多模态信号处理基础 课件 第6章 连续系统与离散系统模型

连续系统复频域模型连续系统的复频域模型1.系统函数𝐻(𝑠)

2.系统时域框图系统s域框图3.系统s域框图系统函数主要内容：连续系统的复频域模型1.系统函数𝐻(𝑠)

因为

所以

其中

系统函数是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比

连续系统的复频域模型解：（1）求冲激响应取逆变换系统函数求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。例1已知某LTI因果系统，当输入时，其零状态响应为连续系统的复频域模型微分方程

取逆变换（2）求微分方程连续系统的复频域模型时域模型基本运算单元的s域模型

s域模型∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++零状态2.系统时域框图系统s域框图例2某LTI系统的时域框图如图所示，求该系统的s域框图。解：画出s域框图。连续系统的复频域模型

f(t)+--324+

yzs(t)1+∑∑∫∫s-1s-1F(s)连续系统的复频域模型3.系统s域框图系统函数步骤：设中间变量X(s)写出Y𝑍𝑆

(𝑠)与F(s)、X(s)的表达式消去中间变量，求得系统函数H(s)例3某LTI系统的s域框图如图所示，求该系统的系统函数。解：设中间变量X(s)，如图所示X(s)s-1X(s)s-2X(s)连续系统的复频域模型

f(t)+--324+

yzs(t)1+∑∑∫∫s-1s-1F(s)连续系统复频域分析连续系统的复频域分析1.用拉普拉斯变换求解微分方程2.用拉普拉斯变换法分析电路主要内容：1描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。连续系统的复频域分析1.用拉普拉斯变换求解微分方程f(t)在t=0时接入系统：连续系统的复频域分析令：——s域的代数方程

解：方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)连续系统的复频域分析其中：yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t)连续系统的复频域分析1）列s域方程（两种方法）2）解s域方程。，求得时域解。连续系统的复频域分析（1）步骤2.用拉普拉斯变换法分析电路列时域微分方程，取拉氏变换，建立s域代数方程；直接按电路的s域模型建立代数方程。1）电阻元件的s域模型U(s)=R

I(s)u(t)=R

i(t)电阻元件的s域模型连续系统的复频域分析（2）

电路的s域模型I(s)RU(s)+-i(t)Ru(t)+-2）电感元件的s域模型连续系统的复频域分析iL(t)Lu(t)+-IL(s)sLU(s)+--+LiL(0-)或IL(s)sLU(s)+-iL(0-)/s

连续系统的复频域分析3）电容元件的s域模型i(t)C+-I(s)UC(s)+-+-或I(s)UC(s)+-uC(t)

连续系统的复频域分析4）KCL、KVL方程求响应的步骤画0-等效电路，求初始状态；画s域等效模型；列s域方程；解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)；拉氏反变换求u(t)或i(t)。(1)(2)(3)列方程解：例2：如图电路，初始状态为0，t=0时开关S闭合，求电流连续系统的复频域分析初始状态为0画出t>0的s域等效模型SLCRUSi(t)+-LsRI(s)+-故

连续系统的复频域分析设极点：离散系统z域模型1.系统函数𝐻(z)

2.系统时域框图系统z域框图3.系统z域框图系统函数主要内容：离散系统的z域模型离散系统的z域模型1.系统函数𝐻(z)

因为

所以

其中

系统函数是零状态响应的z变换与激励的z变换之比

解：离散系统的z域模型取z逆变换

差分方程例1

某LTI离散系统，已知输入对应的零状态响应：求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。离散系统的z域模型2.系统时域框图系统z域框图时域模型基本运算单元的z域模型

z域模型Df(k)af(k)y(k)=af

(k)F(z)aF(z)Y(z)=aF(z)∑f1(k)f2(k)y(k)=f1(k)+f2(k)++∑F1(z)Y(z)=F1(z)+F2(z)F2(z)++零状态f(k-1)例2某LTI系统的时域框图如图所示，求该系统的z域框图。解：画出z域框图。

f(k)

+--324+

yzs(k)1+DD离散系统的z域模型z-1z-1F(z)离散系统的z域模型3.系统z域框图系统函数步骤：设中间变量X(z)写出Y𝑍𝑆

(z)与F(z)、X(z)的表达式消去中间变量，求得系统函数H(z)例3某LTI系统的z域框图如图所示，求该系统的系统函数。解：设中间变量X(z)，如图所示X(z)=F(z)–3z-1X(z)–2z-2X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)

f(k)

+--324+

yzs(k)1+DDz-1z-1F(z)离散系统的z域模型离散系统z域分析离散系统的z域分析1.利用z变换求解差分方程2.利用z变换求卷积和3.s域与z域的关系主要内容：设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。1.利用z变换求解差分方程离散系统的z域分析令:离散系统的z域分析解:方程取单边z变换例1：若某系统的差分方程为。已知。求系统的离散系统的z域分析Yzi(z)Yzs(z)例2已知

，，求解：取z变换利用卷积定理取逆z变换离散系统的z域分析2.利用z变换求卷积和

离散系统的z域分析

3.s域与z域的关系jω

σZ=esTjImRe1s平面

左半平面

虚轴

右半平面z平面

单位圆内

单位圆

单位圆外Z平面S平面jω3π/Tπ/T-π/T0σ-3π/T1-10Re[z]jIm[z]离散系统的z域分析系统函数与系统特性系统函数与系统特性1.系统函数的零、极点主要内容：2.系统函数与时域响应1.系统函数的零、极点系统函数与系统特性LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，…，m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例1

j-j-2(2)-10

例2已知H(s)的零、极点分布图如图示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有系统函数与系统特性

-10

2.系统函数与时域响应H(.)极点的位置与时域响应函数形式的对应关系：连续因果系统：（a）极点在左半开平面

系统函数与系统特性若有一对共轭复极点则A(s)中有因子

响应函数

若系统函数有负实单极点则A(s)中有因子

响应函数综上，极点在左半开平面响应均趋于0——暂态分量。t→∞若有r重极点，则A(s)中有因子

或

响应函数

或

系统函数与系统特性（b）在虚轴上

（c）在右半开平面：均为递增函数。

单极点

或，则A(s)中有因子

或

响应函数

或

——稳态分量r重极点，则A(s)中有因子

或响应函数

或

——递增函数系统因果性与稳定性系统因果性与稳定性1.系统的因果性主要内容：2.系统的稳定性1.系统的因果性因果系统是指系统的零状态响应yzs(.)不会出现于激励f(.)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件：离散因果系统的充分必要条件：系统因果性与稳定性系统函数H(s)：Re[s]>σ0

冲激响应：h(t)=0,t<0系统函数H(z)：|z|>ρ0

单位序列响应：h(k)=0,k<0解：输出未超前于输入，所以是因果系统系统因果性与稳定性例1下列方程所描述的系统是否为因果系统？（1）

稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BoundInputBoundOutput，BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。2.系统的稳定性即若系统对所有的激励，其零状态响应(

为有限常数），则称该系统稳定。系统因果性与稳定性

连续系统稳定的充分必要条件

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