第3课时 三角形的高、中线与角平分线

1认识三角形第3课时三角形的高、中线与角平分线

第四章三角形讲授新课当堂练习课堂小结新课导入目录新课导入教学目标教学重点1.认识三角形的高、中线与角平分线，能画任意三角形的高;了解三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形三条高所在的直线交于一点（重点）2.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力与合作精神.（难点）学习目标你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、过、012345678910012345012345012345678910012345012345画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?新课导入讲授新课典例精讲归纳总结三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图,线段AD是BC边上的高.和垂足的字母.注意!标明垂直的记号012345678910012345012345三角形的高思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)

这三条高之间有怎样的位置关系？O(3)

锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示；直角边BC边上的高是

;直角边AB边上的高是

;(2)AC边上的高是

;直角三角形的三条高ABC(1)画出直角三角形的三条高,ABBC它们有怎样的位置关系？D直角三角形的三条高交于直角顶点.BD钝角三角形的三条高

(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEADABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？OE钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.例1

作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(

)方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D例2

如图，在△ABC中，BC边上的高AD＝4cm，BC＝4cm，AC＝5cm.(1)试求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)试求AD∶BE的值．利用三角形面积公式及面积法求解．导引：(1)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8(cm2)，因为S△ABC＝AC·BE＝×5×BE＝8(cm2)，所以BE＝cm.(2)AD∶BE＝4∶＝

解：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．练一练在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).AE是BC边上的中线.三角形的“中线”BACABE=ECE三角形的中线(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.

你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?议一议三条中线，交于一点(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流.

三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.要点归纳例1

在△ABC中，AC＝7cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.9cm例2

张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．根据等底等高的两个三角形的面积相等，要等分三角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可．导引：根据要求，平分田地的直线只能经过三角形的顶点．画△ABC的中线AD(如图)，则AD就把△ABC的面积平分成两份．这是因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和△ACD中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等，因此，要把△ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中线也可以)解：1.若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是(

)A．AB＝BC

B．BD＝DCC．AD平分BC

D．BC＝2DCA练一练2.如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为(

)A.B.C.D.B三角形的角平分线的定义:

在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.12ABCD注意：“三角形的角平分线”是一条线段.∠1=∠2三角形的角平分线每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.

(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?做一做三角形的三条角平分线交于同一点.三角形角平分线的性质例3

如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(

)A．20°

B．30°C．45°

D．60°因为AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，所以∠BAD＝40°.又因为AE平分∠BAD，所以∠EAD＝20°.导引：A3.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(

)A．BD是△ABC的角平分线B．CE是△BCD的角平分线C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分线D练一练解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.4.

如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.ABDC5

如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.当堂练习当堂反馈即学即用1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDD当堂练习1.AD是ΔABC的高（如图1），那么

∠ADB∠ADC=

；2.AD是ΔABC的角平分线（如图2），那么

∠BAC=∠BAD；3.AE是ΔABC的中线（如图3），那么

BC=BE.2当堂练习图1图2图390°2=4.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交

AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.⌒⌒ABCDE12FGH（1）AD是△ABE的角平分线()（2）BE是△ABC边AC上的中线()××（3）CH是△ACD边AD上的高()√

5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)

=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.BACDE6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm的两部分，求三角形的各边长．因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：(BC＋CD)和(AD＋AB)，谁为12cm，谁为15cm，不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程模型，利用设未知数来求解．导引：设AB＝xcm，则AD＝CD＝

xcm.(1)如图①，若AB＋AD＝12cm，则x＋

x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此时AB＋AC＞BC，所以三边长分别为8cm，8cm，11cm.解：(2)如图②，若AB＋AD＝