2024-2025学年河北省石家庄市高一下学期第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省石家庄市高一下学期第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若tanα+π4=1A.57 B.−57 C.−2.已知平面向量a，b，则a=λb(λ∈R)是a，b共线的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设非零向量a,b,c，若p=aA.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[1,2]4.已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P，则PA+2PB+2A.AD B.DA C.AB D.BA5.已知向量OA=(−3,1)，OB=1,−2，OC=x−6,x+5，若点A,B,C不能构成三角形，则A.−2 B.−1 C.1 D.26.如图，“六芒星”是由两个边长为3正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，则OB⋅AP的取值范围是(

)

A.−2,2 B.−32,32 7.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=b，则BN=A.−23a+13b B.8.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60∘，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重(单位kg)约为(

)(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，3A.68 B.66 C.64 D.62二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中的真命题是(

)A.若a为非零向量，则aa与a同向

B.若a•b<0，则a与b的夹角为钝角

C.若a=b,b=10.已知P为▵ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是(

)A.若AP=λAB+AC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹经过▵ABC的内心

B.若O为平面内任意一点，OP=13(OA+OB+OC)，则点P为▵ABC的重心

C.若P为▵ABC的垂心，11.已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是(

)A.若A=30∘，b=4，a=3，则▵ABC有两解

B.若a2+b2sinA−B=a2−b2sinA+B，则ABC是等腰三角形

C.若D在线段AB上，且AD=5，BD=3，CB=2CD，cos∠CDB=−55，则▵ABC的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若AB=2BC，且AB=λBC，则λ=13.已知向量a=2,0，b=1,1，则a在b方向上的投影向量的坐标14.已知平面向量a，b，c满足a与b的夹角为锐角，a=4，b=2，c=1，且b+ta的最小值为3，向量四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a=(−1,−1)，b=(0,1)．

(1)求向量a与b的夹角θ的大小；

(2)若向量(t⋅a+b)//(a+t⋅b)，求实数t的值；16.(本小题12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且12c=b−acosC，角A的平分线交BC于(1)求角A;(2)若AC=3，求AD的长．17.(本小题12分)▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin(1)求B；(2)若▵ABC为锐角三角形，b=3，求2a−c18.(本小题12分)如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点．(1)若cos∠CAB=13，当k为何值时，AC(2)若G为▵ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB,(3)若AC+tAB的最小值为1，求AB19.(本小题12分)给定平面上一个图形D，以及图形D上的点P1，P2，…，Pn，如果对于D上任意的点P，i=1n|PPi|2为与P无关的定值，我们就称(1)已知P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)，△P1P2P(2)若图形D是边长为2的正方形，P1，P2，P3，P4是它的4个顶点，(3)若给定单位圆E及其内接正2024边形P1P2…P2024，P为该单位圆上的任意一点，证明P1，P2，…，参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.±2

13.1,1

14.3−215.解：(1)因为向量a=(−1,−1)，b=(0,1)，

所以a⋅b=0−1=−1，

所以cosθ=a⋅b|a|×|b|=−12×1=−22，

又θ∈[0,π]，

所以向量a与b的夹角θ=3π4；

(2)t⋅a+b=(−t,−t+1)，a+t⋅b=(−1,−1+t)，

因为(t⋅16.解：(1)因为12c=b−acosC，

由正弦定理得12sinC=sinB−sinA⋅cosC，

即12sinC=sin(A+C)−sinA⋅cosC，

则12sinC=sinA⋅cosC+sinC⋅cosA−sinA⋅cosC，

所以12sinC=sinC⋅cosA，

又sinC≠0，所以cosA=12，

又A∈0,π，则A=17.【详解】(1)因为asinA+C2故sinA在▵ABC中，0<A<π，0<B<π，所以sinA>0，0<B2可得sinB2=12(2)由正弦定理可得2R=asinA=c所以a=2sinA，因为B=π3，则A+C=2π所以2a−c=4sin因为▵ABC为锐角三角形，则0<A<π20<C=则A−π6∈0,π

18.(1)因为CA=CB=3,cos所以由余弦定理得CB2=AC2若AC+2AB与kAC所以kAC2+解得k=1013，即k=1013时，(2)因为G为▵ABC的重心，所以AG=又因为AP=λAB,由于P,G,Q三点共线，所以存在实数t使得PG=tPQ化简为AG=1−tAP+tAQ显然λ>0,μ>0，则λ+μ=1当且仅当λμ=μ则λ+μ+23的最小值为(3)设AB=m,AB与AC的夹角为θ，在▵ABC中，所以AB⋅又AC=所以当t=−12时，AC+tAB有最小值9−即AC+tAB取最小值1时，AB=419.解：(1)点P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)不是关于D的一组稳定向量基点，

理由如下：当P与P1(0,0)重合时，