江西省南昌县莲塘第一中学2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

数学上册第一章第1节～第二章第4节说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．1．若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（

）A．1 B． C．0 D．22．一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．3．图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（

）A． B． C． D．5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(

)A．若，则四边形是正方形B．若，则四边形是平行四边形C．若，则四边形是菱形D．若，则四边形是矩形6．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知是方程的一个根，则实数的值是．8．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为．9．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．10．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为．11．一元二次方程配方为，则k的值是．12．如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，，，当为等腰三角形时，的长为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）解方程：．（2）如图，矩形的对角线相交于点O，若，求的度数．14．如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长．15．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．解一元二次方程：解：原方程可以化为：第一步两边同时除以得：第二步系数化为1，得：第三步任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．16．如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形．(2)在图2中，画AD的中点F．17．如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．已知菱形的两条对角线分别为和．(1)用含的代数式表示菱形的面积．(2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积．19．我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：(1)已知，求x的值．(2)已知关于x的方程的一个根为2，求方程的另一个根．20．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：．(2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，．(1)求证：四边形内部框架为菱形．(2)若，为的中点，，求四边形的周长．22．已知关于x的方程可以变形为的形式．下面通过列表探究的变形：变形mnP(1)依据表格解答：①求表格中t的值．②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系．(2)记的两种变形为和，求的值．六、解答题（本大题共12分）23．如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在AD下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点．(1)如图1，当三角板的一条直角边交AB于点,另一条直角边交于点时，求证：．(2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交CD边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由．(3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长．1．A解：∵方程是一元二次方程，∴，则，故选：A．2．D解：，∴，∴，，故选：D3．B解：∵正方形的对角线与相交于点O，∴∴，故选项正确；选项B错误；故选B．4．B解：∵菱形的顶点的坐标分别为，∴，，∴顶点D的坐标为．故选：B．5．D解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；故选：D．6．C∵，∴，∵关于的一元二次方程有一根为，∴有一根为，解得，∴一元二次方程必有一根为，故选：．7．解：∵是方程的一个根，∴解得：，故答案为：．8．##40度解：延长交于点G，如图所示：∵，，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴．故答案为：．9．##解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且，∴，即，故答案为：．10．解：过点作于，则，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴四边形是矩形，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．11．１解：∴故答案为：1．12．或或解：菱形中，，为菱形的对角线，，，连接，交于点，，，，，，为等腰三角形时，①当时，即点与点重合，，②当时，，③当时，，，，，，，即，解得或（不合题意，舍去），，综上所述，的长为或或，故答案为：或或．13．（1）；（2）解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵在矩形中，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．14．解：由题意可知，，又∵，且为边的中点，∴，∴的长为．15．(1)二(2)或，过程见解析（1）解：他从第二步开始出现了错误，故答案为：二；（2）解：或，解得：或．16．(1)见解析(2)见解析（1）解：如图1所示，连接，DE，四边形是矩形，，点E是的中点，，，是以点E为顶点的等腰三角形；（2）解：如图2所示，点F为所求．连接交于点O，连接并延长交AD于点F，四边形是矩形，，，，，，点E是的中点，，，点F为AD的中点．17．解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，根据题意得，，整理得，，解得（不合题意，舍去），答：原正方形空地的边长为．18．(1)(2)（1）解：菱形的面积（2）解：由题意得：，即：，∴，∴菱形的面积19．(1)，(2)（1）解：∵，∴，整理得：，解得：，；（2）解：∵，∴，∵的一个根为，将代入，得，解得：，则，即，解得：，；∴方程的另一个根为．20．(1)见解析(2)见解析（1）证明：∵为的中点，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵是中边上的中线，∴，∴；（2）∵，，∴四边形是平行四边形．∵为等腰直角三角形，，为中线，∴，，∴平行四边形是正方形．21．(1)见解析；(2)24．解：（1）证明：∵四边形是菱形，∴，．∵，∴，∴四边形是平行四边形．∵四边形是菱形，∴，∴平行四边形是菱形．（2）∵，∴是直角三角形．∵为的中点，∴．∵四边形是菱形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，又∵．∴．∴，∴．∵四边形为菱形．∴．在中，，∴∴（负值舍去）．∵四边形为菱形，∴菱形的周长为．22．(1)①；②(2)（1）解：①∵，∴，∴，∴．故答案为：7；②，，，，为一次项系数的相反数，，故答案为：；（2）解：由可得，由可得，∴，，∴，∴．23．(1)见解析(2)