公式法课件人教版九年级数学上册

21.2.2公式法第21章一元二次方程人教版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********展示生活中与一元二次方程相关的实际问题情境，如：一个面积为120平方米的矩形花园，长比宽多2米，求花园的长和宽。设宽为x米，则长为(x+2)米，可列方程x(x+2)=120。某种药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。设每次降价的百分率为x，则可列方程56(1-x)²=31.5。引导学生观察列出的方程，与之前学过的一元一次方程进行对比，发现这些方程的特点，从而引出本节课要学习的一元二次方程的内容，让学生感受到一元二次方程在解决实际问题中的广泛应用。（二）知识讲解（30分钟）一元二次方程的概念给出几个不同形式的方程，如x²-3x+2=0，2x²+5x=0，3(x-1)²=27等，让学生观察方程的结构特征。总结一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。强调“整式方程”这一条件，举例说明如1/x²+x-1=0不是一元二次方程，因为它不是整式方程。讲解一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。让学生指出前面给出方程的各项系数，注意当系数为1或-1时，“1”常省略不写，但在确定系数时要写出。一元二次方程的解法直接开平方法：以方程x²=9为例，讲解直接开平方法的原理和步骤。因为x是9的平方根，所以x=±3。推广到一般形式，对于方程(x-m)²=n（n≥0），可以直接开平方得到x-m=±√n，进而解得x=m±√n。通过练习如(x-2)²=16，让学生掌握直接开平方法。配方法：以x²+6x-7=0为例，引导学生思考如何将方程左边配成完全平方式。首先在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x²+6x+9-9-7=0，变形为(x+3)²-16=0，再利用直接开平方法求解。总结配方法的步骤：移项（把常数项移到方程右边）、配方（在方程两边加上一次项系数一半的平方）、变形（将方程左边配成完全平方式）、开平方、求解。通过练习如x²-4x-5=0，让学生巩固配方法。强调配方时加上的数是一次项系数一半的平方，且方程两边都要加。公式法：对于一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），通过配方法推导求根公式。\(\begin{align*}ax²+bx+c&=0\\ax²+bx&=-c\\x²+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})²&=(\frac{b}{2a})²-\frac{c}{a}\\(x+\frac{b}{2a})²&=\frac{b²-4ac}{4a²}\end{align*}\)当b²-4ac≥0时，x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b²-4ac}}{2a}，得到求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}。讲解利用公式法解方程的步骤：先确定a、b、c的值，计算判别式Δ=b²-4ac的值，判断方程根的情况，当Δ≥0时，代入求根公式求解。通过练习如2x²-5x+2=0，让学生熟练运用公式法。因式分解法：以方程x²-3x=0为例，方程左边可因式分解为x(x-3)=0，根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式为0”，得到x=0或x-3=0，从而解得x₁=0，x₂=3。总结因式分解法的步骤：将方程右边化为0，把方程左边因式分解，令每个因式为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。通过练习如(x-1)(x+2)=6，先将方程化为一般形式x²+x-8=0，再尝试因式分解（若不能分解则考虑其他解法），让学生掌握因式分解法。一元二次方程根的判别式回顾公式法中求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}，引出根的判别式Δ=b²-4ac。分析当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。通过具体方程如x²-2x+1=0（Δ=0），x²-2x-3=0（Δ>0），x²+2x+3=0（Δ<0），让学生计算判别式并判断根的情况，加深理解。应用举例：已知关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。根据Δ>0，即(-2)²-4k>0，解得k<1。一元二次方程的实际应用传播问题：以流感传播为例，假设一开始有1个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人。第一轮传染后有(x+1)个人患流感，第二轮传染后有(x+1)+x(x+1)=(x+1)²个人患流感，可列方程(x+1)²=121，解得x₁=10，x₂=-12（舍去）。总结传播问题的一般模型：设每轮传染中平均一个对象传染了x个对象，经过n轮传染后共有a(1+x)ⁿ个对象被传染（a为最初的对象数）。增长率问题：某工厂去年的利润为200万元，预计今年和明年的利润总和为1200万元，求该工厂利润的年平均增长率。设年平均增长率为x，则今年的利润为200(1+x)万元，明年的利润为200(1+x)²万元，可列方程200(1+x)+200(1+x)²=1200，整理得(1+x)²+(1+x)-6=0，设y=1+x，方程化为y²+y-6=0，解得y₁=2，y₂=-3（舍去），即1+x=2，x=1=100%。总结增长率问题的一般模型：设初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为b，则a(1+x)ⁿ=b；若为平均降低率，则a(1-x)ⁿ=b。几何图形面积问题：在一块长为32米，宽为20米的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种植花草，使种植花草的面积为540平方米，求道路的宽度。设道路的宽度为x米，将两条道路平移到矩形的边上，可得种植花草部分的长为(32-x)米，宽为(20-x)米，可列方程(32-x)(20-x)=540，展开并整理得x²-52x+100=0，解得x₁=2，x₂=50（舍去，因为道路宽度不可能大于矩形的宽）。强调在解决几何图形问题时，要根据图形的特点合理设未知数，列出方程，并检验解是否符合实际情况。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解重点难点1.通过阅读课本学生可以由配方法推导求根公式，培养学生的推理能力.2.结合使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力.3.通过教师讲解让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.旧知回顾1.用配方法解下列方程：(1)2x2-9x+8=0；(2)3x2+2x+1=0.2.回忆用配方法解方程的一般步骤.

(1)移常数项，二次项系数化为1；(2)配方，

两边都加上一次项系数一半的平方；(3)写成(x+n)²=p(p≥0)的形式；(4)直接开平方法解方程.对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），能不能利用配方法求出它的解呢？应该怎样做呢？请同学们任意选择一个方程求解：（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.1.阅读课本9-12页.请同学们回忆并说出利用配方法解一元二次方程的步骤.（一移，把含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边；二化，将二次项系数化为1；三配，等号两边同时加上一次项系数一半的平方；四开，利用平方根的定义把方程降次；五解，解一元一次方程）自主探究自主探究

自主探究3.请同学们思考以下问题：①在配成完全平方式后，进行开平方运算时，有没有条件限制？

两人一组编题互判，首先根据根的判别式独立编制出三个不同根的情况的一元二次方程，然后将所编方程让同桌判断根的情况，并用公式法求解.小组讨论小组展示我提问我回答我补充我质疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越优秀知识点1：根的判别式（难点）

知识点2：公式法的概念（重点）

这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.教师讲评知识点3：用公式法解一元二次方程的一般步骤（重点）

3.代入求根公式：2.求出b2－4ac的值.1.

把方程化成一般形式，并写出a,b,c的值.4.写出方程的解：x1，x2.特别注意：当b2－4ac<0时，方程无实数解；当b2－4ac≥0时，一元二次方程才有实数根.

教师讲评知识点4：一元二次方程根的情况（难点）注意：运用根的判别式时要注意a,b,c的符号，若已知一元二次方程解的情况，也能得到根的判别式的符号.

教师讲评返回1.[2024深圳南山区期末]用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是(

) A.(x＋2)2＝3

B.(x＋2)2＝17

C.(x－2)2＝5

D.(x－2)2＝17 C返回2.[2023温州期中]若用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，将其配方为(x＋b)2＝c的形式，则c＝(

) A.2B.3C.0D.1 B返回3.[2023南通海门市一模]用配方法解一元二次方程2x2＋4x－5＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为(

) B返回4.将一元二次方程2y2－2＝4y化成(y－m)2＝n的形式，则(m－n)2025的值为(

) A.1 B.－2025 C.2025 D.－1 D【点拨】∵2y2－2＝4y，∴2y2－4y＝2，y2－2y＝1，y2－2y＋1＝1＋1，(y－1)2＝2，∴m＝1，n＝2，∴(m－n)2025＝(1－2)2025＝－1.5.[2023南宁模拟]解方程：

(1)x(x－2)－3＝0；【解】方程整理得x2－2x－3＝0，∴x2－2x＝3，∴x2－2x＋1＝3＋1，∴(x－1)2＝4，解得x1＝3，x2＝－1.返回(2)－2x2＋7x－6＝0.返回6.[2023天津期末]若代数式49x2－2的值与代数式14x＋