圆与圆的位置关系7学案

第11讲圆与圆的位置关系

这部分要点主要有：两圆的五种位置关系、相交两圆的性质、相切两圆的性质、两圆公切线的定义、

性质和作法、公切线长的计算方法等.

1、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系共有5种，是由两圆的公共点来定义的：

两圆没有公共点——外离或内含；

两圆有唯一公共点——外切或内切；

两圆有两个公共点——相交.

2、两圆位置关系的判定

除定义外，既可根据两圆半径与圆心距的关系来判定，又可根据两圆内、外公切线的总条数来判定.

设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d.

(1)两圆外离=两圆有4条公切线；

(2)d=两圆外切O两圆有3条公切线；

(3)两圆相交。两圆有2条公切线；

(4)d=两圆内切O两圆有1条公切线；

(5)两圆内含。两圆没有公切线；

3、两圆位置关系的性质定理：

(1)圆是轴对称图形，两个圆也组成一个轴对称图

形，通过两圆圆心的直线(连心线)是它的对称轴;

(2)如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上；

(3)如果两圆相交于A、B,那么连心线垂直平分

公共弦AB；

(4)如果两个半径不等的圆相离，那么内公切线交

点、外公切线交点都在连心线所在的直线上，并且

该直线平分两外公切线所夹的角和两内公切线所

夹的角；

(5)如果两条外公切线分别切圆Oi于A、B两点,

切圆。2于C、D两点，那么两条外公切线长相等,

且AB、CD都被0］。2垂直平分.

4、两圆关系常用辅助线

(1)作相交两圆的公共弦，利用圆内接四边形性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系；

(2)两圆相切，作过切点的公切线，利用弦切角定理沟通两圆角的关系；

(3)作相交两圆的连心线，利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关计算问题;

(4)两圆相切，作连心线，利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题；

(5)有关公切线问题，常平移公切线，组成以公切线、圆心距、两圆半径差(或和)为三边的直角三

角形，通过解直角三角形来解决.

一、例题

例1已知，如图。O］和002相交于A、B两点，O］在。02上，。。2的弦BC切。O1于B,延长BOi、

CA交于点P,PB与。Oi交于点D；

(1)求证：AC是。Oi的切线；(2)连结AD、OiC,求证：AD〃O］C；(3)如果PD=LG)Oi的半径是2,

求BC的长.

例2如图，已知。Oi和。Ch相交于B、C两点，点A在BC的延长线上，AE、AF分别切。Oi和。。2

于E、F,连结EF恰好过点C,求证：⑴ZAEF=ZAFE；(2)CECF=CACB；

例3如图，已知。Oi和相交于A、B两点，P是。Oi上一点，PB的延长线交。。2于C,PA交。。2

于D,CD的延长线交€)Oi于N；

(1)过点A作AE〃CN交€)01于E,求证：PA=PE；

(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.

例4如图所示4ABC中，ZBAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E,延长AC交过D、E、

C三点的圆于点F.

(1)求证：EF2-ED♦EA;

(2)若AE=6,EF=3,求AF・AC的值.

例5如图所示，已知4ABC内接于OO”AB=AC,G>Oz与BC相切于点B,与AB相交于点E,与。

Oi相交于点D,直线AD交。。2于点F,交CB的延长线于点G.求证：(1)NG=NAFE；(2)AB«B=DF<AG

例6自圆O的直径AB的两端引弦AD和BE,相交于圆内C,求证:

AC・AD+BC・BE=AB2

例7图中，OOi和。02内切于P点，过P作直线交。Oi于A点，交。02于B点，C为。Oi上一点，过

B作002的切线交直线AC于Q点；

(1)求证：AC・AQ=AP-AB；(2)若将两圆内切改为外切，其它条件不变，则(1)中的结论是否成立？画出

图形并证明你的结论.

例8两圆内切于点P,大圆的弦AD和小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F,直线EF交大圆于点B、C,

求证；ZAPB=ZCPD；

例9图中，0O1和。O内切于P点，001经过点O,。。的弦AB切OOi于点C,PB交。Oi于点D,

(1)求证：AC・BC=PA・PD；(2)若PA=3,PB=8,求AB的长；

例10(切点三角形)“切点三角形”是指两圆外切于点P,这两圆的一条外公切线切两圆于A、B两点,

连结这三个切点所成的三角形，如图中AABP就是切点三角形，若。Oi和半径分别为小弓；证明切

点三角形的以下性质：

(1)AP±PB；

⑵AB2=4/-/;；

(3)AABP三边之比为：五।：花：；

(4)AABP的外接圆与0102相切，此外接圆的半径是缶弓的

比例中项；

(5)AABP斜边与以O1O2为直径的圆相切.

例11如图，已知。O和。O,外切于点P,CD为外公切线，C、D为切点，直线APB分别交两圆于A、B,

AC的延长线与BD的延长线交于E；

求证：NE=90°

例12如图，€）01的半径门=6,的半径。=2,且两圆外切，AB和AC是两圆的外公切线，点B、C、

D、E分别是切点；

（1）求NBAC的度数；

（2）在线段02A上存在以Ch为圆心，半径为门的圆，若。03与。02外切，且AB和AC是它们的外

公切线，则称。03为点圆，求03圆的半径；

（3）同上，设在线段03A上的点04圆的半径为3线段04A上的点触圆的半径为北……线段On」A

上点On的圆的半径为求I*n（用n表示）；

二、练习题

1、若两圆只有一条公切线，则这两个圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.内含D.外离

2、若两圆的半径为10和3,外公切线长是14,则两圆的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内切D.外切

3、若两圆外切，两条外公切线互相垂直，大圆半径为5,则外公切线的长为（）

A.5(3—2应)B.5C.10(72-1)D.5(5-20)

4、若相交两圆的公共弦长为24,它们的半径长是方程/一35工+300=0的两个根，则这两个圆的圆心距

是（）

A.16B.7C.25D.7或25

5、如图所示，（DO1和。02内切于点P,002的弦AB经过。Oi的圆心Oi，交。Oi于C、D,若AC：

CD：DB=3：4：2,则。Oi与的直径之比为（）

A.2：7B.2：5C.1：4D.1：3

6、两圆相切，半径为10和4,则圆心距为

7、如图，已知AD=30,点B、C是AD上的三等分点，分别以AB、BC>CD为直径作圆，圆心分别为

E、F、G,AP切。G于点P,交。F于点M、N,则弦MN的长为；

8、图中0Oi和OOz外切于点P,AB分别切0Oi和002于点A、B,AP的延长线交OCh于C,CD切

。。1点D,求证：BC=CD；

P

0,

D

9、如图，AB是。。的直径，C是圆