人教版七年级数学下册举一反三专题54平行线中的四大经典模型(学生版+解析)

专题5.4平行线中的四大经典模型

【人教版】

【模型1“猪蹄”型（含锯齿型）】

模型二“猪蹄”模型（〃模型）

结论1：&AB”CD、则Na=N/Z7o

结论2：若/1/AEZ/OP，则AB"CD

1.（2023下•湖北武汉•七年级统考期末）如图,ABIICD,EF平分/BED,Z-DEF+ZD=66",zB-zD=28°,

贝此8E0=

2.（2023上•辽宁鞍山•七年级统考期中）如图，已知CBIICD,2E平分NABC,2E平分—DC,LBAD=80°,

乙BCD=n。，则4BED的度数为.（用含〃的式子表示）

3.（2023下•广东河源•七年级河源巾第二中学校考期中）已知直线川比，A是〃上的一点，3是/2上的一

点，直线/3和直线〃，/2交于C和。，直线C。上有一点P.

h

A\C

BDh

⑴如果P点在C,。之间运动时，问乙P/C,41PB,乙尸8。有怎样的数最关系？请说明理由.

(2)若点尸在C,。两点的外侧运动时(尸点与C,。不重合),试探索乙P4C,Z-APB,"80之间的关系又

是如何？(请直接写出答案，不需要证明)

4.(2023下•山东聊城•七年级统考阶段练习)已知直线A8//CDE尸是截线，点M在直线A8、CO之间.

(1)如图I,连接GM,HM.求证：NM=NAGM+NC〃M；

(2)如图2,在NGHC的角平分线上取两点M、Q,使得NAGiW=N”GQ.试判断与NGQ〃之间的数量

关系，并说明理由.

5.(2023下♦福建芾田•七年级莆田第二十五中学校考阶段练习)如图，AB〃CD,点E在直线A8,CD内

部，月.AE1CE.

(1)如图1,连接4C,若AE平分求证：CE平分匕ACD；

(2)如图2,点M在线段AE上，

①若NMCE=NEC0,当直角顶点石移动时，4B4E与ZMC。是否存在确定的数量关系?并说明理由；

②若公MCE=2^ECD(〃为正整数)，当直角顶点石移动时，乙6AE1与4MC。是否存在确定的数量关系？并说

n

明理由.

6.（2023・全国•七年级专题练习）（I）如图1,已知力B〃CD,乙ABF=ADCE,求证：乙BFE=LFEC

（2）如图2,已知4B//CO,Z.EAF=-4Z.EAB,Z.ECF=-4Z.ECD,求证：/.AFC=-4AAEC

(1)若NE=60。,则N尸=_；

(2)请探索NE与/尸之间满足的数量关系？说明理由；

(3)如图2,已知EP平分N8E凡FG平分NE尸D,反向延长尸G交E严于点P,求NP的度数.

8.(2023下•浙江绍兴•七年级统考期末)问题情境：如图1,已知48〃CD,Z-APC=108°.求乙%8+乙PCD

的度数.

经过思考，小敏的思路是：如图2,过尸作PE〃A8,根据平行线有关性质，可得NP4B+，PCD=360。一

Z.APC=252°.

问题迁移：如图3,AD//BC,点P在射线OM上运动，^ADP=^a,乙BCP=乙口.

(I)当点P在人、8两点之间运动时，Z.CPD,乙。、△/?之间有何数量关系？请说明理由.

⑵如果点尸在人、8两点外侧运动时(点。与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出乙。尸以〃、40之

间的数量关系.

(3)问题拓展：如图4,M4〃M4n,Ax-Br-A2-----呢.]一(是一条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁的数学式子表达为；

9.(2023下♦重庆九龙坡•七年级统考期末)已知，A8〃CD点M在A8上，点N在C。上.

、1.（2012下•广东茂名•七年级统考期中）如图，ABWED,NB++乙。=（）

A.180°B.360°C.540°D.270°

2.（2。12•江苏常州•七年级统考期中）一大门的栏杆如图所示，M垂直地面A七于点A,CQ平行于地面AN,

则AABC+NBCD=.

3.（2023下•陕西西安•七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架

等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻

的示意图，已知L4BIICD,CGIIEF,ABAG=150°,/-DEF=130°,贝此AGC的度数是.

图1图2

4.（2023下•广东东莞•七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB〃CD.

图2

CD

图4

(I)如图I所示，Zl+Z2=

(2)如图2所示,Zl+Z2+Z3=；并写出求解过程.

(3)如图3所示,Zl+Z2+Z3+Z4=

(4)如图4所示,试探究Nl+N2+N3+N4+・/N〃=

5.（2023下,江苏淮安•七年级统考期末）问题情境:如图1,ABWCD,APAB=130°,乙PCD=120°,求乙IPC

的度数.

AB

D

图1图2图3图4

图5备用图1备用图2

思路点拨:

小明的思路是：如图2,过P作PEIMB,通过平行线性质,可分别求出NAPE、々CPE的度数，从而可求出

4Ape的度数；

小丽的思路是：如图3,连接4C,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出乙/PC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长力P交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出41PC

的度数.

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的ZAPC的度数为°;

问题迁移：

（I）如图5MDII8C,点P在射线OM上运动，当点P在A、8两点之间运动时,N4DP=乙a,乙BCP=邛・"PD、

4。、4?之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（I）的条件下，如果点P在A、8两点外侧运动时（点户与点4、B、。三点不重合），请你直接写

出/CP。、乙a、乙夕间的数量关系.

6.（2023下•内蒙占•七年级校考期中）综合与探究：

（1）问题情境：如图1,ABIICD,£PAB=130°,zPCD=120°.求4Ape的度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2,过P作PE||力氏：.Z-APE+Z.PAB=180°.

：.LAPE=1800-LPAB=180°-130°=50°.

*：AB||CD.：,PE||CD.

请你帮助小明完成剩余的解答.

（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图3,ADIIBC,点P在射线OM上运动,〃DP=乙a,乙BCP=.当点P在两点之间时,ZCPD,"/。

之间有何数量关系？请说明理由.

7.（2023下•天津滨海新•七年级统考期末）

（1）如图2,将长方形纸片剪两无，剪出三个角（/BAE、乙AEC、乙ECD）,则乙BAE+乙4EC+

乙ECD=°,

（2）如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（NB4E、乙4EF、乙EFC、"CD）,则，BAE+〃房++

乙FCD=°.

（3）如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角Z.AEF.乙EFG、乙FGC、々GCQ）,则NB4E+〃EF+

乙EFG+Z.FGC+Z.GCD=°,

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪九刀，剪出d+1）个角，那么这S+1）个角的和是

8.（2023下•浙江•七年级期末）已知A3〃C0,定点E,F分别在直线AS,CO上，在平行线4B,CD之间有

一动点尸.

EB

CFD

备用图1

IEB

DFD

备用图3

备用图2

（1）如图1所示时，试问乙1EP,乙EPF,乙P/T满足怎样的数量关系?并说明理由.

（2）除了（1）的结论外，试问々IEP,乙EPF,4PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明

（3）当NEP/7满足0°V/EPFV1800,月.QE,QF分别平分乙PEB和NPFD,

①若/EPF=60°,则/EQ尸=°,

②猜想“Pr与NEQF的数量关系.（直接写出结论）

9.（2023下•浙江宁波•七年级统考期中）如图，AB//CD,定点E,F分别在直线/B,CD上,在平行线4B,

CO之间有一个动点P,满足0。<乙EPF<180°.

（1）试问：乙力“，乙EPF,"“满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线48,之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论.如图1,当点「在找的左侧

时，易得Z4TP,乙EPF,/PFC满足的数量关系为乙4EP+4PFC=4EPP；如图2,当点P在EF的右侧时，

写出〃EP,乙EPF,"FC满足的数量关系.

（2）如图如QE,QF分别平分"EB和"PFD,且点P在EF左侧.

①若NEPF=100。，则NEQr的度数为；

②猜想“P尸与NEQF的数量关系，并说明理由；

③如图4,若NBEQ与"FQ的角平分线交于点Qi，MEQ1与匕DFQ1的角平分线交于点Q?，（BEQ?与乙DFQ?

的角平分线交于点Q3，以此类推，则"PF与"Q2020户满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

0020

10.（2023下•辽宁大连•七年级统考期末）阅读下面材料，完成（1）〜（3）题.

数学课上，老师出示了这样一道题:

如图1,已知力8〃8,点£,厂分别在48,。。上，EP1FP.Z.1=60°.求乙2的度数.

1

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法:

小明：”如图2,通过作平行线，发现乙1=乙3/2=乙4,由已知EP_L”何以求出42的度数.”

图2

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得42=43=£4,也能求出42的度数.”

QD

图3

小华：•・•如图4,也能求出42的度数.”

图4

（1）请你根据小明同学所画的图形（图2）,描述小明同学辅助线的做法，辅助线:

⑵请你根据以上同学所画的图形，直接写出匕2的度数为

老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广.”

请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题:

(3)如图，4B//CZ),点分别在AB,CD±,FP^^^EFD^PEF=APDFt^Z.EPD=a,请探究/CFE与

的数量关系（（用含。的式子表示），并验证你的结论.

1.（2023下•湖南株洲•七年级统考期末）①如图\,AB\\CD,则乙4+△E+乙。=360。；②如图2,AB||

CD,则4P=4A—4C；③如图3,AB||CD,则4E=zG4+z.l：④如图4,直线力3||CD||EF,点。在

直线EF上，则2。一4?+4/=180。.以上结论正确的个数是（）

图3

C.3个D.4个

2.（2023上•七年级课时练习）（1）己知：如图（。），直线DEIL48.求证：LABC+LCDE=Z.BCD；

（2）如图（"），如果点。在A8与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想？

3.（2023下•广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（I）48||C。，猜想MPD与N8、乙。的

关系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知力8||CD,猜想图中的48PD与乙8、乙。的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,己知48||CD,猜想图中的，BP。与ZB、4的关系，不需要说明理由.

4.（2023下•湖北武汉•七年级校考期中）如图，已知：点A、C.4不在同一条直线，ADWBE

图①图②图③

（1）求证：ZK+ZC-Z/1=18UU:

（2）如图②，AQ.8Q分别为NZMC、"BC的平分线所在直线，试探究”与N4QB的数量关系;

（3）如图③，在（2）的前提下，且有ACIIQB,直线AQ、8c交于点P,QPLPB,直接写出

Z.DAC：Z.ACB：Z-CBE=.

5.（2023下•浙江台州•七年级统考期末）如图，已知AD1A8于点A,AE〃CD交BC于点、E,且EF1AB于

点F.

求证：zC=z.1+z.2.

证明：E尸1A3于点凡（己知）

，乙DAB=乙EFB=90°.（垂直的定义）

：,AD//EF,（）

/.=zl（）

*：AE//CD,（已知）

・・・/C=.（两直线平行，同位角相等）

*：LAEB=Z/1EF+Z2,

AzC=zl+z2.（等量代换）

6.（2023下•福建厦门•七年级厦门市第十一中学校考期中）已知，AE//BD,乙力=乙。.

（1）如图1,求证：AB//CD,

（2）如图2,作上8AE的平分线交CD于点F,点G为AB上一点，连接FG,若乙CFG的平分线交线段4G于点H,

连接AC,若=+过点H作HM1FH交FG的延长线于点M,且3，E—544F"=18。，求

4£4r+4GMH的度数.

7.（2023下•浙江•七年级期末）已知力M〃CN,点8为平面内一点，AB1BCTB.

图1图2图3

(1)如图1,点B在两条平行线外,则乙力与2C之间的数量关系为

(2)点B在两条平行线之间，过点B作BO_L4M于点D.

①如图2,说明乙48。=乙C成立的理由;

②如图3,8F平分N08C交OM于点居BE平分4480交OMf点E.若乙FCB+乙NCF=180°,zFFC=3^DBE,

求的度数.

8.（2023下•广东河源•七年级河源市第二中学校考期中）已知直线小电，A是〃上的一点，8是/2上的一

点，直线/3和直线〃，/2交于。和D,直线CD上有一点P.

（1）如果P点在C,。之间运动时，问LAPB,乙P80有怎样的数量关系？请说明理由.

（2）若点P在C,。两点的外侧运动时（尸点与C,。不重合），试探索乙PAC,Z.APB,"8。之间的关系又

是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

结论2：9乙上Z~CFP~乙AEP双乙片乙AEP乙CFP、％AB”CD、

\.（2023・全国•七年级专题练习）如图，如果EF//CD,则Nl,Z2,/3的关系式

2.（2023下・江苏•七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，将乙4为30。的直角三角板4BC的直角顶

点C放在直尺的一边上，则N1+/2的度数为

3.（2023上•贵州六盘水•七年级校考阶段练习）如图，ABWDE,乙ABC=80。，Z.CDE=140°,则4BCD的

度数为

C

4.（2023•全国•七年级专题练习）如图所示，A4〃CO,ZE=37°,ZC=20°,则/£48的度数为

5.（2023下♦江苏泰州•七年级统考期末）如图，若AB//CD,则N1+N3-22的度数为

E

1

B

6.（2023・全国•七年级专题练习）已知A8//CD,求证：

7.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨德强学校校考期中）已知直.线4B〃C£>,尸为平面内一点，连接

南、PD.

（I）如图1,已知N4=50。，ZD=150°,求NAP。的度数；

（2）如图2,判断NB4B、NCDP、/AP。之间的数量关系为.

（3）如图3,在（2）的条件下，APLPD,DN平分/PDC,若/以NAP。，求NAM）的度数.

B

8.（2023下•广东中山•七年级校考期中）（1）如图，AB//CD,C/平分NOCE,若NDCF=3G0,ZE=20°,

求乙48七的度数;

(2)如图，AB//CD,ZEBF=2ZABF,C/平分NQCE,若NF的2倍与NE的补角的和为190。，求/ABE

的度数.

(3)如图，P为(2)中射线8E上一点，G是CO上任一点，P。平分N8PG,GN//PQ,GM平分NOGP,

若NB=30。,求NMGN的度数.

9.(2023下•山西晋中•七年级统考期中)综合与探究

【问题情境】

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

(1)如图1,£T〃MN,点4、B分另1|为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出ZP4F、乙PBN

和Z4PB之间的数量关系;

图1图2备用图

m

M

A

备用图

【问题迁移】

（2）如图2,射线0M与射线ON交于点。，直线m〃n,直线m分别交OM、ON于点/、D,直线n分别交OM、

ON于点B、C,点P在射线OM上运动，

①当点P在小B（不与力、8重合：两点之间运动时，设4乙BCP=乙6.KUCPD,za,△/?之间

有何数豉关系？请说明理由.

②若点P不在线段48上运动时（点P与点4、B、。三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写

出，CPO,乙a,之间的数量关系.

专题5.4平行线中的四大经典模型

【人教版】

【模型1“猪蹄”型（含锯齿型）】

结论2：X//AER£CFP、则ABf/CD

I.（2020下•湖北武汉•七年级统考期末）如图，AB||CD,E尸平分/8E0,乙DEF+Z.D=66°,Z.B-Z.D=28°,

贝IJ/8ED=

【答案】80°

【分析】过E点作EMZM8,根据平行线的性质可得N8EO=NB+N。，利用角平分线的定义可求得

ZB+3ZD=132°,结合NB-N/>28。即可求解.

【详解】解：过E点作EMZM/3，

:・/B=NBEM,

,:AB〃CD,

：.EM//CD,

:・/MED=ND,

:・/BED=NB+ND,

，：EF平分/BED,

NDEH2NBED,

•・•ZDEF+ZD=66°,

，：NBEZ）+ND=66。，

2

AZBED+2ZD=132O,

即N8+3NO=132。，

VZB-ZD=28°,

/.ZB=54°,ZD=26°,

，ZBED=80°.

故答案为:80。.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出N8EO=/B+N。是解题的关键.

2.（2023上•辽宁鞍山•七年级统考期中）如图，已知ABIICD,BE平分〃BC,DE平分〃DC,LBAD=80°,

乙BCD="。，则MED的度数为.（用含n的式子表示）

【答案】40°+1n°

【分析】首先过点E作EFIIAB,由平行线的传递性得ABIICDIIEF,再根据两直线平行，内侍角相等，得

出，BCD=zABC=n。，ABAD=AADC=80°,由角平分线的定义得出乙4BE=：n。，zEDC=40°,再由

两直线平行，内错角相等得出尸=44BE=gn°/-FED=Z-EDC=40°,由/BED=+ZFED即可

得出答案.

【详解】解：如图，过点E^EF||AB,则力8||CD||EF,

BA

-AB||CD,

：.LBCD=AABC=n°,Z-BAD=Z.ADC=80°,

又・,・8£*平分乙48C,DE平分N4DC,

：.AABE=-^ABC=-n°,

22

乙EDC=-/.ADC=ix80°=40%

22

*：AB||EF||CD,

：.LBEF=/.ABE=^n°,

乙FED=乙EDC=40°,

・LBED=乙FED+乙BEF=40°4--n°,

2

故答案为：40°+1n°.

【点睛】本题考杳平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角

平分线的定义.

3.(2023下•广东河源•七年级河源市第二中学校考期中)己知直线川。，A是〃上的一点，8是/2上的一

点，直线/3和直线〃，/2交于C和。，直线CDI二有一点P.

⑴如果。点在C,。之间运动时，问^APB,乙PBD有怎样的数量关系？请说明理由.

(2)若点。在C,。两点的外侧运动时(P点与C,。不重合)，试探索“AC,Z.APB,"8。之间的关系又

是如何？(请直接写出答案，不帘要证明)

【答案】(1)4P4C+乙PBD=LAPB

(2)当点P在直线。上方时，乙PBDZ.PAC=^APBi当点P在直线&下方时，4c乙PBD=^APB.

【分析】(1)过点P作PE的,由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE%%，再由“两直线平行，内

错角相等“得出"AC=〃PE、"BD=iBPE,再根据角与角的关系即可得出结论;

(2)按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线。上方时；②当点P在直线o下方时，同理(1)可得，P4C=

〃PE、乙PBD=LBPE,再根据角与角的关系即可得出结论.

【详解】(1)解：乙PAC+乙PBD=UPB.

过点P作PE%,如图1所示.

••PEIIh，IJH2，

•••PEII1JI12,

:.ZPAC=NAPE,ZPBD=zBPE,

vzAPB=Z.APE+ZBPE,

二ZPAC+ZPBD=ZAPB.

(2)解：结论：当点P在直线。上方时，ZPBD-ZPAC=zAPB-当点P在直线％下方时，ZPAC-zPBD=zAPB.

①当点P在直线h上方时，如图2所示.过点P作PEII11.

••PE||I1"，

­.ZPAC=4APE,ZPBD=zBPE,

••zAPB=zBPE-zAPEt

ZPBD-ZPAC=ZAPB.

②当点P在直线I2下方时，如图3所示.过点P作PE1111.

h

J

图3

PE||k，1川2，

•••PEII1川2，

:.zPAC=Z.APE,zPBD=zBPE,

vZAPB=zAPE-Z.BPE,

zPAC-zPBD=/APB.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是艰据“两直线平行，内错角相等“找到相等的

角.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等(或互补)的先是关键.

4.(2023下•山东聊城•七年级统考阶段练习)已知直线AB//CQ,E厂是截线，点M在直线AB、CO之间.

(1)如图1，连接GM,HM.求证：ZM=ZAGM+ZCHM；

(2)如图2,在/GHC的角平分线上取两点M、Q,使得NAGM=NHGQ.试判断与/GQ”之间的数量

关系，并说明理由.

【答案】(1)证明见详解

(2)LGQH=180°-ZM；理由见详解

【分析】（1）过点M作MNII48,由A8IIC0,可知MN||71811co.由此可知：乙AGM=xGMN,Z.CHM=Z.HMN,

故，力GM+乙CHM=Z.GMN+乙HMN=^M；

（2）由（1）可知iAGM+4再由NCHM=乙GHM,N4GM=N〃GQ,可知：乙M=乙HGQ+乙GHM,

利用三角形内角和是180°,可得乙GQH=180°-4M.

【详解】（1）

解：如图：过点M作MNIL4B,

：.MN\\AB\\CD,

：.z.AGM=ZLGMN,乙CHM=LHMN,

'：LM=LGMN+乙HMN,

：,LM=LAGM+LCHM.

（2）解：Z.GQH=180°-zM,理由如下:

如图：过点M作MNII48,

由（1）知4M=NAGM+NCHM,

THM、『分4GHC,

=乙GHM,

/AGM=/HGQ,

=乙HGQ+乙GHM,

V2.HGQ+4GHM+乙GQH=ISO。，

:・LGQH=180°-ZM.

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这

也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用.

5.(2023下•福建莆田•七年级莆田第二十五中学校考阶段练习)如图，AB//CD,点£在直线A&C。内

部，且力EJLCE.

(1)如图1,连接AC,若AE平分々8AC,求证：CE平分乙ACD；

(2)如图2,点M在线段AE上,

①若=当直角顶点石移动时，乙8/1厅与，MCO是否存在确定的数量关系?并说明理由;

②若乙MCE=^ECD5为正整数），当直角顶点E移动时，与乙MCD是否存在确定的数量关系?并说

明理由.

【答案】（1）见解析；（2）①NBAE+；NMCO=90。，理由见解析：②/胡历白乙团”上卬尸，理由见解析•

2n+1

【分析】（1）根据平行的性质可得N8AC+NOCA=180。，再根据AE_LCE可得/£^C+NEC4=90。，根据AE

平分NZMC可得/ZME=/£AC,等量代换可得NKCD+/Z?AC=9（F,继而求得NZ）CE=NECA；

⑵①过七作先利用平行线的传递性得出EF//AB//CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得

答案；

②过£•作EF//AB,先利用平行线的传递性得出EF//AB〃CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.

【详解】⑴解:因为AB〃CD,

所以/BAC+ZDCA=180°,

因为4E1CE,

所以NE4C+NEC4=90。，

因为AE平分NBAC,

所以NBAE=NE4C,

所以NB4E+NQCE=90。,

所以NE4C+/DCE=90。,

所以NOCE=/石C4,

所以CE平分NACQ；

（2）①石与NMC7）存在确定的数量关系：ZBAE-4ZMCD=9（）0,

理由如下：过E作£；尸〃4从

B

：.EF//AB//CD,

；・NBAE=NAEF,/FEC=/DCE,

,:Z£=90°,

/.NR4七+NECD=9()°,

*/ZMCE=ZECD,

N/M£/NMCQ=90。；

2

②NA4E与NMCQ存在确定的数量关系：ZBAE+-^ZMCD=90°,

理由如下：过石作

•:AB"CD,

：.EF//AB//CD,

/.ZBAE=ZAEF,NFEC=NDCE,

*：ZE=90°,

••・ZBAE+ZECD=9()°,

,?NMCE』NECD,

n

：.Z«A£+—ZA/CD=90°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.

6.（2023•全国•七年级专题练习）（I）如图I,已知乙ABF=^DCE,求证：乙BFE=LFEC

（2）如图2,已知/18//CD,Z.EAF=-LEAB.乙ECF="4CD,求证：4Z.AFC=-Z.AEC

'MW--------B

c1------------DC^---------------D

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）如图：延长/好、QC相较于E,由A8〃CO可得NA8F=NE,再结合418r=乙DCE

可得NDCE二NE,即可得当4£〃;圮，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论：

(2)如图2：连接AC,设NEAF=x,NECF=y,ZEAB=4x,NECD=4y,根据平行线性质得出

ZBAC+ZACD=\S0°,求出NCAE+NACE=180°-(4x+4.y),再求出NAEC和NAR7,最后比较即可得到结

论.

【详解】(1)证明：如图：延长BF、0c相较于G

■:ABHCD

：,NABF=NG

*：LABF=乙DCE

：.ZDCE=ZG

：,BG//CE

:.乙BFE=HEC；

一二

G----------------D

图1

(2)如图2：连接人C,设NEAF=x,ZECF=y,NE48=4x,ZECD=4v,

■:ABIICD,

：.ZBAC+ZACD=\SOa

:.ZCAE+4x+ZACE+4y=180°

/.ZCAE+ZAC£=180°-(4.v+4y),ZMC+ZFCA=I80°-(3x+3y),

AZ/AEC=180°-(ZCAE+ZACE)

=18O°-[8O°-(4x+4y)]

=4.v+4y

=4(x+y)

ZXFC=180°-(ZMC+ZFCA)

=I8O0-[18O0-(3x+3.v))1

=3/+3y

=3(x+y),

图2

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定

与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键.

7.(2017下.湖北武汉•七年级统考期中)如图1,已知AB〃C£>,NB=30°,ZD=120°；

图1图2

(1)若/七=60。，则/尸=」

⑵请探索NE与NF之间满足的数量关系？说明理由；

(3)如图2,已知石P平分/BEEFG平分NEFD,反向延长尸G交EP于点P,求NP的度数.

【答案】(1)90。

(2)匕F=42+30。，理由见解析

(3)15°

【分析】(I)如图1，分别过点E,F作EM〃力B,FN//AB,根据平行线的性质得到乙8=/BEM=30°,4MEF=

乙EFN,乙0+4DFN=180。，代入数据即可得到结论；

由得至

(2)如图1,根据平行线的性质得到乙8=Z-BEM=30°t^MEF=Z.EFN,AB〃(:D,AB〃FN,“CD〃FN,

根据平行线的性质得到乙0+LDFN=180°,于是得到结论；

(3)如图2,过点尸作FH〃EP,设乙BEF=2x。，则乙EFD=(2x+30)。，根据角平分线的定义得到乙PEF=

|z5FF=x0,zFFG=(x+15)0,根据平行线的性质得到乙PE"==x°,zP=zHFG,于

是得到结论.

【详解】(1)解：如图1,分别过点E,F作EM〃/氏FN//AB,

EM//AB//FN,

・•・/B=乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,

又•：AB//CD,AB//FN,

ACD//FN,

•••2D+Z.DFN=180°,

又•.・ND=120°,

乙DFN=60°,

:.Z.BEF=乙MEF+30°,乙EFD=Z.EFN+60°,

ZFFD=Z.MEF+60°

・•.乙EFD=乙BEF+30°=90。；

故答案为：90°；

(2)解：如图1,分别过点£/作EM〃力8,FN//AB,

EM//AB//FN,

Z.B=乙BEM=30°,Z-MEF=ZEF/V,

又*AB//CD,AB//FN,

CD//FN,

ZD+Z.DFN=180°,

又•・•ZD=120°,

:.乙DFN=60°,

:•乙BEF=乙MEF+30°,(EFD=乙EFN+60°,

•••Z.EFD=乙MEF+60°,

•••乙EFD=乙BEFI30°；

(3)解：如图2,过点F作FH〃EP,

由(2)知，LEFD=Z.BEF+30%

设=2x°,则2EFD=(2x+30)。，

•••EP平分/BEF,G/平分乙£/孙

•••Z.PEF=\LBEF=x°,乙EFG=^EFD=(x+15)°,

vFH〃EP,

:.Z.PEF=乙EFH=x0,zP=乙HFG,

•••Z.HFG=乙EFG-乙EFH=15°,

・••ZP=15°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.

8.(2020下•浙江绍兴•七年级统考期末)问题情境：如图I,已知乙APC=108°.求乙PAB+乙PCD

的度数.

经过思考，小敏的思路是：如图2,过夕作PE〃/18,根据平行线有关性质，可得NP48+NPC0=360。一

^APC=252°.

问题迁移：如图3,AD//BC,点。在射线OM上运动，LADP=^a,乙BCP=乙^.

(1)当点。在4、4两点之间运动时，UPD、4a、乙夕之间有何数量关系？请说明理由.

(2)如果点尸在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出4CP。、乙a、乙夕之

间的数量关系.

(3)问题拓展；如图4,M4〃M4n，4-BI—42-------B,.]-乙是一条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁的数学式子表达为

【答案】(l)NCP。=Na+N"理由见解析

(2)ZCPD=N.-Na或/CPD=Za-/p

(3)/A/+NA2+—+NA〃=NB/+N82+_+z_Bn_i

【分析】(1)过P作PE〃A。，根据平行线的判定可得PE〃4。〃AC,再根据平行线的性质即可求解；

(2)过P作PE〃/W),根据平行线的判定可得PE〃AO〃BC,再根据平行线的性质即可求解；

(3)问题拓展：分别过小…，作直线〃A/M,过8”必，…，8〃”作直线〃A/M,根据平行线的判

定和性质即可求解.

【详解】(1)ZCPD=Za+Z/?,理由如下：

如图，过户作PE〃A。交C。于E,

：.AD//PE//BC,

：,Za=ZDPE,牛/CPE,

/.ZCPD=/DPE+/CPE=4什/伊

(2)当户在BA延长线时，ZCPZ)=Z/?-Za：理由:

如图，过P作尸E〃A£＞交CO于E,

:.AD"PE"BC,

/.Za=ZDPE,/B=/CPE,

・•・ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z(i-Ze；

当P在30之间时，NCPD—仇理由:

如图，过。作P石〃AQ交CO于E,

：.AD//PE//BC,

：.^a=ZDPE,Np=NCPE,

/.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp.

（3）问题拓展：分别过4,4…，A"”作直线〃A/M,过历，B2,…,8几/作直线〃A/M,

由平行线的性质和角的和差关系得NA/+ZA2+—+NA〃=ZZ?/+N%^..+43n-i•

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意

分类思想的运用.

9.（2020下•重庆九龙坡•七年级统考期末）已知，4B〃C。.点M在AB上，点N在C。上.

（1）如图1中，/BME、NE、NENO的数量关系为：—；（不需要证明）

如图2中，NBMF、4F、NEVQ的数量关系为：—；（不需要证明）

（2）如图3中，NE平分NFM）,U8平分NFME,且2NE+NF=180。，求N尸ME的度数；

（3）如图4中，N5M£：=60。，EF平令/MEN,NP平分/END,且EQ//NP,则N/E。的大小是否发生变

化，若变化，请说明理由，若不变化，求出/五£Q的度数.

B

图1图2图3图4

【答案】(1)/BME=/MEN・/END；NBMF=/MFN+/FND；(2)120°；(3)不变，30°

【分析】(1)过E作E”〃A8,易得EH〃4B〃CO,根据平行线的性质可求解；过尸作"7〃4B,易得

FH//AB//CD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(I)的结论及角平分线的定义可得2(ZBME+ZEND)+ZBMF-ZFND=180°,可求解NBMF=60。,

进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知N尸EgjNBME,进而可求解.

【详解】解：(1)过E作EH〃48,如图1,

图1

；・NBME=NMEH,

TAB"CD,

：.HE//CD.

/.ZEND=/HEN,

・•・4MEN=/MEH+ZHEN=NBME+/END,

即N8ME=NMEN-ZEND.

如图2,过尸作"/〃AB,

工NBMF=NMFK,

*：AB//CD,

:,FH〃CD,

：.ZFND=/KFN,

：./MFN=/MFK・/KFN=/BMF・ZFND,

BP：/BMF=/MFN+/FND.

AB

3/

C-^-------------------D

A

图2

故答案为乙BME=^MEN-4END；4BM卜=/MFN+&ND.

(2)由(I)得NBME=NMEN-/END；/BMF=4MFN+4FND.

•:NE平分NFND,MB平分/尸ME,

NFME=NBME+NBMF,/FND=/FNE+/END,

•/2NMEN+ZMFN=180°,

・・・2QBME+/END)+/BMF-NFND=180。,

/.2ZBME+2ZEND~\~ZBMF-ZF7VD=18O°,

即2N8M尸+NFNO+N8MF-zFND=180°,

解得NBM/=60。，

/.ZF/WE=2ZS/WF=I2O°；

(3)NFEQ的大小没发生变化，NFEQ=30°.

由(1)知：/MEN=/BME+/END,

•:EF平分/MEN,NP平分/END,

:・/FEN=+/MEN=+QBME+NEND),ZENP=-ZEND,

222

•：EQ//NP,

"NEQ=/ENP,

：.ZFEQ=ZFEN-/NEQ=SBME+/END).三/END=)BME,

NBME=600,

/.ZFEQ=1x60o=30°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

10.(2023下•辽宁大连•七年级统考期中)如图，A8〃CD,点0在直线CD上，点P在直线力8和CD之间，乙48P=

乙PDQ=a,PD平分乙BPQ.

D

D

备用图I

(l)求48Po的度数(用含a的式子表示)；

(2)过点。作。E〃PQ交尸8的延长线于点E,作乙。EP的平分线EF交PDF点尸，请在备用图中补全图形，猜

想E户与P0的位置关系，并证明;

(3)将(2)中的“作4DEP的平分线Er交P0于点F”改为“作射线£户将4DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”,

其余条件不变，连接EQ,若EQ恰好平分"QD,请直接写出"EQ=(用含a的式子表示).

【答案】(1)乙BPD=2a；(2)画图见解析，EFJ.P0,证明见解析♦：(3)45。*或45。一炉

【分析】(1)根据平行线的传递性推出PG〃/18〃CD,再利用平行线的性质进行求解；

(2)猜测EFJ.P0,根据P。平分=2a,推导出N8P0=NOPQ=2a,再根据OE//PQ、EF平

分乙DEP,通过等后代换求解：

(3)分两种情况进行讨论，即当/P£T/£)£T=1:3与z£)£T：NPEF=1:3,充分利用平行线的性质、角平分

线的性质、等量代换的思想进行求解.

【详解】⑴过点P作PG〃力8,

-AB//CD.PG//AB,

PG//AB//CD,

Z.BPG=乙ABP=a,乙DPG=乙PDQ=a,

Z.BPD=Z.BPG+Z.DPG=2a.

由（1）可知：乙BPD=2a,

vPD平分48PQ,4BPO=2a,

:.乙BPD=Z-DPQ=2a,

vDE//PQ,

•••乙EDP=乙DPQ=2a,

•••£DEP=180°-乙BPD-乙EDP=180°-4a,

又E尸平分NOEP,

NPE尸=-Z-DEP=90°-2a,

2

A/.EFD=180O-CPEF-2.BPD=90°,

AEF1PD.

乙PEF:乙DEF=1:3,

由（2）可知：乙EPD=4OPQ=4EDP=2a/DEP=180°-4cr,

vZ.PEF:乙DEF=1:3,

:.Z.PEF=-Z,DEP=45。-a,

4

乙DEF=-Z-DEP=135°-3a,

4

-DE//PQ,

Z.DEQ=乙PQE,

乙EDQ+乙PQD=180°,

vZ.EDP=2a,Z.PDQ=a,

:.Z.