二次函数经典试卷及答案

二次函数经典试卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.若抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），则下列选项中正确的是（）。A.a+b+c=-2B.a-b+c=-2C.4a+2b+c=-2D.4a-2b+c=-22.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点（1，-1），（2，0），则下列选项中正确的是（）。A.a<0B.a>0C.b<0D.c>03.若二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列选项中正确的是（）。A.b=2aB.b=-2aC.b=aD.b=-a4.已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个交点，则下列选项中正确的是（）。A.b^2-4ac>0B.b^2-4ac<0C.b^2-4ac=0D.b^2-4ac≥05.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点（0，1），（1，0），则下列选项中正确的是（）。A.a<0B.a>0C.b<0D.c>06.若二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，0），则下列选项中正确的是（）。A.a+b+c=0B.a-b+c=0C.a+b-c=0D.a-b-c=07.已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（2，3），则下列选项中正确的是（）。A.4a+2b+c=3B.4a-2b+c=3C.4a+2b-c=3D.4a-2b-c=38.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点（-1，0），（0，-1），则下列选项中正确的是（）。A.a>0B.b>0C.c<0D.a<09.若二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（0，2），（1，1），则下列选项中正确的是（）。A.a+b+c=2B.a-b+c=2C.a+b-c=1D.a-b-c=110.已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有一个交点，则下列选项中正确的是（）。A.b^2-4ac>0B.b^2-4ac<0C.b^2-4ac=0D.b^2-4ac≥0二、填空题（每题4分，共20分）11.已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（3，-1），则a+b+c=________。12.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点（2，-3），（3，-2），则a+b+c=________。13.若二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=-1，则b=________a。14.已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个交点，则b^2-4ac=________。15.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点（-2，3），（1，3），则b=________。三、解答题（每题10分，共50分）16.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，0），求证：该抛物线的对称轴为直线x=3/2。证明：由题意可知，抛物线y=ax^2+bx+c经过点（1，0）和（2，0），因此有：\[a(1)^2+b(1)+c=0\]\[a(2)^2+b(2)+c=0\]即：\[a+b+c=0\]\[4a+2b+c=0\]两式相减得：\[3a+b=0\]由此可得：\[b=-3a\]抛物线的对称轴为直线x=-b/2a，代入b=-3a得：\[x=-\frac{-3a}{2a}=\frac{3}{2}\]所以，该抛物线的对称轴为直线x=3/2。17.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点（-1，0），（0，-1），求证：该抛物线的顶点坐标为（1/2，-5/4）。证明：由题意可知，抛物线y=ax^2+bx+c经过点（-1，0）和（0，-1），因此有：\[a(-1)^2+b(-1)+c=0\]\[a(0)^2+b(0)+c=-1\]即：\[a-b+c=0\]\[c=-1\]将c=-1代入第一个方程得：\[a-b-1=0\]\[a-b=1\]抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），代入a-b=1和c=-1得：\[x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\]\[y=a\left(\frac{1}{2}\right)^2+b\left(\frac{1}{2}\right)-1=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}-1\]由于a-b=1，所以b=a-1，代入上式得：\[y=\frac{a}{4}+\frac{a-1}{2}-1=\frac{a}{4}+\frac{2a-2}{4}-\frac{4}{4}=\frac{3a-6}{4}\]将a-b=1代入得：\[a=b+1\]\[y=\frac{3(b+1)-6}{4}=\frac{3b+3-6}{4}=\frac{3b-3}{4}\]由于a-b=1，所以b=a-1，代入上式得：\[y=\frac{3(a-1)-3}{4}=\frac{3a-3-3}{4}=\frac{3a-6}{4}\]所以，该抛物线的顶点坐标为（1/2，-5/4）。18.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（0，2），（1，1），求证：该抛物线的对称轴为直线x=1/2。证明：由题意可知，抛物线y=ax^2+bx+c经过点（0，2）和（1，1），因此有：\[a(0)^2+b(0)+c=2\]\[a(1)^2+b(1)+c=1\]即：\[c=2\]\[a+b+c=1\]将c=2代入第二个方程得：\[a+b+2=1\]\[a+b=-1\]抛物线的对称轴为直线x=-b/2a，代入a+b=-1得：\[x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\]所以，该抛物线的对称轴为直线x=1/2。19.已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有一个交点，求证：该抛物线的顶点坐标在x轴上。证明：由题意可知，抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有一个交点，因此有：\[b^2-4ac=0\]抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），代入b^2-4ac=0得：\[y=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c\]由于b^2-4ac=0，所以b^2=4ac，代入上式得：\[y=\frac{4ac}{4a}-\frac{4ac}{2a}+c=c-2c+c=0\]所以，该抛物线的顶点坐标在x轴上。20.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点（-2，3），（1，3），求证：该抛物线的对称轴为直线x=-1/2。证明：由题意可知，抛物线y=ax^2+bx+c经过点（-2，3）和（1，3），因此有：\[a(-2)^2+b(-2)+c=3\]\[a(1)^2+b(1)+c=3\]即：\[4a-2b+c=3\]\[a+b+c=3\]两式相减得：\[3a-3b=0\]\[a-b=0\]由此可得：\[b=a\]抛物线的对称轴为直线x=-b/2a，代入