二次函数表达式的确定课件沪科版九年级数学上册

21.2.3.二次函数表达式的确定第21章二次函数与反比例函数沪科版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********2.二次函数的图象和性质（20分钟）图象绘制：以二次函数\(y=x^{2}\)为例，讲解用描点法绘制函数图象的步骤。列表：选取一些\(x\)的值，如\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，计算出对应的\(y\)值。描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的坐标值，描出相应的点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到二次函数\(y=x^{2}\)的图象。让学生观察图象的形状，发现它是一条抛物线，且开口向上，对称轴是\(y\)轴（即\(x=0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。性质探究：再选取几个不同的二次函数，如\(y=-x^{2}\)，\(y=2x^{2}\)，\(y=-2x^{2}\)等，让学生分组绘制它们的图象，并观察图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性等性质。通过小组讨论和交流，总结出二次函数\(y=ax^{2}\)（\(a\neq0\)）的性质：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标是\((0,0)\)。在对称轴左侧（\(x\lt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧（\(x\gt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标是\((0,0)\)。在对称轴左侧（\(x\lt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧（\(x\gt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小。一般形式的二次函数性质：对于一般形式的二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），通过配方法将其化为顶点式\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)。由此得出其对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)。然后通过实例，让学生计算一些二次函数的对称轴和顶点坐标，并结合图象分析其性质。3.二次函数的应用（15分钟）例题讲解：例1：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。设后来该商品每件降价\(x\)元，商店一天可获利润\(y\)元。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求出当\(x\)取何值时，商店可获得最大利润，最大利润是多少？分析：利润\(y=(\)售价\(-\)进价\()\times\)销售量。售价为\((100-x)\)元，进价为80元，销售量为\((100+10x)\)件。所以\(y=(100-x-80)(100+10x)\)，化简得\(y=-10x^{2}+100x+2000\)。这是一个二次函数，对于二次函数\(y=-10x^{2}+100x+2000\)，\(a=-10\lt0\)，抛物线开口向下，有最大值。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\times(-10)}=5\)。当\(x=5\)时，\(y_{max}=-10\times5^{2}+100\times5+2000=2250\)（元）。解答过程详细板书，让学生理解如何将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数的性质求解。练习巩固：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。设果园增种\(x\)棵橙子树，果园橙子的总产量为\(y\)个。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求出当\(x\)取何值时，果园橙子的总产量最大，最大产量是多少？让学生独立完成，然后请一位同学上台板演，教师进行点评和纠正。（二）反比例函数部分1.反比例函数的概念（10分钟）情境引入：展示一些生活中反比例关系的实例，如当路程一定时，速度与时间的关系；当矩形面积一定时，长与宽的关系等。提出问题：这些实例中两个变量之间的关系有什么共同特点？如何用数学式子来表示这种关系？概念讲解：给出反比例函数的定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数，自变量\(x\)的取值范围是不等于\(0\)的一切实数。强调\(k\neq0\)以及\(x\neq0\)这两个条件。举例判断：给出一些函数表达式，如\(y=\frac{3}{x}\)，\(y=-\frac{2}{x}\)，\(y=\frac{1}{2x}\)（可化为\(y=\frac{\frac{1}{2}}{x}\)，是反比例函数），\(y=\frac{x}{3}\)（不是反比例函数，是正比例函数）等，让学生判断哪些是反比例函数，加深对概念的理解。2.反比例函数的图象和性质（20分钟）图象绘制：以反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)为例，讲解用描点法绘制图象的过程。列表：由于\(x\neq0\)，选取一些\(x\)的值，如\(-4\)，\(-2\)，\(-1\)，\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，计算出对应的\(y\)值。描点：在平面直角坐标系中描出这些点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)的图象。让学生观察图象，发现它由两条曲线组成，分别位于第一、三象限，且关于原点对称。性质探究：再选取几个不同的反比例函数，如\(y=-\frac{3}{x}\)，\(y=\frac{5}{x}\)等，让学生分组绘制图象，并观察图象的位置、增减性等性质。通过小组讨论和交流，总结出反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的性质：当\(k\gt0\)时，图象分别位于第一、三象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。当\(k\lt0\)时，图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。渐近线性质：引导学生观察反比例函数图象与坐标轴的关系，发现当\(x\)的值越来越大（或越来越小）时，图象越来越接近\(x\)轴（\(y=0\)）；当\(y\)的值越来越大（或越来越小）时，图象越来越接近\(y\)轴（\(x=0\)），但永远不会与坐标轴相交。\(x=0\)和\(y=0\)分别是反比例函数图象的渐近线。3.反比例函数的应用（15分钟）例题讲解：例2：一个矩形的面积为24\(cm^{2}\)，设它的长为\(xcm\)，宽为\(ycm\)。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当\(x=6cm\)时，\(y\)的值。分析：根据矩形面积公式\(S=xy\)，已知\(S=24\)，所以\(y=\frac{24}{x}\)，这是一个反比例函数。当\(x=6\)时，\(y=\frac{24}{6}=4(cm)\)。解答过程详细板书，让学生理解如何根据实际问题建立反比例函数模型并求解。练习巩固：某工厂现有原材料600吨，平均每天用去\(x\)吨，这批原材料能用\(y\)天。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当\(x=30\)时，\(y\)的值。让学生独立完成，然后同桌之间互相检查和交流5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法.2.能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化.3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯.4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.重点难点我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.二次函数的解析式如何确定呢？转化求得k，b的值二元一次方程组需要两点坐标待定系数法(1)设：表达式形式(2)代：代入坐标(3)解：方程(组)(4)还原：写表达式思考二次函数

的解析式中有几个待定系数？3个待定系数需要图象上的几个点？3个点转化成什么样的方程组？三元一次方程组典型例题例1已知一个二次函数的图象经过(–1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式？待定系数法(1)设：表达式形式(2)代：代入坐标(3)解：方程(组)(4)还原：写表达式解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(–1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得a–b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7.解这个方程组，得a=2，b=–3，c=5.答：所求二次函数的表达式为y=2x2–3x+5.一般式法归纳这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.一般式法求二次函数表达式的方法典型例题

解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.根据题意，得

解这个方程组，得

还有其它的计算方法吗？一般式法典型例题

抛物线与x轴的两个交点

只含有一个未知数a.把点(0，–1)代入，得

解这个一元一次方程，得a=1.

交点式法归纳交点式法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与x轴的交点求表达式的方法叫做交点式法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x–x1)(x–x2)(x1、x2为交点的横坐标)；②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式后，得到的解析式中只含有一个未知数a；③将另一个坐标代入②中得到的解析式，并解这个方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.典型例题例3如果知道二次函数的顶点坐标为A(1，–1)，且过B(2，1)

点，请求出解析式.只给出了两个点的坐标y=a(x+h)2+k解：设这个二次函数的表达式是y=a(x+h)2+k.把顶点(1，–1)代入y=a(x+h)2+k中，得y=a(x–1)2–1.再把点(2，1)代入上式，得1=a(2–1)2–1.只含有一个未知数a.解这个一元一次方程，得a=2.所以所求二次函数的表达式是y=2·(x–1)2–1，即y=2x2–4x+1.顶点式法归纳顶点式法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x+h)2+k；②先代入顶点坐标后，得到的解析式中只含有一个未知数a；③将另一个坐标代入②中得到的解析式，并解这个方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.典型例题

BCA解：(1)如图所示.(2)B1C1Q解方程组得点B坐标为(2，2)，点C坐标为(7，4.5).

典型例题

BCA解：(1)如图所示.(2)B1C1Q所以△ABC的面积是7.5.=7.5返回B1.已知二次函数的图象过(－1，－9)，(1，－3)和(3，－5)三点，则此二次函数的表达式为(

)A．y＝x2＋3x－5 B．y＝－x2＋3x－5C．y＝x2－3x＋5 D．y＝－x2－3x－52．[2024陕西]已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：x…－4－2035…y…－24－80－3－15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是(

)A．图象的开口向上B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴是直线x＝1返回【答案】D当0<x<1时，y的值随x的值增大而增大，当x＞1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为(1，1)且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意．返回BC返回5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的坐标为(－1，0)，(3，0)，此抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－2x2相同，则该抛物线对应的函数表达式为(

)A．y＝－2x2－x＋3