回顾与思考（五）图形的轴对称

回顾与思考（五）图形的轴对称第五章图形的轴对称考点精讲当堂练习课堂小结要点梳理目录要点梳理教学目标教学重点要点梳理1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.2.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫作这两个图形的对称轴.一.轴对称图形与轴对称3.轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1)轴对称图形是指()

具有特殊形状的图形,

只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及

()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.一个一个不一定两个两个一条4.轴对称的性质：

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.1..等腰三角形的性质

名称项目等腰三角形性质①边：两腰相等②角：两个底角相等(等边对等角)③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线二.简单的轴对称图形

名称项目等边三角形性质①边：三条边都相等②角：三个角都相等,且等于60°③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线，有三条对称轴角平分线上的点到角两边的距离相等.3.角平分线的性质2.线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.考点精讲典例精讲归纳总结考点精讲考点1轴对称图形与轴对称例1

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称.(1)画直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′′与直线

MN，EF所夹锐角α的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″MN【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接B′B″,作线段B′B″的垂直平分线EF,则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴；（2）连接B″O,B′O,BO,∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM=∠B′OM.∵△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称，∴∠B′OE=∠B″OE.∴∠BOB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α.EFOMN方法总结

轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计确定最短路线等.1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?针对训练2.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．xyOx=1ABCA′B′C′解：△A′B′C′就是所求作的图形.考点2等腰三角形的性质例2

如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.试说明：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.ABCD))12E解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.考点3线段垂直平分线与角平分线的性质例31.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为

．

2.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝8，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝126°，求∠DAE的度数．4解：（1）∵边AB的垂直平分线交BC于D，边AC的垂直平分线交BC于E，∴AD＝BD，AE＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝8；（2）∵AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∴∠B+∠C＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣126°＝54°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝126°﹣54°＝72°．方法总结

常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的”三线合一”结合起来考查.例4

有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法).【解析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;(2)作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD,OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是

.C18厘米ABDE针对训练针对训练4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（）①AD平分∠BAC②AD是△ABC的中线③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG

A．①②③④

B．③④

C．②③

D．②③④D考点4数学思想与解题方法分类讨论思想例5

已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是多少？【解析】有两种情况，当∠A为△ABC的顶角时，当∠A为△ABC的底角时，分别计算两种情况的顶角度数，由此得到答案．解：当∠A为△ABC的顶角时，顶角度数是40°；当∠A为△ABC的底角时，顶角度数是180°﹣2×40°＝100°.综上，△ABC的顶角度数是40°或100°.方法总结根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是38°，则顶角的度数为多少？解：当△ABC是锐角三角形时，∵∠ACD＝38°，∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣38°＝52°；当△ABC是钝角三角形时，∵∠ACD＝38°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝52°，∴∠BAC＝180°-∠DAC＝128°.∴顶角的度数为52°或128°.

针对训练当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1．下列图形中是轴对称图形的是（）D2．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．3．如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交l于点C，则点C即为所求．理由如下：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以直线l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′.所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B<A′B，所以C′A－C′B<CA－CB.4．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．解：因为△ADB和△ACE都是等边三角形，所以∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°.所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°＋∠ABC.因为∠DAE＝∠DBC，所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.又因为△ABC是等腰三角形，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，则x＋2(x＋60)