈(0所以sin（α+π6）=选项D：2sin2α故选：BCD．【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题．（多选）8．（2025•雁江区校级模拟）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（）A．每一个直角三角形的面积为54B．3cosβ﹣3cosα＝2 C．3sinβ﹣3sinα＝2 D．cos【考点】两角和与差的三角函数；三角形中的几何计算．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解；新文化类．【答案】ACD【分析】根据已知，利用正方形、直角三角形的性质以及和角公式计算求解．【解答】解：由题可知，可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，每一个直角三角形的面积为(9-4)×设直角三角形的两直角边分别为a，b（b＞a），由题意可得，12ab=54，a2+所以ab=则b-因为sinβ=b3，cosα=b所以3cosβ﹣3cosα＝a﹣b＝﹣2，故B错误；3sinβ﹣3sinα＝b﹣a＝2，故C正确；因为sinβ=b3，cosα=b所以cos(α-故选：ACD．【点评】本题考查了正弦函数和余弦函数的定义，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2025•延庆区模拟）已知α是第四象限角且sinα=-35，2sinβ﹣cosβ＝0，则tan（α﹣β）的值为【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】﹣2．【分析】由已知求得tanα=【解答】解：因为α是第四象限角且sinα=所以cosα=45因为2sinβ﹣cosβ＝0，所以tanβ=sinβ则tan（α﹣β）=tanα-故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于基础题．10．（2025•宝鸡模拟）若函数f（x）＝4sinx+3cosx的极大值点为x0，则sinx0＝45【考点】两角和与差的三角函数．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；三角函数的求值；运算求解．【答案】45【分析】根据极大值的定义，对函数f（x）求导并利用辅助角公式进行整理，由余弦函数的图象可得角的值，结合诱导公式，可得答案．【解答】解：由函数f（x）＝4sinx+3cosx，求导可得f′（x）＝4cosx﹣3sinx＝5（45cosx-35令sinφ=35，cosφ=45，则f′（x）＝5cos（由题意可得f′（x0）＝5cos（x0+φ）＝0，由函数y＝cosx可知当x∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z）时，当x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]（k∈Z）时，cosx＜0，且x0则可得x0+φ=π2+2kπ（k∈Z），解得x0=π2-φ+2k所以sinx0＝sin（π2-φ+2kπ）＝cosφ故答案为：45【点评】本题考查了三角函数的求值运算问题，也考查了利用导数求值问题，是基础题．11．（2025•湖南模拟）若函数f(x)=sinωx+3cosωx在（0，π）内有2个零点，则【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】83【分析】利用辅助角公式将函数f（x）化简，再结合正弦函数的性质求出函数f（x）的零点，最后根据零点个数确定ω的取值范围，进而求出ω的最大值．【解答】解：由题意可得，f(令f（x）=2sin(ωx所以ωx+π3=kπ，k∈Z，可得x因为x∈（0，π），当k＝1时，x1=2π3ω当k＝2时，x2=5当k＝3时，x3由于函数f（x）在（0，π）内有2个零点，所以5π3ω＜π8可知，ω的最大值为83故答案为：83【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．12．（2024秋•如皋市期末）已知sin(π3-x)=13【考点】两角和与差的三角函数．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】42【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（π3-【解答】解：因为sin(π3所以-π6＜可得cos（π3-x）则sin(π6+x)-cos(2π3+x)=sin[π2-（π3-x）]﹣cos[π故答案为：42【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2025•香坊区校级开学）已知f(（1）已知函数g(x)=f(π8x-π3)，记方程g(x)=13在区间[0，21]上的根从小到大依次为x1、x2、…、xn（2）若af(12x-π【考点】求两角和与差的三角函数值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】数形结合；转化思想；数学模型法；换元法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）92；（2）[22【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为f(x)=sin(2x+π3)，可得出g(x)=13，令t（2）由题意可得asinx﹣cosx≥2对任意的x∈[π4，π3]恒成立，由参变量分离法得出a≥2+【解答】解：（1）f（x）＝sin（x+π3）cosx+12sin（2＝（12sinx+32cosx）cosx+12sin（=14sin2x+3(1+cos2x=12sin（2x+π3）+12＝sin（2x+π令g（x）＝f（π8x-π3）＝sin[2（π8x-π3）+π3]＝因为x∈[0，21]，所以π4x-π3∈[-π令t=π4x-π3∈[-π3，59π12]，且sin59π函数y＝sint在[-π3，59π12由函数的图象可知，y＝sint的图象与直线y=13共有6个交点，即n＝因为t3+2t4+2t5+t6＝（t3+t4）+（t4+t5）+（t5+t6）＝2×5π2+2×7所以x3+2x4+2x5+x6=4π（t3+2t4+2t5+t6）+6×（2）af（12x-π6）﹣f（12x+π12）≥2，即asinx﹣cosx≥2对任意的x∈则a≥2+cosxsinx对任意的x∈[π4令y=2+因为x∈[π4，π3]，则u＝tanx2∈[tanπ8，由对勾函数的性质知y=32u+u2在[tan又2tanπ81-tan2π则y=32u+u2的最大值为y=32(2-因此，实数a的取值范围是[22+1，+【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．14．（2025•官渡区校级开学）（1）计算：4lg（2）化简求值tan5（3）设α，β为锐角，且sinα=55，cosβ=3【考点】求两角和与差的三角函数值；对数运算求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；能力层次；运算求解．【答案】（1）10；（2）-3；（3）π【分析】（1）直接利用指数和对数的运算求出结果；（2）利用三角函数的诱导公式求出三角函数的值；（3）利用三角函数的定义求出结果．【解答】解：（1）4＝2﹣3+lg3lg2×lg16lg3-（2）tan5（3）由于α，β为锐角，且sinα=55，cosβ=3所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=6由于α，β为锐角，所以0＜α+β＜π；故α+【点评】本题考查的知识点：对数和指数的运算，三角函数的值的求法，三角函数的定义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．15．（2025•河南模拟）已知函数f(（1）当x∈[-π4（2）若x0∈[π6，2π【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）答案见解析；（2）33【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式化简函数式，再应用整体法求函数的单调区间；（2）根据已知可得sin(2x0+π6)=35且2【解答】解：（1）f(令2kπ-π2≤2x又x∈[-π4，π4（2）由题意2x0+π6所以2x0+π6所以sin2【点评】本题考查了正弦函数的单调性以及两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数定义直接求值．﹣利用换底公式log﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、loga(【命题方向】常见题型包括计算对数值、简化复杂对数表达式、利用对数性质解决实际问题．计算：14lg解：原式＝lg2﹣1+33×23+lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2故答案为：10．2．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．3．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．4．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα5．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．若α为锐角，sinα=45，则解：若α为锐角，sinα=45，则cossin(α+π3)=16．两角和与差的三角函数的逆用【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解表达式，结合具体角度进行计算．cos24°cos69°+sin24°sin111°＝_____．解：cos24°cos69°+sin24°sin111°=cos7．求二倍角的三角函数值【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知tanα2=22，则解：因为tanα所以tanα=故答案为：228．三角函数的恒等变换及化简求值【知识点的认识】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．公式①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2-②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（π2-x）＝③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2-x）＝cot④余切函数有y＝cot（π2-x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cot【解题方法点拨】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：sin60°=32，cos(-∴原式=3先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【命题方向】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．9．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．