鄂南高中数学试卷及答案

鄂南高中数学试卷及答案一、选择题（每题4分，共40分）1.若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(0)的值为：A.0B.1C.2D.32.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为：A.{1}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,2,3,4}3.函数y=x^3-3x在区间(-∞,+∞)上的单调递增区间为：A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)4.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是：A.a^2>b^2B.a/b>1C.a+b>2bD.1/a<1/b5.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：A.9B.10C.11D.126.已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，则b/a的值为：A.√3B.1/√3C.√3/3D.37.已知直线l：y=2x+3与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，则弦AB的长度为：A.2√2B.2√3C.2√5D.48.已知函数f(x)=|x-1|，g(x)=x^2-4x+3，若f[g(x)]的最小值为0，则实数x的取值范围为：A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)9.已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，则|a+b|的值为：A.√5B.√6C.√7D.√810.已知三角形ABC的内角A、B、C满足A+C=2B，且a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，则三角形ABC的面积为：A.√3/2B.1C.√3D.2二、填空题（每题4分，共20分）11.已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b4的值为______。12.已知函数f(x)=x^3-3x，求导数f'(x)=______。13.已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1,2)在抛物线上，则|PF|的值为______。14.已知正方体的棱长为a，其内切球的表面积为4π，则a的值为______。15.已知函数f(x)=x^3-3x，求极值点x=1处的函数值为______。三、解答题（共40分）16.（10分）已知函数f(x)=x^3-3x，求函数的单调区间和极值点。解：首先求导数f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，此时函数单调递增；令f'(x)<0，解得-1<x<1，此时函数单调递减。因此，函数的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。当x=-1时，f(-1)=2为极大值；当x=1时，f(1)=-2为极小值。17.（10分）已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，求双曲线的离心率e。解：由题意可知，b/a=√3，即b=√3a。双曲线的离心率e=c/a，其中c为焦距，由双曲线的性质可知c^2=a^2+b^2。将b=√3a代入，得到c^2=a^2+3a^2=4a^2，所以c=2a。因此，离心率e=c/a=2。18.（10分）已知直线l：y=2x+3与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，求弦AB的长度。解：联立直线方程y=2x+3和圆的方程x^2+y^2=4，得到：x^2+(2x+3)^2=4，化简得5x^2+12x+5=0。由韦达定理可知，x1+x2=-12/5，x1x2=1。根据弦长公式|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|，其中k为直线的斜率，k=2。代入x1+x2和x1x2的值，得到|AB|=√(1+2^2)×√((-12/5)^2-4)=2√5。19.（10分）已知函数f(x)=|x-1|，g(x)=x^2-4x+3，若f[g(x)]的最小值为0，求实数x的取值范围。解：首先求g(x)的值域。g(x)=(x-2)^2-1，当x=2时，g(x)取得最小值-1。由于f(x)=|x-1|的值域为[0,+∞)，要使f[g(x)]的最小值为0，需要g(x)=1。解方程x^2-4x+3=1，得到x=2或x=3。因此，实数x的取值范围为[2,3]。四、附加题（10分）20.已知三角形ABC的内角A、B、C满足A+C=2B，且a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，求三角形ABC的面积。解：由题意可知，A+C=2B，所以B=π/3。又因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，所以a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC。根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R为三角形的外接圆半径。代入已知条件，得到2R=2，所以R=1。根据三角形的面积公式S=1/2×ab×sinC，代入a=2sinA，b=2sinB，得到S=2sinA×2sinB×sinC/2。由于B=π/3，所以sinB=√3/2。又因为A+C=2B，所以sinC=sin(2B-A)=sin(2π/3-A)。代入sinA和sinC的值，得到S=2×2sinA×√3/2×sin(2π/3-A)/2=√3sinA×sin(2π/3-A)。由于A∈(0,2π/3)，所以sinA