3　用关系式表示变量之间的关系

3用关系式表示变量之间的关系教师备课素材示例●置疑导入同学们，你知道你穿的鞋的长是多少厘米以及它是多少码的吗？请量一量．用表格表示变量间的关系：鞋的长度/cm22232425…鞋的码数34363840…(1)表格反映的是鞋的长度与鞋的码数之间的关系，自变量是鞋的长度，因变量是鞋的码数；(2)根据表格中的数据，说一说码数是怎样随鞋的长度的变化而变化的．如果鞋的长度为x(cm)，码数为y，我们将y用含x的关系式表示是y＝2x－10Ｗ．今天，我们就来学习用关系式表示变量之间的关系．【教学与建议】教学：让学生经历动手实践，将实际问题抽象为数学问题的过程，也为新课的学习做好铺垫．建议：先让学生自己量一量，然后用表格表示变量间的关系．●情景导入将若干张长为10cm、宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法粘起来，黏合部分的宽为1cm.(1)完成下列表格．白纸/张2345…总长度/cm19283746…(2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是y＝9x＋1Ｗ．【教学与建议】教学：观察图形，用表格表示变量之间的关系，为用关系式表示变量间的关系打下基础．建议：由学生独立完成(1)；对于问题(2)，教师应引导学生分析题意．·命题角度1用关系式表示两个变量之间的关系用等式表示两个变量之间的关系，等式左边是因变量，右边是含自变量的代数式．【例1】某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元，则y与x之间的关系式为(B)A．y＝2＋2xB．y＝2xC．y＝2－2xD．以上都不对【例2】设地面气温为20℃，如果高度每升高1km，气温下降6℃.在这个变化过程中，自变量是高度，因变量是气温Ｗ．如果高度用h(km)表示，气温用t(℃)表示，那么t随h的变化而变化的关系式为t＝－6h＋20．·命题角度2根据关系式进行计算在已知关系式的前提下，任意给出自变量或因变量的值，都能用代入计算的方法求出另一个变量的值．【例3】变量x与y之间的关系式为y＝eq\f(1,2)x2＋1，当自变量x＝2时，因变量y的值是(D)A．－2B．－1C．1D．3【例4】同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x(℃)之间的关系式是y＝eq\f(9,5)x＋32.如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77.·命题角度3动点问题中的关系式动点问题往往伴随着几何图形的面积的计算，解答这类问题通常是根据动点和不动点构造的常见几何图形的面积公式表示得到相应的关系式．【例5】如图，在△ABC中，已知BC＝16，高AD＝10，动点Q由点C沿CB向点B运动（点Q不与点B重合）．设CQ的长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为(B)A．S＝80－5xB．S＝5xC．S＝10xD．S＝5x＋80eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6题图）))【例6】如图，在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝6cm，BC＝8cm，P为CB边上一动点，当点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是CP的长，因变量是△APC的面积；(2)如果设CP的长为xcm，△APC的面积为ycm2，那么y与x之间的关系式为y＝3x；(3)当点P从点D（D为BC的中点）运动到点B时，△APC的面积从12cm2变为24cm2.高效课堂教学设计1．能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，能提出自变量和因变量．2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．▲重点找问题中的自变量和因变量，并用关系式表示变量之间的关系．▲难点根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．◆活动1创设情境导入新课（课件）填一填．1．△ABC的底边长为a，高为h，面积S△ABC＝eq\f(1,2)ah.2．梯形的上底、下底的长分别为a，b，高为h，面积S梯形＝eq\f(1,2)h(a＋b)Ｗ．3．随着手机的普及，现代人们的通信越来越便捷，下表是李叔叔调取的几次通话时间和对应的通话费用：通话时间/min123456通话费用/元0.20.40.60.81.01.2(1)表格中的两个变量中，通话时间是自变量，通话费用是因变量；(2)随着通话时间的增加，通话费用的变化趋势是增加；(3)如果用x表示通话时间，用y表示通话费用，它们之间的关系式表示为y＝0.2xＷ．◆活动2实践探究交流新知【探究1】探究变化的三角形（课件）如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？问题1：如何求三角形的面积？问题2：在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？问题3：三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？解：问题1：三角形的面积＝eq\f(1,2)底×高．问题2：自变量是底边BC的长度，因变量是三角形ABC的面积．问题3：三角形的面积逐渐减小．【探究2】关系式的应用根据探究1回答下列问题：问题1：如果设三角形的底边BC的长为x(cm)，那么三角形ABC的面积y(cm2)可以用含x的关系式表示为y＝3xＷ．问题2：当底边BC的长从12cm变化到3cm时，三角形ABC的面积从36cm2变化到9cm2.问题3：你能用表格法完成三角形ABC面积变化的过程吗？x/cm1211109876543y/cm23633302724211815129y＝3x表示了三角形的底边长x和三角形的面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式．关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式（如y＝3x），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．【探究3】表格和关系式的对比表格和关系式都可以表示两个变量间的关系，各有优点．具体见表格．表示方法优点缺点二者关系表格表格直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势变量的取值个数有限，估计时比较粗略利用表格可以写出关系式；利用关系式可以列表格关系式关系式精确反映两个变量间的关系；已知一个变量的值，可以求出另一变量的值变量间的对应关系不太直观◆活动3开放训练应用举例【例1】（课本P153“观察·思考”）如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积；(2)如果圆锥底面半径为r(cm)，那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为V＝eq\f(4,3)πr2；(3)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由eq\f(4,3)πcm3变化到eq\f(400,3)πcm3.【方法指导】处理问题(1)时，用课件演示圆锥，通过拖动圆锥任意改变其形状、大小，学生观察圆锥的体积由哪些因素决定，判断并指出在这个变化过程中哪个是自变量，哪个是因变量；处理问题(2)时提醒学生圆锥的体积公式，利用体积公式写出等式：V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr2；处理问题(3)时引导学生将r＝1，r＝10分别代入V＝eq\f(4,3)πr2中．当r＝1时，V＝eq\f(4,3)π×12＝eq\f(4,3)π；当r＝10时，V＝eq\f(4,3)π×102＝eq\f(400,3)π.所以圆锥的体积由eq\f(4,3)πcm3变化成eq\f(400,3)πcm3.【例2】（教材P154“尝试·交流”）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y＝0.785x，其中，字母x表示耗电量，字母y表示家居用电的二氧化碳排放量；(2)在上述关系中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加0.785kg，当耗电量从1kW·h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从0.785kg增加到78.5kg；(3)小明家本月家居用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、开私家车耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．【方法指导】(1)根据题意，得家居用电的二氧化碳排放量＝耗电量×0.785；(2)耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加0.785kg，增加到100kW·h时，0.785×100＝78.5(kg)就是二氧化碳的排放量；(3)0.785×110＝86.35(kg)家居用电二氧化碳排放量；20×0.19＝3.8(kg)天然气二氧化碳排放量；5×0.91＝4.55(kg)自来水二氧化碳排放量；75×2.7＝202.5(kg)私家车二氧化碳排放量．解：各项排放量分别为86.35kg，3.8kg，4.55kg，202.5kg.◆活动4随堂练习1．变量y与x之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝1时，因变量y的值是(A)A．－2B．－1C．1D．22．长方形的周长为36cm，其中一边长为xcm(x＞0)，面积为ycm2，则在这个长方形中，y与x之间的关系式可以写为(C)A．y＝x2B．y＝(18－x)2C．y＝x(18－x)D．y＝2(18－x)3．根据如图所示的程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为－1，则输出的y值为(B)A．－2B．2C．－1D．04．课本P154随堂练习T1、T2.◆活动5课堂小结与作业【