向量的数量积第2课时课件高一下学期数学人教A版

第2课时向量数量积的运算律及其应用第六章

平面向量及其6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积整体感知[学习目标]

1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[讨论交流]

预习教材P20－P22的内容，思考以下问题：问题1．向量数量积的运算有哪些运算律？问题2．如何利用数量积求向量的模、夹角等问题．[自我感知]经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1向量数量积的运算律【链接·教材例题】例11我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2．对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．[解]

(1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．因此，上述结论是成立的．[新知生成]1．对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．2．数量积运算的常用公式(1)(a＋b)2＝________________．(2)(a－b)2＝________________．(3)(a＋b)·(a－b)＝________．a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a2－b2【教用·微提醒】

(1)a·b＝b·c推不出a＝c．(2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量．【链接·教材例题】例12已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．[解]

(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72．[典例讲评]

1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(

)A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b与c不垂直C．|a|－|b|<|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2√√√ACD

[根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确．故选ACD．]反思领悟

向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律．[学以致用]

1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(

)A．4

B．3

C．2

D．0B

[由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]√探究2与向量模有关的问题[典例讲评]

2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．

(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．

√√

√

探究3与向量垂直、夹角有关的问题【链接·教材例题】例13已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？

√

[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．

【教用·备选题】已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ．4

243题号1应用迁移

C

[由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]√23题号142．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(

)A．16 B．256C．8 D．64√23题号14A

[法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．法二：由题意知2a＝b，∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16．]23题号41

√

243题号14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．

1．知识链：(1)向量数量积的运算律．(2)利用数量积求向量的模和夹角．(3)向量垂直的应用．2．方法链：类比法．3．警示牌：注意向量数量积不满足结合律．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．向量的数量积满足哪些运算律？[提示]

(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？[提示]

向量a，b的